Dao động điều hòa và cân bằng

42

quy định về bản chất đàn hồi tuyệt đối của quá trình loại bỏ giúp đơn giản hóa rất nhiều việc tính toán áp suất khí, và do đó nó hợp lý.

Áp suất khí trên tường có phụ thuộc vào nhiệt độ của nó không? Thoạt nhìn, nó nên phụ thuộc. Ví dụ, nếu không có sự cân bằng nhiệt thì các phân tử sẽ bật ra khỏi bức tường lạnh với ít năng lượng hơn so với bức tường nóng.

Tuy nhiên, ngay cả khi một bức tường được giữ lạnh bằng thiết bị làm lạnh thì áp suất lên nó vẫn không thể nhỏ hơn áp suất lên bức tường nóng đối diện. Rốt cuộc, con tàu sẽ chuyển động nhanh chóng nếu không có ngoại lực, và điều này mâu thuẫn với định luật cơ học: bằng cách giải phóng một con tàu cố định có các bức tường có nhiệt độ khác nhau, chúng ta sẽ không gây ra sự dịch chuyển của nó. Vấn đề ở đây là đối với một trạng thái không cân bằng nhất định của khí trong bình, nồng độ của các phân tử gần thành lạnh được bù đắp bằng sự gia tăng nồng độ của các phân tử và ngược lại. Kết quả là áp suất lên tường lạnh và nóng là như nhau.

Hãy xem xét một phiên bản khác của thí nghiệm. Hãy làm mát một trong những bức tường thật nhanh chóng. Tại thời điểm đầu tiên, áp suất lên nó sẽ giảm và tàu sẽ di chuyển một chút; khi đó áp suất sẽ cân bằng và bình sẽ dừng*). Nhưng trong quá trình chuyển động này, khối tâm của hệ vẫn giữ nguyên do mật độ khí ở bức tường lạnh sẽ lớn hơn một chút so với ở bức tường nóng.

Cần lưu ý rằng trên thực tế, áp suất không duy trì ở một giá trị cố định nghiêm ngặt. Nó trải qua những biến động, và do đó con tàu hơi “lắc lư” tại chỗ. Nhưng biên độ rung lắc của tàu cực kỳ nhỏ.

Vì vậy, cuối cùng chúng tôi đã đi đến kết luận rằng áp suất khí lên thành bình không phụ thuộc vào chất lượng xử lý thành bình cũng như nhiệt độ của chúng.

G. Vâng. Makshtsev

*) Tàu dừng lại do các phân tử khí khi bị loại bỏ sẽ truyền một xung lực lớn hơn đến bức tường chuyển động về phía chúng.

Dao động điều hòa và cân bằng

Chúng ta nghiên cứu điều gì khi xét dao động của một vật nặng được treo bằng một sợi dây hay ở bên ngoài? Hai phong trào cụ thể hoặc một cái gì đó nhiều hơn?

Hóa ra đằng sau những chuyển động “sơ cấp” của vật nặng là một thế giới rung động khổng lồ, vô tận. Mọi thứ trong tự nhiên đều biến động. Các electron dao động bên trong.atoma,.atomy bên trong các phân tử, các phân tử bên trong tinh thể. Những ngôi nhà, hầu hết và bất kỳ công trình cơ khí nào khác, đều lắc lư. Số lượng shukas và cá diếc trong các hồ chứa, chó sói và thỏ rừng trong rừng dao động. Và điều này có thể kéo dài đến vô tận.

