Гармонические колебания и равновесие

42

положение об абсолотно упругом характере удаля сільно упрощает вычисление давления газа, и поэтому оно оправдано.

А зависит ли давление газа на стенку от ее температуры? На первый взгляд — должно зависит. Если, например, нет теплового равновесия, то молекуры от холодной стены должны отскакивать с меньшей энергией, чем от горячей.

Однако, даже если одну стенку поддерживает холодной с помощью холодильной установки, то давление на нее все равно не может быть меньше, чем давление на противоположную горячею стенку. Ведь тогда сосуд наcalы бы дивятся ускоренно без внешних сил, а это противоречит законом механики: освободив закрепленный сосуд со стенками различной температуры, мы не вызовем его смещения. Дело здесь в том, что при данном неравновесном состоянии газа в сосуд концентрация молекул у холодной стены компенсируется увеличением концентрации молекул и наборот. В результате давление на холодную и горячую стены оказывается одним и тем же.

Рассмотрим еще один вариант опыта. Охладим очень быстро одну из стенок. В первый момент давление на нее уменьшится, и сосуд немного сдинится с места; затем давления выравниются, и сосуд остановится*). Но при этом движении центр масс системы остается на месте из-за того, что плотность газа у холодной стеныстанет чуть больше, чем у горячей.

Следует отметить, что на самом деле давление не остается строго фиксированной величины. Оно испытывает флуктуации, и поэтому сосуд слегка «дрожит» на месте. Но амплитуда дрожания сосуда крайне мала.

Итак, окончательно мы пришли к выводу, что давление газа на стенки в сосуд не зависит ни от качества обработки стенок, ни от их температуры.

Г. Я. Макшцев

*) Остановка сосуда произойдет из-за того, что молекуры газа при удале передают больший импульс той стенке, которая движется им навстречу.

Гармонические колебания и равновесие

Что мы изучаем, рассматривая колебания грузика, подвешенного нанитке или наружке? Два конкретных движения или нечто большее?

Оказывается, за «элементарными» движениями грузика стоит огромный, понятие неисчерпаемый мир колебаний. В природа колебляется все. Колебются электроны внутри.atoma,.atomy внутри молекул, молекулы внутри кристалла. Колебются дома, mostly и любые другие механические конструкции. Колебется количество шук и карасей в водоемах, волков и зайцев в лесах. И так можно было бы продолжать до бесконечности.

Кажде колебание характеризуется своей частотой $\omega$ (или периодом $T=2\pi/\omega$), и частота эта является важнейшей характеристикой любой колеблющей системы. Так, например, частоты колебаний atomов в кристаллах определяют физические свойства кристаллов: их тепломкость, теплопроводность, электрическое сопротивление и т. д. Частоты колебаний механических конструкций связаны с их прочноостью и устойчивостью по отношению ко всякого рода механических воздействиям. Некоторые электрические системы (генераторы, антенны и т. п.), в существии, специализно создаются для того, чтобы получить колебания определенных, нужных нам частот. Понятно поэтому, как важно уметить частоты колебаний, возникка ошибок в различных системах. Но прежде чем рассказыть, как это делается, обсудим, почему вообще колебания так распространены в природе.

Мы привыклили к тому, что мир воскруг нас довольно устойчив. Дома и месты не разрушаются, корабли не переворачиваются, волки и зайцы устойчиво сосуществуют друг с другом. Каждый полне очевидным, что тело, лежащое на дне ямы, самопроизвольно нижогда не «выползет» из нее, в то время как лежащое на вершине горки тело вполне может взять да и скатиться вниз. Так вот, в определенном смысле и дом, и мест, и карабль на воде чрезвычайно похожи

43

на лежащее на две ямы тело. Похожи тем, что все они находятся в положении устойчивого равновесия.

Оказывается, устойчивость равновесия и колбания тесно связаны друг с другом. Всякий раз когда в физике заходит речь о поведении или свойств системы вызли ее положения равновесия, возникает задача о колбаниях, или, как ее часто называют, задача об осцилляторе (от латинского осcilло — качаюсь). К осциллятору свойства большое число проблем современной физической науки.

