Соображения непрерывности

Квант 1987, №9 с. 45-50 Тег XQK0

С. Л. ТАВАЧНИКОВ

В большинстве задач из школьного учебника математики требуется решить уравнение, найти значение койй-либо величины, построить фигуру с заданным свойствами и т. д. Эта статья посвящена задачам другого сорта — в них требуется только доказать, что искомый корень, число, фигура и т. д. существует. Метод решения, который мы будем пользоваться, — это соображения непрерывности.

Задачи о плоских фигурах

Начнем с такой задачи. На плоскости расположена неокоторая фигура. Доказать

Рис. 1.

жите, что существует вертикальная прямая, делящая ее площадь пополам.

Возьем вертикальную прямую, расположенную слева от данной фигуры (рис. 1, а), и начнем перемещать ее направо. В некоторых моментах прямая коснется границы фигуры (рис. 1, б), затем будет скольнить по фигуре (рис. 1, в—д) и наконец окажется справа от фигуры (рис. 1, ж). Как меняется при таком движении площадь той части фигуры, которая лежит слева от прямой (синяя часть на рисунке 1)? Эта площадь непрерывно изменяется от нуля (рис. 1, а) до площади всей фигуры S (рис. 1, ж). Следовательно, в некоторых моментах эта площадь равна половине площади всей фигуры. В этот момент вертикальная прямая и делила площадь фигуры пополам.

Обсуждение это решение. Во-первых, оно не дает возможность построить нужную прямую, а только доказывает ее сущность в виде данной фигура совершенного произвольная.

Во-вторых, наше решение показывает, что существует прямая произвольного направления, делящая площадь фигуры пополам. Более того, из решения также следует, что прямая, проходящая в данном направлении и делящая площадь фигуры пополам, определяется единственным образом. Этот мы в дальнейшем будем пользоваться.

Взглянем на наше решение несколько с другой точки зрения. Выберем на плоскости горизонтальной числовую ось (рис. 2, а). Положение произвольной вертикальной прямой $l$ характеризуется числом $x$ (точкой, в которой прямая $l$ пересекает ось). Расстояним площадь части фигуры, лежащей слева от прямой $l$ , как функцию $f(x)$ . График этой непрерывной функции показан на рисунке 2, б). Найти прямую, делящую площадь фигуры пополам, это значит найти числовой оси такого точку $c$ , для которой $f(c)=S/2$ .

Рассмотрим на рисунке 2, б) горизонтальную прямую $y=S/2$ . Левый конец графика функции $f(x)$ лежит ниже прямой, а его правый конец — выше, так как $f(a)=0<S/2$ , а $f(b)=S>S/2$ . Следовательно, существует точка пересечения горизонтальной прямой $y=S/2$ с графиком $f(x)$ . В этой точке и выполнен равенство $f(c)=S/2$ .

Свойство непрерывных функций, которые мы пользовались при решении ницы, называется теоремой о проемжуточном значении:

между двуяя соими значениями непрерывная функция принимает все промежуточные значения.

Волlee формально: если $f(x)$ — непрерывная функция на отрезке $[a; b]$ и $c$ — неокоторое число, заключенное между $f(a)$ и $f(b)$ , то на отрезке $[a; b]$ найдется такая точка $x_0$ , что $f(x_0)=c$ .

Например, в нашей задаче функция $f(x)$ принимает значение $S/2$ , заключенное между $f(a)=0$ и $f(b)=S$ .

Теорема о промежуточном значении почти очевидна. И как многое очевидные утверждения, доказать ее несовсем просто. Для доказательства пришлось бы углубиться в определение непрерывной функции и действительного числа. Это уведомы нас слишком далеки от темы нашей статьи, поэтому путь теорема о промежуточном значении остается для нас просто очевидной. И еще одно: мы не доказывали, что площадь части функции, лежащей от прямой, непрерывно зависит от положения этой прямой (т. е., что $f(x)$ — непрерывная функция). Это тоже почти очевидно; и в других задачах этой статьи мы не будем отделно доказывать непрерывность возникающих при решении функции.

Задание

а) Дана выпуклая фигура*) и точка в еее. Доказите, что существует прямая, проходящая в данном направлении и делящая площадь фигуры пополам.
В что превращится предыдущая задача, если точка будет стремиться в бесконечность?
b) Решите п. a в случае, когда точка лежит в нутри фигуры.
г) Верно ли, что в п. a и в существует единственная прямая?
а) Даны две выпуклые фигуры (может быть, пересекающиеся). Доказите, что существует прямая, делящая площадь каждой из фигуры пополам.