Mỗi dao động được đặc trưng bởi tần số riêng $\omega$ (hoặc chu kỳ $T=2\pi/\omega$) và tần số này là đặc tính quan trọng nhất của bất kỳ hệ dao động nào. Ví dụ, tần số rung động của các nguyên tử trong tinh thể xác định các tính chất vật lý của tinh thể: khả năng chịu nhiệt, độ dẫn nhiệt, điện trở, v.v. Tần số rung động của các cấu trúc cơ học có liên quan đến độ bền và khả năng chống lại mọi loại ảnh hưởng cơ học của chúng. Trên thực tế, một số hệ thống điện (máy phát điện, ăng-ten, v.v.) được tạo ra đặc biệt để thu được các dao động ở tần số nhất định mà chúng ta cần. Do đó, rõ ràng là hiểu được tần số dao động và sự xuất hiện lỗi trong các hệ thống khác nhau quan trọng như thế nào. Nhưng trước khi chúng tôi giải thích cho bạn cách thực hiện điều này, hãy thảo luận tại sao rung động lại phổ biến trong tự nhiên như vậy.

Chúng ta đã quen với việc thế giới xung quanh khá ổn định. Nhà cửa không sụp đổ, thuyền không lật, sói và thỏ cùng tồn tại bền chặt với nhau. Một điều hoàn toàn hiển nhiên là một vật nằm dưới đáy hố sẽ không bao giờ “bò ra” một cách tự nhiên, trong khi một vật nằm trên đỉnh hố trượt có thể lăn xuống một cách đơn giản. Vì vậy, ở một khía cạnh nào đó, ngôi nhà, địa điểm và con thuyền trên mặt nước vô cùng giống nhau

43

trên một cơ thể nằm trên hai cái hố. Chúng giống nhau ở chỗ đều ở trạng thái cân bằng ổn định.

Hóa ra sự ổn định cân bằng và dao động có liên quan chặt chẽ với nhau. Bất cứ khi nào trong vật lý, chúng ta nói về hành vi hoặc tính chất của một hệ thống liên quan đến vị trí cân bằng của nó, bài toán về các dao động sẽ xuất hiện, hoặc, như nó thường được gọi, bài toán về một bộ dao động (từ dao động trong tiếng Latin - I swing). Có rất nhiều vấn đề trong khoa học vật lý hiện đại liên quan đến các tính chất của bộ dao động.

Trạng thái cân bằng ổn định được đặc trưng bởi thực tế là thế năng của hệ ở vị trí này là tối thiểu. Đó là do điều này mà dao động phát sinh. Thật vậy, bằng cách làm lệch hệ khỏi vị trí cân bằng của nó, nhờ đó chúng ta đã làm tăng thế năng của nó. Trong trường hợp này, các lực xuất hiện trong hệ có xu hướng đẩy nó trở lại (để giảm thế năng). Nếu bạn tưởng tượng một hệ thống như vậy, thì nó bắt đầu “tăng tốc”, “lăn” đến vị trí cân bằng (giống như một quả bóng trong lỗ). Thế năng dư thừa được chuyển hóa thành năng lượng liên quan đến chuyển động, tức là động năng. Khi đi qua vị trí cân bằng, “tốc độ” của hệ là cực đại (toàn bộ thế năng của quá trình chuyển đổi đều ở dạng động năng) và hệ đi qua vị trí này. Sau đó, “tốc độ” bắt đầu giảm, động năng lại chuyển thành thế năng, v.v. Dao động xuất hiện.

Không phải ngẫu nhiên mà chúng ta đặt từ “tăng tốc” và “tốc độ” vào chất lượng. Thực tế là đại lượng $v = \Delta x/\Delta t$ (Δx là “độ dịch chuyển” của vật so với vị trí cân bằng), đóng vai trò trong tốc độ, đôi khi trùng với tốc độ thực và đôi khi không (chúng tôi sẽ giải thích điều này bằng một ví dụ bên dưới). Nhưng bất kể điều này, động học và năng lượng trung thực luôn tỷ lệ thuận với bình phương của đại lượng này, tức là.

$$W_k \sim \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Vì đối với một vật chuyển động $W_k = mv^2/2$ thì trong trường hợp tổng quát hơn, động năng thường được viết dưới dạng

$$W_k = \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Giá trị $m$ ở đây thường trùng với khối lượng, nhưng về nguyên tắc nó có thể khác với khối lượng.

