Bài toán Olympic Toán học Thành phố Moscow lần thứ 50

60

Khi sữa được đun sôi, bề mặt sữa sẽ xuất hiện bọt dày đặc. Chảo đặt trên bếp và nóng lên từ $t_1=98^\circ\text{C}$ đến $t_2=99^\circ\text{C}$ trong $\tau=0,5$ phút. Sau đó bao lâu thì sữa sẽ hết? Tổng lượng sữa bao gồm 90% là nước, nhiệt độ không khí riêng trong phòng tăng từ $t_1=17^\circ\text{C}$ lên $t_2=21^\circ\text{C}$ và độ ẩm - từ $\varphi_1=40\%$ lên $\varphi_2=60\%$. Ở nhiệt độ $t_1$, áp suất của hơi nước bão hòa là $p_1=1,94$ kPa, và ở nhiệt độ $t_2$ - $p_2=2,49$ kPa. Khối lượng mol của hơi nước là $M=0,018$ kg/mol. Bao nhiêu nước đã bốc hơi trong phòng?

lớp 10

1. Ban giám khảo Olympida ngồi trong một căn phòng có diện tích $S=20\text{ m}^2$ và chiều cao $H=3\text{ m}$. Kết quả của cuộc tranh luận sôi nổi, nhiệt độ không khí trong phòng đã tăng từ $t_1=17^\circ\text{C}$ lên $t_2=21^\circ\text{C}$ và độ ẩm - từ $\varphi_1=40\%$ lên $\varphi_2=60\%$. Ở nhiệt độ $t_1$, áp suất của hơi nước bão hòa là $p_1=1,94$ kPa, và ở nhiệt độ $t_2$ - $p_2=2,49$ kPa. Khối lượng mol của hơi nước là $M=0,018$ kg/mol. Bao nhiêu nước đã bốc hơi trong phòng?

2. Trong một hộp hình trụ có bán kính $R$ thành nhẵn có một vòng đệm nhỏ, khối lượng của nó bằng khối lượng của hộp và khoảng cách từ tâm hộp đến vòng đệm bằng một nửa bán kính của hộp. Tại một thời điểm nào đó, chiếc hộp có tốc độ $u$, hướng về bên phải và quả bóng có cùng tốc độ tuyệt đối, hướng sang một bên (hình 10). Xác định quỹ đạo của hộp trên bàn. Các va chạm có tính đàn hồi tuyệt đối, không có lực căng.

3. Một cuộn dây siêu dẫn ngắn mạch có lõi sắt chuyển động dọc theo trục của nó. Sự phụ thuộc của độ tự cảm $L$ của cuộn dây vào sự trộn $x$ của tâm lõi so với tâm cuộn dây được thể hiện ở hình 11. Ở trạng thái ban đầu $x=0$ (lõi được đưa vào cuộn dây), dòng điện trong cuộn dây là $I_H=1$ A. Sau đó lõi được lấy ra. Sau đó cường độ dòng điện trong cuộn dây sẽ như thế nào?

4. Ở trạng thái ban đầu của mạch (hình 12), tụ điện không được tích điện. Tại thời điểm $t=0$ phím $K$ đã đóng. Tìm điện tích chạy qua diode nếu $R=10\text{ kOm}$, $C=1\text{ мКФ}$, có thể bỏ qua điện trở trong của pin. Đặc tính dòng điện-điện áp của diode được thể hiện trong biểu đồ ở hình 12.

Ấn phẩm được biên soạn bởi A. I. Vuzdin, S. S. Krotov, O. Yu. Ovchinnikov

Thạc sĩ Olympic Toán học Thành phố Moscow Patides

Vòng chung kết Olympic Toán học thành phố Patides Moscow ngày 15/2/1987 tại Đại học Moscow. 697 học sinh từ lớp 7–10 đã tham gia. Dưới đây là nhiệm vụ của khóa học này (được tính trong 4 giờ). Năm trong số bài toán Etosk đã được đưa vào “Sách Vấn đề Kvat” và lời giải của chúng được xuất bản trong số này.

lớp 7

1. Tháng 3 năm 1987, thầy quyết định thành lập câu lạc bộ toán lớp 11 sôi động. Chứng minh rằng nếu vào thứ bảy và chủ nhật