Устойчивое равновесие характеризуется тем, что потенциальная энергия системы в этом положении минимальная. Именно благодаря этому и возникают колбания. Дейстивительно, отклонив систему из положения равновесия, мы тем самим увеличили ее потенциальную энергию. В системе при этом возникают силы, стремящиеся вернуть ее обратно (уменьшить потенциальную энергию). Если представить такую систему самой себе, то она начинает «разгонять», «скатывая» к своему положению равновесия (как шарик в ямке). Избиточная потенциальная энергия переходит в энергию, связанную с движением, то есть в кинетической. При прохождения положения равновесия «скорость» системы максимальная (вся потенциальная энергия переша в кинетической), и система проскаивает это положение. В дальнейшем «скорость» начинает уменьшаться, кинетическая энергия вновь переходит в потенциальную и т. д. Возникают колбания.

Мы не случайно слова «разгонять» и «скорость» поставили в качестве. Дело в том, что величина $v = \Delta x/\Delta t$ (Δx — «смешение» тела из положения равновесия), которая играет скорости, иногда совпадает с настоящей скоростью, а иногда нет (чуть ниже мы поясим это на примере). Но независимо от этого кинетика чесная энергия всегда пропорциональна квадрату этой величины, т. е.

$$W_k \sim \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Так как для движущегося тела $W_k = mv^2/2$, то и в более общем случае кинетическая энергия принято записать в виде

$$W_k = \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2.$$

Величина $m$ здесь часто совпадает с массой, но в принципе может и отличаться от нее.

Потенциальная энергия произволной системы вызли положения устойчивого равновесия может быть записана в виде

$$W_p = \frac{k}{2} \Delta x^2.$$

Множитель 1/2 здесь введен просто для удобства (для симметрии с выражением $W_k = mv^2/2$), коэффициент $k$ в каждом конкретном случае свой, а величина $\Delta x$, как уже говорилось,— малое «смешение» тела из положения равновесия.

При описании любого физического явления энергия играет, пожалуй, самуюfundamentalную роль. Хотя бы потому, что закон ее сохранения сильно ограничивает возможность типы движения. Чрезвычайно важна она и в нашем случае. Сделаем неокоторое общее утверждение:

Если полная энергия системы, равная сумме потенциальной и кинетической энергии, в произвольный момент времени записывается в виде

$$W = \frac{k \Delta x^2}{2} + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2,$$

то это означает, во-первых, что система колбляется и, во-вторых, что квадрат частоты колбаний равен отношению коэффициентов, определяющих потенциальную и кинетическую энергии, т. е. $\omega^2 = k/m$.

Вот мы и формулировали основное правило нахождения частот колба-

44

ний. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Пример первый (совсем простой) — тelo на пружинке (рис. 1). Роль потенциальной энергии в этом случае играет энергия пружей деформации (k — жесткость пружины). Из общего утверждения получаем

$$W = \frac{k}{2} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{k}{m},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.$$

Аналогично находятся частоты любых пружин колебаний: молекул в кристалле, Останкинской телебашни или места через залив в Сан-Франциско и т. п.

Пример второй (чуть сложнее) — математический матрик (рис. 2). При записи потенциальной энергии матриальной точки в поле тяготения надо учеть, что в выражении $W_p = mgh$ величины $h = \Delta x^2/2l$ (это следует из подобия треугольников ABD и ABC на рисунке 2). Тогда из общего утверждения следует:

$$W = \frac{mg}{2l} \Delta x^2 + \frac{m}{2} \left( \frac{\Delta x}{\Lambda t} \right)^2, \quad \omega^2 = \frac{g}{l},$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Аналогично находятся частоты колебаний шарика в ямке, корабля на воде и т. д.