Thế năng của một hệ tùy ý liên quan đến vị trí cân bằng ổn định có thể được viết dưới dạng

$$W_p = \frac{k}{2} \Delta x^2.$$

Hệ số 1/2 được giới thiệu ở đây chỉ đơn giản là để thuận tiện (để đối xứng với biểu thức $W_k = mv^2/2$), hệ số $k$ là khác nhau trong từng trường hợp cụ thể và giá trị $\Delta x$, như đã đề cập, là một “sự dịch chuyển” nhỏ của vật thể khỏi vị trí cân bằng.

Khi mô tả bất kỳ hiện tượng vật lý nào, năng lượng có lẽ đóng vai trò cơ bản nhất. Nếu chỉ vì định luật bảo toàn nó hạn chế rất nhiều khả năng xảy ra các loại chuyển động. Nó cũng cực kỳ quan trọng trong trường hợp của chúng tôi. Hãy đưa ra một số tuyên bố chung:

Nếu tổng năng lượng của hệ, bằng tổng thế năng và động năng, tại một thời điểm tùy ý được viết dưới dạng

$$W = \frac{k \Delta x^2}{2} + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2,$$

thì điều này trước hết có nghĩa là hệ đang dao động và thứ hai là bình phương của tần số dao động bằng tỷ số của các hệ số xác định thế năng và động năng, tức là $\omega^2 = k/m$.

Vì vậy, chúng tôi đã xây dựng quy tắc cơ bản để tìm tần số của bóng đèn -

44

này. Hãy để chúng tôi minh họa điều này bằng các ví dụ.

Ví dụ đầu tiên (rất đơn giản) là một vật đặt trên một lò xo (hình 1). Vai trò của thế năng trong trường hợp này là do năng lượng của lò xo biến dạng (k là độ cứng của lò xo). Từ phát biểu tổng quát ta thu được

$$W = \frac{k}{2} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{k}{m},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Tương tự, tần số của bất kỳ lò xo rung nào cũng được tìm thấy: các phân tử trong tinh thể, tháp truyền hình Ostankino hoặc một địa điểm bên kia vịnh ở San Francisco, v.v.

Ví dụ thứ hai (phức tạp hơn một chút) là ma trận toán học (hình 2). Khi viết thế năng của một điểm vật chất trong trường hấp dẫn, cần lưu ý rằng trong biểu thức $W_p = mgh$ các giá trị là $h = \Delta x^2/2l$ (điều này suy ra từ sự giống nhau của các tam giác ABD và ABC trên hình 2). Sau đó, từ tuyên bố chung, nó như sau:

$$W = \frac{mg}{2l} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{g}{l},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Tần số dao động của một quả bóng trong lỗ, một con tàu trên mặt nước, v.v. đều được tìm thấy tương tự nhau.

Ví dụ ba (điện) - mạch dao động (hình 3). Ở trạng thái cân bằng, không có điện tích trên tụ điện (C) cũng như không có dòng điện chạy qua cuộn dây (L). Khi lệch khỏi trạng thái cân bằng, điện tích $\Delta Q$ xuất hiện trên tụ điện và dòng điện $I = \Delta Q/\Delta t$ chạy qua cuộn dây. Vai trò của thế năng được thực hiện bởi năng lượng của tụ điện tích điện: $W_p = (\Delta Q)^2/(2C)$ (xét cho cùng, chính năng lượng này có liên quan đến sự sắp xếp lẫn nhau của các điện tích). Vai trò của động năng được đảm nhận bởi năng lượng dự trữ trong cuộn dây: $W_k = LI^2/2 = (L/2)(\Delta Q/\Delta t)^2$ (nó liên quan đến dòng điện, tức là với sự chuyển động của các điện tích; $I = \Delta Q/\Delta t$ đóng vai trò của tốc độ). Vì thế,

$$W = \frac{1}{2C} (\Delta Q)^2 + \frac{L}{2} \left( \frac{\Delta Q}{\Lambda t} \right)^2,$$

$$\omega^2 = \frac{1}{LC},$$

Việc xác định tần số dao động theo loại năng lượng tỏ ra thuận tiện trong mọi trường hợp khác.

