Về toán học đất nước Xô Viết

3

GIỚI THIỆU TOÁN HỌC
CÁC NƯỚC LIÊN XÔ

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraina V. V. GNEDENKO

Cuộc Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại là động lực mạnh mẽ thúc đẩy sự tiến bộ của toán học ở nước ta, tạo điều kiện đặc biệt thuận lợi cho việc phát triển các hướng trừu tượng và ứng dụng các phương pháp toán học trong khoa học tự nhiên, kỹ thuật và tổ chức sản xuất.

Vì vậy, vào năm 1918, một nghị định đã được ban hành về việc tổ chức TsAGI - Viện Khí động học Trung ương và bổ nhiệm N. E. Zhukovsky làm giám đốc. Cùng năm đó, Phòng thí nghiệm vô tuyến Nizhny Novgorod được thành lập.

Năm 1921, ở đỉnh điểm của sự sụp đổ, Viện Vật lý và Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học được thành lập theo sáng kiến ​​của V. A. Steklov. Lần đầu tiên trong lịch sử nước ta, một tổ chức khoa học đặc biệt bắt đầu phát triển toán lý thuyết và toán ứng dụng.

Hơn nữa, một mô tả ngắn gọn về những gì các nhà toán học Liên Xô đã làm trong bảy mươi năm qua sẽ cần đến một bài luận nhiều tập và công việc của một nhóm lớn các chuyên gia. Vì vậy, ở đây chúng tôi buộc phải giới hạn ở việc chỉ xem xét sơ qua một tỷ lệ nhỏ các lĩnh vực nghiên cứu khoa học quan trọng.

Xin thưa, sự xuất hiện của thang đo Matxcơva của lý thuyết hàm và lý thuyết tập hợp phải được coi là hiện tượng có ý nghĩa nhất trong đời sống toán học nước ta. Nguồn gốc của nó là hai nhà toán học và giáo viên xuất sắc - D. F. Egorov và N. N. Luzin. Tên của họ gắn liền với sự tham gia rộng rãi của sinh viên vào nghiên cứu khoa học. Vô số kết quả, công trình đẹp mắt, công thức hóa một số lượng lớn bài toán mới để nghiên cứu sâu hơn, trình bày sinh động - tất cả những điều này tổng hợp lại đã làm say mê tuổi trẻ toán học của Luzin. Những học trò đầu tiên của ông là D. E. Menshov, P. S. Alexandrov và A. Ya. Khinhin. Các công trình độc lập đầu tiên của họ nằm trong vòng tròn ý tưởng của giáo viên - lý thuyết tích phân, sự hội tụ của chuỗi lượng giác, cấu trúc của cái gọi là tập hợp Borel. Những công trình đầu tiên này phần lớn quyết định lợi ích tiếp theo của những nghiên cứu này. Công việc chính của D. E. Menshov là liên kết chuỗi lượng giác và chuỗi hàm trực giao; A. Vâng. Khinchin - lý thuyết số liệu về hàm số và ứng dụng của nó trong lý thuyết số, lý thuyết xác suất và vật lý thống kê; P. S. Aleksandrov - lý thuyết tập hợp và sau này - cấu trúc liên kết.

Là những sinh viên đầu tiên được nhận vào Đại học Moscow sau năm 1917, khác xa với thế hệ sinh viên tích cực thứ hai của Luzin, Luzin đã tổ chức một buổi hội thảo trong đó mỗi người tham gia được yêu cầu tóm tắt định nghĩa của monografico, sau đó thiết lập một cuộc thảo luận về tính trừu tượng bằng cách đặt ra các câu hỏi, nêu bật khả năng kiến ​​nghị và khái quát hóa bằng chứng.

Vào những năm hai mươi, các học sinh của Luzin gọi đội của họ là “Lusitania” *). Sự đi lên này đã được giáo viên của ông nhấn mạnh, những ý tưởng khoa học và bài giảng của ông. Các sinh viên của Luzin tự hào về việc họ tham gia vào nhóm phát triển ý tưởng của ông và tìm cách phát huy tối đa khả năng của họ trong khoa học.

Tất nhiên, sở thích quá mức nào cũng mang theo yếu tố tiêu cực. Người Lusitanians quá quan tâm đến chỉ một hướng phát triển toán học và một số người trong số họ có phần coi thường lĩnh vực cổ điển.

*) Xem «Kvant», 1977, số 10, tr. 13.

4

toán học. Điều này được phản ánh trong tên truyện tranh của một số ngành: lý thuyết xác suất được gọi là lý thuyết về sự không nhất quán, các phương trình nói riêng tùy ý - phương trình với những phương trình tùy ý không may, sai phân hữu hạn - các chi khác nhau, v.v. Tuy nhiên, sự đánh giá thấp này đối với các lĩnh vực khác của toán học không kéo dài lâu, vì trong bản thân Lusitanina, một quá trình mở rộng lợi ích đã bắt đầu. P. S. Aleksandrov và P. S. Urson bắt đầu quan tâm đến các vấn đề của cấu trúc liên kết lý thuyết tổng hợp và sớm đặt nền móng cho sự tồn tại của trường phái tôpô Moscow. A. Vâng. Khinchin ở tuổi đôi mươi bắt đầu quan tâm đến các vấn đề của lý thuyết số mét, từ đó ông tiếp cận các câu hỏi của lý thuyết xác suất, và đến cuối tuổi đôi mươi, ông hoàn toàn hướng tâm huyết của mình vào hai lĩnh vực nghiên cứu này. Lý thuyết xác suất nhanh chóng trở thành một trong những phần thiết yếu được quan tâm của trường toán Moscow. Việc thành lập Trường Lý thuyết Xác suất Mátxcơva là công lao của hai nhà khoa học xuất sắc - A. Ya. Khinchin và A. N. Kolmogorov.

