Bài toán M1061—M1065; F1073—F1077

21

Nhiệm vụ

M1061 — M1065, F1073 — F1077

M1061. Ở một quốc gia có nhiều hơn hai thành phố, một số cặp thành phố được nối với nhau bằng những con đường giao nhau. Biết rằng với ba thành phố A, B, C bất kỳ, có thể đi dọc theo mạng đường này từ A đến B mà không dừng lại ở C. Chứng minh rằng giao thông một chiều có thể được lắp đặt trên tất cả các con đường sao cho từ mỗi thành phố có thể lái xe đến bất kỳ thành phố nào khác, theo các hướng đã thiết lập.

V. E. Kolosov

M1062. a) Lấy điểm E và D trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại các điểm M, AM và BC tại các điểm P, AM và DE tại điểm N. Chứng minh rằng

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

6. Các điểm D, E, F lấy trên các cạnh SA, SB, SC của khối đa diện SABC. Các mặt phẳng ABF, BCD và CAE cắt nhau tại M, đường thẳng SM cắt các mặt phẳng ABC và DEF tại P và N. Chứng minh rằng

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

T. A. Dzhortmenadze, E. Ya. Gleibman

M1063. Có bao nhiêu số nguyên khác nhau có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu $a - \bar{a}$, trong đó $a - n$ là số tự nhiên ($10^{n-1} \leq a < 10^n$), $\bar{a}$ là số thu được bằng cách viết các chữ số $a$ theo thứ tự ngược lại? Ví dụ: nếu $a = 1917$ thì $a - \bar{a} = 1917 - 7191 = -5724$. Chỉ định đáp số cho: a) $n = 4$; b) $n = 5$; b) bất kỳ $n$ tự nhiên nào.

G. O. Elstin

M1064. Số giao điểm tối đa mà một đường đứt đoạn trong mặt phẳng $n$ khép kín có thể có là bao nhiêu nếu: a) $n$ là số lẻ; b) $n$ chẵn? (Giả định rằng không có ba đỉnh nào nằm trên cùng một đường thẳng và không có ba đường liên kết nào cắt nhau tại cùng một điểm.) D. V. Fuchs

M1065.* Chúng ta sẽ xem xét các vectơ $(x; y)$ có tọa độ nguyên không âm và ít nhất một trong các tọa độ khác 0. Chúng ta hãy cô lập vectơ tạo như vậy nếu $|x - y| = 1$.

a) Chứng minh rằng vectơ $(x; y)$ đang xét có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các số sinh (hoặc chính nó là một số sinh) khi và chỉ khi đại lượng $k(x, y) = x + y - (x - y)^2$ không âm.

6. Chứng minh rằng số $n(x, y)$ khác nhau (theo thứ tự độ lớn) được biểu diễn bằng vectơ $(x; y)$ là tổng các số sinh của bàn sao cho bóng chạm sàn càng xa điểm xuất phát càng tốt? Khoảng cách tối đa này là bao nhiêu?

A. V. Khelsis

22

We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than December 1st, 1987, to the follo-

F1074. Papa Carlo đã làm một chiếc mũ cho Pinocchio từ vải cứng mỏng. Mũ có dạng hình nón cao $H=20$ cm với góc $\alpha=60^\circ$ ở đỉnh. Liệu chiếc mũ này có nằm trên đầu Pinocchio không nếu đầu này là một quả bóng nhẵn có đường kính $D=15$ cm?

S. S. Krotov

F1075. Trong khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, sinh viên hạ nồi hơi vào bình chứa nước, bật nó lên và bắt đầu ghi lại nhiệt độ ba phút một lần. Dữ liệu về sự thiếu sót này nằm trong Bảng 1. Sau đó, ông làm nguội nước, cho một mẫu kim loại nhỏ vào bình và tiến hành đo lại. Kết quả của sự thiếu sót này được trình bày trong Bảng 2.

Xác định nhiệt dung của mẫu từ những dữ liệu này. Điện áp nguồn $U=35$ V, dòng điện qua nồi hơi $I=0,2$ A, nhiệt độ phòng $t_0=20^\circ$ C.

L. P. Bakanina

F1076. Để nghiên cứu pin năng lượng mặt trời, một vôn kế đa dải được sử dụng (nó bao gồm một microampe nhạy và một bộ điện trở bổ sung). Bằng cách kết nối nó với pin ở giới hạn 1 V, chúng ta nhận được số đọc $U_1=0,7$ V. Chuyển vôn kế sang giới hạn 10 V, chúng ta nhận được số đọc $U_2=2,6$ V. Điều gì sẽ xảy ra ở giới hạn 100 V? Được biết, dưới ánh sáng liên tục, pin mặt trời hoạt động giống như một nguồn thông thường, được nối nối tiếp với một điện trở có điện trở cao.

A. R. Zilberman

F1077. Theo một giả thuyết, các ngôi sao được hình thành từ môi trường liên sao (bụi vũ trụ) bằng cách lăn dưới tác dụng của lực hấp dẫn. Ước tính thời gian hình thành một ngôi sao từ đám mây bụi vũ trụ hình cầu khổng lồ với mật độ $\rho=2\cdot10^{-20}$ g/cm$^3$. Chúng ta có thể giả sử rằng khi lăn, các hạt không đuổi kịp nhau. Hằng số hấp dẫn $G=6,67\cdot10^{-11}$ N m$^2$/kg$^2$.

V. E. Skorovarov

Problems

M1061—M1065, P1073—P1077

M1061. In a country of more than two cities some pairs of cities are connected by non-intersecting roads. It is known that for any three cities $A, B, C$ it is possible to travel from $A$ to $B$ on these roads without going through $C$. Prove that it is possible to choose directions of one — way traffic on all the roads so that any city may be reached from any other along the roads in the chosen directions.

V. K. Kolosov

M1062. a) Points $E$ and $D$ are chosen on sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$. The lines $BD$ and $CE$ intersect at the point $M$, $AM$ and $BC$ at $P$, $AM$ and $DE$ at $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$

b) Points $D, E$ and $F$ are chosen on the sides $SA, SB$ and $SC$ of the tetrahedron $SABC$. The planes $ABF, BCD$ and $CAE$ intersect at the point $M$, the line $SM$ intersects planes $ABC$ and $DEF$ at $P$ and $N$. Prove that

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

T. A. Djortmenadze, E. Ya. Gleibman