Пример третий (электрический) — колебательный контур (рис. 3). В равновесии ни заряда на конденсаторе (C), ни тока через катушки (L) нет. При отклонении от равновесия на конденсаторе появляется заряд $\Delta Q$, а через катушки теет tok $I = \Delta Q/\Delta t$. Роль потенциальной энергии играет энергия заряженного конденсатора: $W_p = (\Delta Q)^2/(2C)$ (ведь именно она связана с взаимным расположением зарядов). Роль кинетической энергии берет на себя энергия, запасенная в катушки: $W_k = LI^2/2 = (L/2)(\Delta Q/\Delta t)^2$ (она связана с током, т. е. с движением зарядов; $I = \Delta Q/\Delta t$ играет роль скорости). Итак,

$$W = \frac{1}{2C} (\Delta Q)^2 + \frac{L}{2} \left( \frac{\Delta Q}{\Lambda t} \right)^2,$$

$$\omega^2 = \frac{1}{LC},$$

Определение частот колебаний по виду энергии оказывается удобным и влюбом другом случае.

В заключение хочется сказать, что колебания не есть один из типов движения в ряду многохругих, а представляют собой фундаментальное явление, элемент того тинистенного «алфавита», с помощью которого природа создает все, что нас окружает.

E. E. Городецкий

Список читателей, прислуших правильные решения
(Начало см. на с. 29)

К. Николаев (п. Черноголовка Московской области) 33—36; A. Новик (Мозырь) 33; Д. Новотков (Алма-Ата) 29, 33, 40; A. Носенко (Коммунарск) 33, 35; C. Ночевый (Запорожье) 33, 35; E. Однорозова (Виница) 29; K. Ольхин (Краснодар) 35; O. Паруш (Одинцово) 36, 40; Д. Пастухов (Москва) 29, 40; J. Петъко (Минск) 33, 35, 40; A. Платонов (п. Черноголовка Московской области) 35; A. Подтележников (Харьков) 36; O. Покрамович (д. Сокки Брестской области) 33; П. Полыкин (Тула) 33, 35; A. Португалов (Киев) 40; O. Радчин (Нарофоминск) 33, 35; A. Раев (Бор-Yндур, МНР) 33, 35; H. Рахманов (Ленкорань) 33, 35; T. Рашник (Киев) 33, 35; M. Рзаев (Баку) 36; Д. Румынин (Новосибирск) 33, 40; J. Руна (Киев) 40; A. Рыбак (Новосибирск) 40; P. Садайак (с. Матусов Черногославой области) 33—36; B. Сасенко (Улан-Удэ) 33; C. Сазонов (Климовск) 33, 35; Ю. Самохвалов (Омск) 35; B. Сафонов (Челябинск) 32; A. Седлов (Целиноград) 40; E. Семенога (п. Ирша Красногрского кр.) 40; A. Сибирков (Томск) 35, 36; H. Сидоров (Киев) 33, 35, 36; C. Сильвестров (Киев) 33, 35, 36; D. Симонян (Рига) 35; B. Синцкий (Ленинград) 36; B. Скворцов (Черкассы) 29; B. Смирнов (Тихвин) 33; M. Соколов (Одинцово) 35; A. Ставицкий (Баку) 29, 32, 33, 35; П. Старков (п. Черноголовка Московской области) 40; A. Стародубов (Алма-Ата) 29; B. Старцев (Алма-Ата) 32; A. Стенура (Ивано-Франковск) 29, 32, 33, 35; A. Субботин (Алма-Ата) 34; B. Терещенко (Киев) 33; Д. Тильза (Алма-Ата) 40; O. Толмаче (Киев) 40; A. Толстых (Днепроперский) 29; Ф. Тричук (Москва) 33, 35; B. Тур (Киев) 33, 35; B. Тягнирдно (Минск) 32; Г. Фейцин (Тула) 33, 35; B. Фирсов (Москва) 33, 40; H. Фатayв (Белорек) 33; Ф. Фот (Томск) 36; П. Фурсиков (Куйбышев) 33, 35; Ю. Харченко (Москва) 40; П. Хиль (п. Овидиополь Одеской области) 40; Д. Хосид (Алма-Ата) 40; C. Храпов (Коломна) 29; O. Цодиков (Артемовск) 33; И. Чайка (Кузнецовск) 33; O. Чанов (Врест) 29; M. Чекушина (Алма-Ата) 35; E. Чернышев (Ташкент) 35; И. Шаталов (Долгопрудный) 35; A. Шзабутдинов (Димитровград) 35; C. Штовба (Виница) 29, 33, 35; У. Юсупов (Шават) 40; И. Ясиков (Тольятти) 35, 40.