Tóm lại, tôi muốn nói rằng dao động không phải là một trong những loại chuyển động của chuỗi đa giác, mà đại diện cho một hiện tượng cơ bản, một yếu tố của “bảng chữ cái” mờ ám đó mà thiên nhiên tạo ra mọi thứ xung quanh chúng ta.

E. E. Gorodetsky

Danh sách độc giả nghe đúng lời giải
(Để bắt đầu, xem trang 29)

K. Nikolaev (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 33-36; A. Novik (Mozyr) 33; D. Novotkov (Alma-Ata) 29, 33, 40; A. Nosenko (Kommunarsk) 33, 35; C. Nochevyi (Zaporozhye) 33, 35; E. Odnorozova (Vinitsa) 29; K. Olkhin (Krasnodar) 35; O. Parush (Odintsovo) 36, 40; D. Pastukhov (Moscow) 29, 40; J. Petko (Minsk) 33, 35, 40; A. Platonov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 35; A. Podtelezhnikov (Kharkov) 36; O. Pokramovich (làng Sokki, vùng Brest) 33; P. Polykin (Tula) 33, 35; A. Portugalov (Kyiv) 40; O. Radchin (Narofominsk) 33, 35; A. Raev (Bor-Yndur, Mông Cổ) 33, 35; N. Rakhmanov (Lenkoran) 33, 35; T. Rashnik (Kyiv) 33, 35; M. Rzayev (Baku) 36; D. Romanin (Novosibirsk) 33, 40; J. Runa (Kyiv) 40; A. Rybak (Novosibirsk) 40; P. Sadayak (làng Matusov, vùng Chernogoslav) 33-36; B. Sasenko (Ulan-Ude) 33; S. Sazonov (Klimovsk) 33, 35; Yu. Samokhvalov (Omsk) 35; B. Safonov (Chelyabinsk) 32; A. Sedlov (Tselinograd) 40; E. Semenoga (làng Irsha, vùng Krasnogrsk) 40; A. Sibirkov (Tomsk) 35, 36; N. Sidorov (Kyiv) 33, 35, 36; S. Silvestrov (Kyiv) 33, 35, 36; D. Simonyan (Riga) 35; B. Sintsky (Leningrad) 36; B. Skvortsov (Cherkasy) 29; B. Smirnov (Tikhvin) 33; M. Sokolov (Odintsovo) 35; A. Stavitsky (Baku) 29, 32, 33, 35; P. Starkov (làng Chernogolovka, vùng Moscow) 40; A. Starodubov (Alma-Ata) 29; B. Startsev (Alma-Ata) 32; A. Stenura (Ivano-Frankivsk) 29, 32, 33, 35; A. Subbotin (Alma-Ata) 34; B. Tereshchenko (Kyiv) 33; D. Tilza (Alma-Ata) 40; O. Tolmache (Kyiv) 40; A. Tolstykh (Dnepropersky) 29; F. Trichuk (Moscow) 33, 35; B. Tour (Kyiv) 33, 35; B. Tyagnirdno (Minsk) 32; G. Feitsin (Tula) 33, 35; B. Firsov (Moscow) 33, 40; H. Fatayv (Belorek) 33; F. Fot (Tomsk) 36; P. Fursikov (Kuibyshev) 33, 35; Yu. Kharchenko (Moscow) 40; P. Khil (làng Ovidiopol, vùng Odessa) 40; D. Khosid (Almaty) 40; S. Khrapov (Kolomna) 29; O. Tsodikov (Artemovsk) 33; I. Chaika (Kuznetsovsk) 33; O. Chanov (Vrest) 29; M. Chekushina (Almaty) 35; E. Chernyshev (Tashkent) 35; I. Shatalov (Dolgoprudny) 35; A. Shzabutdinov (Dimitrovgrad) 35; S. Shtovba (Vinitsa) 29, 33, 35; U. Yusupov (Shavat) 40; I. Yasikov (Tolyatti) 35, 40.