В что превращится эта задача, если одна из фигура стянется в точку?

*) Выпуклая фигура вместе с любыми двумя точками содержит целиком и соединяющий их отрезок. Например, круг — выпуклая фигура, а окружность — нет.

Рис. 3.

Почему табурет квадратный?

Представьте себе, что пол на кухне у вас не очень robustый (так обычно и бывают, особенно если он покрыт линолеумом). Поэтому квадратный табурет стоит на полу только время ножками, а четверняя ножка висит в воздухе. Можно ли так передвинуть табурет, чтобы он стоял на полу всеми четырьмя ножками или может сличится, что, как его ни дивят, табурет все равно будет качаться? Мы, конечно, предполагаем, что, когда табурет твердо стоит на четырех ножках, его поверхности может быть несколько наклонена по отношению к полу.

(Прежде чем приступить к математическому решению этой задачи, проведите эксперимент у себя на кухне. После того как этот эксперимент дает положительный ответ на наш вопрос, перейдите к математическому решению задачи.)

Будем считать, что поверхность пола, хотя и не является плоской, все же отличается от плоской не слишком сильно. Это предположение позволяет использовать полы «патологической» формы — такой, например, как пол пешеры, покрытый сталгитами, т. е. известковыми сосульками, растущими вверх.

Итак, пусть у табурета ножки A, B и C стоит на полу, а четверняя ножка D висит в воздухе (рис. 4; a).

Не отрывая ножек A и C от пола, поверхем табурет относительно прямой AC таким образом, чтобы ножки B и D находились в воздухе на равном расстоянии от пола (рис. 4, б); расстояние до пола отсутствует вдоль направления ножек). В таком положении (две ножки табурета стоит на полу, а две другие нахождения от пола на равном расстоянии) табурет можно передвигать.

Представим себе, что пол сделан из плотина и ножки табурета могут свободно пройти сквозь него. Опустим табурет в направлении его ножек так, чтобы ножки B и D оказались на полу, а ножки A и C — ниже поверхности пола и на равном расстоянии от нее (рис. 4, с).

Начнем поворачивать табурет вокруг центра против часов стрелки из положения 4, б, не отрывая ножек A и C от пола и сохраняя равное расстояние от ножек B и D до пола. После повората на 90° ножки A и C займут положение ножек D и B на рисунке 4, б, а ножки B и D — соответственно положения ножек A и C на рисунке 4, б. Во время движения табурета расстояние от ножек B и D до пола меняется непрерывно. В начальной момент — рисунок 4, б — это расстояние положительно, так как ножки выше поверхности пола, а в конечный момент, изображенный на рисунке 4, б, — отрицательно, так как ножки ниже поверхности пола. Следовательно, был момент, когда это расстояние равной нулю. В этот момент табурет и стоял на всех четырех ножках.

Нашшее имеем не только теоретическую, но и практическую ценность — поворачивая табурет на 90° вокруг центра, можно найти устойчивое положение. Проверьте это экспериментально. И еще одно замечание. Нашшее основано на том, что ножки табурета расположены в вершинах квадрата. Если бы они были расположены в вершинах прямой

Угольника или другого четырехугольника, наше рассужение бы не прошло. Автору не извесно, верно ли утверждение задачи для четырехугольников, отличных от квадрата (во всяком случае, ясно, что четырехугольник должен быть вписанным в окружность). Если кто-нибудь из читателей смотет разобраться в этом вопросе, обязаьтено сообщите нам.

Задание

Учитель попросил доказать, что выпуклую фигуру можно разделить парой взаимно перпендикулярных прямых на четыре равновеллические части. Один ученик предложил такое решение. «В любом направлении можно проведти единственную прямую l, деляшую площадь фигуры пополам (рис. 5, a). Каждый из получшихся плоских фигуры можно разделить на две равновеллические части прямыми, перпендикулярными l (рис. 5, б). Начнем изменять направление прямой l, сохраняя вид чертежа. После изменения направления на 180° точки A и B помещаются местами. Значит, в некоторый момент они совпадали. В этот момент рисунок 5, б превращится в рисунок 5, с и мы получим нужную пару perpendicularных прямых, деляших площадь фигуры на четыре равновеллические части.

a) Найдите ошибку в этом решении.
b) Придумайте правильное решение задачи.

