Bài toán cho nghiên cứu

20

Descartes đã trả lời các câu hỏi theo cách này: với sự trợ giúp của các nghiệm “tưởng tượng” người ta có thể xây dựng một lý thuyết tổng quát về các phương trình đại số.

Trong Hình học, Descartes cũng phác thảo lý thuyết của ông về phương trình đại số. Anh ấy bắt đầu nó bằng gợi ý, cách thuận tiện nhất để viết ở dạng mà ngày nay đã trở nên quen thuộc với chúng ta - ở vế phải bằng 0:

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n = 0.$$

Ông phát biểu định lý rằng một phương trình đại số bậc $n$ có chính xác $n$ nghiệm, cho các nghiệm dương, âm và phức (“tưởng tượng”). Đây là định lý chính của đại số, được P. Rothe và A. Girard phát biểu trước Descartes vào đầu thế kỷ 17.

Descartes là người đầu tiên biểu thị số lượng đã cho bằng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái $a, b, c$ và số lượng chưa biết bằng các chữ cái cuối cùng $x, y, z$. Anh ấy đã tha thứ cho việc chỉ định bằng cấp và nó có dạng quen thuộc $a^3, x^2$, v.v.

Sự phân bố và ảnh hưởng của “Hình học”

Tiểu luận “Diễn ngôn về phương pháp” được xuất bản năm 1637 bằng tiếng Pháp. Những người cùng thời với Descartes đã đón nhận Hình học của ông một cách hết sức nhiệt tình. Nó nhanh chóng được dịch sang tiếng Latin, ngôn ngữ khoa học quốc tế thời đó. Trong một thời gian ngắn, Geo-riter đã trải qua bốn phiên bản. Vào thế kỷ 18, nó là cuốn sách của mọi nhà toán học làm việc sáng tạo.

Descartes tin rằng toán học chỉ nên nghiên cứu các đường cong được xác định bởi các phương trình đại số, bởi vì không có phương pháp chung nào để nghiên cứu các đường khác. Một ví dụ về đường cong đại số là bảng Descartes. Phương trình của nó là $x^3 + y^3 - 3ax y = 0, a \neq 0$. Trong khi đó, trong toán học, các đường cong phi đại số (siêu nghiệm) cũng đóng một vai trò lớn hơn: đường xoắn ốc Archimedes, đường quadratrix, đường cong, đường cyclops và các đường cong khác. Descartes không đưa chúng vào Hình học của ông.

Hạn chế này của Descartes được đưa ra bởi Newton và Leibniz, những người đã phát triển các ví dụ chung về nghiên cứu các đường cong siêu việt vào nửa sau thế kỷ 17. Sử dụng phương pháp tọa độ, họ bắt đầu nghiên cứu các hàm sin, logarit, hàm mũ và các hàm khác.

Phương pháp tọa độ phẳng phát triển hơn nữa. Chẳng bao lâu trục tọa độ xuất hiện, và vào thế kỷ 18, phép đo lập thể; Hình học “đa chiều” xuất hiện vào thế kỷ 19 và hình học “vô hạn chiều” xuất hiện vào thế kỷ 20. Ngày nay, không thể tưởng tượng được toán học hay vật lý nếu không có phương pháp tọa độ.

Các tác phẩm của Descartes, những ý tưởng triết học, toán học và vũ trụ học của ông ngày nay được quan tâm và thảo luận sâu sắc. Đây là sự vĩ đại của ông với tư cách là một nhà khoa học.

Nhiệm vụ nghiên cứu

Chúng tôi cung cấp cho người đọc một số giá trị trung bình bài toán ​​của các hình chiếu đa giác và khối đa diện. Đặc biệt, với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể giải được bài toán M1030, khác với câu được đặt ở «Kvant» Số 6.

a) Gọi $p_M(l)$ là độ dài hình chiếu của đa giác lồi $M$ lên đường thẳng $l$. Chứng minh rằng giá trị trung bình của $p_M(l)$ trên tất cả các hình chiếu thẳng qua một điểm cho trước bằng $p/\pi$, trong đó $p$ là phần hang của đa giác $M$. (Theo định nghĩa, mức trung bình này là $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} p_M(l_u) da$,

trong đó $l_u$ là đường thẳng, thành phần có trục cố định $l_0$ góc $a$.)

Hai bài toán tiếp theo xét các giá trị trung bình theo mọi hướng trong không gian; Tôi nói về những gì được đặt dưới chúng trong bài viết của Yu. Ionin và A. Plotchin “Giá trị trung bình của một hàm” («Kvant», 1977, Số 7, trang 26).

Chúng ta hãy biểu thị bằng $s_M(P)$ và $t_M(l)$ hình chiếu tương ứng của đa giác lồi $M$ lên mặt phẳng $P$ và độ dài hình chiếu của nó lên đường thẳng $l$.

6. Giá trị trung bình của $s_M(P)$ trên tất cả các mặt phẳng $P$ đi qua một điểm nhất định là bao nhiêu?

c*) Giá trị trung bình của $t_M(l)$ trên tất cả các mặt phẳng $P$ đi qua một điểm nhất định là bao nhiêu?

Gợi ý: không khó hiểu khi đáp số trong bài a) - c) có các kích thước cm, cm², cm³ tương ứng. “Đại lượng hình học” nào liên quan đến đa giác hoặc khối đa diện có kích thước này?

A. V. Goncharov