Докажите, что в центрально-симметрично выпуклую фигуру можно писать квадрат. (На самом деле квадрат можно писать в любую фигуру. Но для доказательства этой теоремы выдающегося советского математика Л. Г. Ширельмана (1905—1938) одних сообщений непрерывности уже не достаточно.)
Даны две выпуклые фигуры, одна из которых лежит внутри другой. Докажите, что:
a) найдется две параллельные хорды внешней фигуры, касающиеся внутренней фигуры и имеющие одинаковую длину (рис. 6, a);
b) найдется точка X внешней фигуры, из которой проведится две равные касательные хорды к внутренней фигуре (рис. 6, б).
Указа и е. Среди хорд внешней фигуры, касающиеся внутренней, есть хорда наибольшей длины. Проведите из ее концов касательные к внутренней фигуре.
Даны три выпуклые фигуры, выходные друг в друга (рис. 7). Докажите, что найдется точка X внешней фигуры, из которой проведится касательные хорды к внутренней фигуре так, чтобы отрезки, заключенные в средней фигуре, были бы равны.

О корнях многочленов и хордах графиков функций

Вы, конечно, знаете, что квадратный треугольен может не иметь корней — таков, например, многочлен x²+x+1. А как обстоит дело с кубическими многочленами? Сейчас мы докажем, что

всякий кубический многочлен имеет хотя бы один корень

Рассмотрим сначала кубический многочлен со старшим коэффициентом 1:

f(x)=x³+bx²+cx+d

Запишем его в таком виде: f(x)=x³(1+b/x+c/x²+d/x³). Если величины |x| очень велика, то слагаемые b/x, c/x² и d/x³ становятся очень малыми. Поэтому число, стоящее в скобке, близко к 1 и, во всяком случае, положительное. Следовательно, знак f(x) при больших |x| определяется знаком числа x³. Тем самым f(x)<0 при больших по абсолотной величины отрицательных x и f(x)>0 при больших положительных x.

Кубический многочлен, как и всякий многочлен, — непрерывная функция. Поэтому можно применить теорему о промежутном значении. Из нее следует, что найдется такое x, что f(x)=0. Следовательно, кубический многочлен имеет корень.

Случай общого кубического многочлена f(x)=ax³+bx²+cx+d свойства к уже разобраному: достаточно разделить f(x) на a.

Наше доказательство хорошего или простирует слия и слабость сообщений непрерывности. Мы почтите «даром» получили неочевидное утверждение о существовании корня, однако осталось неясным, как на ней корень для конкретного многочлена (формулы для корней кубического многочлена существуют, но … это уже совсем другой сложет, и мы его не будем касаться).

Другой пример. Пусть $f(x)$ непрерывная периодическая функция на прямой с периодом $T$ . Докажите, что ее график имеет горизонтальную хорду длины $T/2$ .

Существование горизонтальной хорды длины $l$ равnocльно равенству $f(x)=f(x+l)$ (рис. 8). Следовательно, нам нужно доказать, что найдется такое $x$ , что $f(x+T/2)=f(x)$ . Иными словами, нужно доказать, что функция $g(x)=f(x+T/2)-f(x)$ имеет корень, т. е. $g(x)=0$ для некоторого $x$ .

Возьемем произвольное число $a$ . Если $g(a)=0$ , то все доказано; поэтому предположим, что $g(a)\neq 0$ . Для определения будем считать, что $g(a)<0$ . Пусть $b=a+T/2$ . Найдем значение $g(b)$ :

$g(b)=g(a+T/2)=f(a+T/2+T/2)-f(a+T/2)=f(a+T)-f(a+T/2)=-f(a)-f(a+T/2)=-g(a).$

Итак, $g(b)>0$ .

Функция $g(x)$ непрерывна, как разность непрерывных функций. Поэтому можно воспользоваться теоремой о промежуточном значении. Из этой теоремы следует, что между числами $a$ и $b$ найдется такое $x$ , что $g(x)=0$ .

Утверждение о горизонтальных хордах графика периодической функции можно знать успешно: график такой функции имеет горизонтальную хорду произвольной длины.

А вот с графиками непрерывных функций на отрезке дело обстоит иначе. Пусть на отрезке длины $T$ задана непрерывная функция, значение которого в концах отрезка совпадает.

Рис. 6.

Рис. 7.

Тогда если число $l$ имеет вид $T/n$ для некоторого натурального $n$ , то график функции обязательно имеет горизонтальную хорду длиной $l$ ; если же $l$ не такого вида, то существует непрерывная функция с одинаковыми значениями на концах отрезка, график которого не имеет горизонтальных хорди длиной $l$ . (Подробный расссказ об этом вы найдете в статье И. М. Яглома «О хордах непрерывных кривых», «Квант», 1977, № 4.)

Задачи

Докажите, что многочлен нечетной степени имеет корень.
Вчера в полное было холоднее, чем в полное позавчера и сегодня. Докажите, что найдется один и тот же момент времени в сегодня, когда температура была одинаковой.
Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на некотором отрезке, и все значения приладат этому же отрезку. Докажите, что найдется такое $x$ , что $f(x)=x$ .
Многочлен $f(x)=ax^2+bx+c$ такое, что уравнение $f(x)=x$ не имеет решения. Докажите, что уравнение $f(f(x))=x$ тоже не имеет решения.
Пусть $f(x)$ — непрерывная периодическая функция на прямой с периодом $T$ . Докажите, что ее график имеет горизонтальную хорду произвольной длины.
Средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называется величины $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$ .

Докажите, что если среднее значение непрерывной функции на некотором отрезке равно нулю, то она принимает на этом отрезке нульевое значение.

Рассмотрим функцию вида $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\dots+a_n\sin nx+b_1\cos x+b_2\cos 2x+\dots+b_k\cos kx$ , где $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_k$ — некоторые коэффициенты. Докажите, что уравнение $f(x)=0$ имеет корень.

Заключение

Мы разобрали несколько задач, в решении которых основную роль играли соображения непрерывности. В каждом

дой из задач интерсуюшая нас величина зависела от одного параметра — например, площадь части фигуры, лежащей по одному сторону от прямой, зависела от угла наклона этой прямой. Сообщения непрерывности можно распространить и на случай, когда параметров больше одного. Подробный рассак об этом не входит в наш планы; ограничимся формулировкой нескольких теорем.

В пространстве произвольным образом расположены три тела. Существует такая плоскость, которая делит объем каждого из тел пополам. Это утверждение известно, как «теорема о сэндвичне с ветчиной» (первое тело — это кусок хлеба, второе — слой масла, а третье — ломоть ветчины).
На земле найдутся две такие диаметрально противоположные точки, в которых совпадают температура и давление.
Вокруг выпуклого тела можно описать куб. (Эта теорема обобщает на случай пространства утверждения задачи 6).
Представьте себе шар, покрытый волосами. Можно ли его «причесать» таким образом, чтобы каждый волосок касался поверхности шара, и направления близко расположенных волосов отличались не очень сильно? Оказывается, нельзя — хотя бы один волосок остается перpendicularным к поверхности шара. Это утверждение известно как «теорема о ежеве» или «теорема о причесывании шара».

5 (для тех, кто знает комплексные числа). Мы докажали, что многочлен нечетной степени обязаательно имеет действительный корень. А как обстоит дело с комплексными корнями? Оказывается, любой многочлен (отличный от постоянного) имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение настоящего важно, что оно называется основной теоремой алгебры. Один из подходов к его доказательству тоже основан на сообщениях непрерывности.

Угадай число

(Начало см. на c. 34)

Попробуйте ответить на следующий вопрос: «В совершенняях на кубок по волейболу участвует 133 команды, совершенняя проводятся по олимпией-ской системе; сколько будет проведено игр для определения победителя?»

Сначала каждая, что нужно очень долго считать, чтобы получить ответ, а решение оказывется черезчайно простым. Достаточно заметить, что в каждой игре выбываетровно одна команда, а нужно, чтобы осталась одна; значит, чтобы выбыло 132 команды, нужно проводится 132 игры.

Эта же идея присутствуют в решении еще одной популярой задачи. Шоколада состоит из 3×8 долек. Соколько нужно сделать разломов по линиям, чтобы полностью разломать ее на долки? Сначала решаются встает в тупик: ведь ломать-то можносовсем по-разному! Но давайте четко формулируем задачу. Есть один кусок шоколада, нужно получить 24 куска, и при каждом разламывании количество кусков увеличиваетсяровно на один. Значит, ломать придется 23 раза, причем безразлично, в каком порядке это делать.

Публикация подготовлена А. П. Савиным по материалам В. А. Далингара и Ф. Н. Фазыловa