Hơn nữa, mối quan tâm của các nhà toán học Moscow chuyển sang giải tích cổ điển. Đồng thời, chúng tôi phát hiện ra rằng những ý tưởng của lý thuyết hàm mang lại cơ hội cho sự tiến bộ nghiêm túc. Lý thuyết định tính của phương trình vi phân, phương trình vi phân từng phần trở thành đối tượng nghiên cứu ở Moscow. Trong số những đại diện của hướng này phải kể đến V.V. Stepanov và I.G. Petrovsky.

Người ta không nên nghĩ rằng chỉ có Moscow là trung tâm tư tưởng toán học thời bấy giờ. Nghiên cứu hạng nhất vào thời điểm này được thực hiện ở Ukraine - ở Kiev và Kharkov. Ở Kiev, trước hết cần lưu ý đến nghiên cứu về đại số trừu tượng do D. A. Grave và các học trò của ông trau dồi. Khi bắt đầu cuộc cách mạng, một trong những học trò của ông là O. Yu. Shmidt, một nhà khoa học đa năng và một giảng viên xuất sắc, bắt đầu quảng bá những ý tưởng đại số mới ở Moscow. Ô. Yu. Shmidt là người sáng lập trường đại số Moscow. Tại Kharkov, S. N. Bernstein đã phát triển ý tưởng của P. L. Chebyshev trong lĩnh vực xấp xỉ tốt nhất các hàm bằng đa thức và đã làm việc thành công trong lĩnh vực lý thuyết xác suất.

Nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý toán học và lý thuyết số được phát triển thành công ở Leningrad. Cả hai lĩnh vực nghiên cứu này đều là truyền thống của học sinh Leningrad và bắt nguồn từ L. Euler, M. V. Ostrogadsky và P. L. Chebyshev. Trong lý thuyết số phân tích, I.M. Vinogradov đã thu được những kết quả đáng chú ý. Năm 1934, I.M. Vinogradov đã giải được hoàn toàn bài toán nổi tiếng bài toán của Goldbach: mọi số tự nhiên lẻ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều nhất ba số nguyên tố.

Các trường đại học mới, được thành lập ở một số thành phố trong nước trong những năm đầu của cuộc cách mạng, nhanh chóng trở thành những trung tâm toán học quan trọng. Trước hết, chúng ta phải kể tên ở đây là Tbilisi và Tashkent, những nơi nổi tiếng về nghiên cứu -

5

các khóa học về vật lý toán học (Tbilisi), phương trình vi phân phi tuyến và thống kê toán học (Tashkent). Những người tổ chức Trường Toán học Gruzia là N. I. Muskelshvili, G. N. Nikoladze, A. M. Razmadze và A. K. Kharadze*). Người sáng lập trường toán Tashkent là V.I. Romanovsky.

Vào đầu cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, toán học Liên Xô đã đạt được uy tín khoa học to lớn trên toàn thế giới. Nghiên cứu của cô thực tế bao trùm tất cả các lĩnh vực tư duy toán học. Nhiều nhà toán học đã tham gia lời giải bài toán khoa học tự nhiên, công nghệ và tổ chức công nghiệp.

Kết quả của các nhà toán học đặc biệt có ý nghĩa liên quan đến các vấn đề do sự phát triển của ngành hàng không đặt ra. Chính sự bay bài toán trong chất lỏng nén đã dẫn đến việc M. A. Lavrentiev xây dựng lý thuyết về ánh xạ chuẩn chuẩn. Một thành công lớn trước cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại đã đạt được trong việc xây dựng lý thuyết toán học về “shimmy” và “corkscrew”, vốn là nguyên nhân gây ra cái chết của máy bay đa hóa chất. Từ lý thuyết toán học được xây dựng bởi M.V. Keldysh, đã có thể rút ra những kết luận thực tế giúp có thể đấu tranh triệt để cả “sự lung lay” và “cái mở nút chai”. Sau đó, MV. Keldysh nghiên cứu công nghệ tên lửa và trở thành Nhà lý thuyết trưởng của ngành du hành vũ trụ Liên Xô.

Cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại đã không bị các nhà toán học Liên Xô chú ý: hàng nghìn người đã ra mặt trận,

*) Xem «Kvant», 1975, số 9, tr. 12.

I. M. Vinogradov.
A. N. Kolmogorov.
M. V. Keldysh.

6

Tầm quan trọng to lớn của toán học bài toán cũng nảy sinh liên quan đến việc đảm bảo chất lượng cao của các sản phẩm công nghiệp đại chúng. Kiểm soát chất lượng riêng lẻ của từng sản phẩm được sản xuất đòi hỏi một lượng kiểm soát rất lớn. Không thể làm được điều này vì đã thiếu lao động trầm trọng. Chính lúc này nảy sinh ý tưởng xây dựng lý thuyết thống kê kiểm soát chất lượng sản phẩm. A. N. Kolmogorov đã tham gia tích cực vào việc tạo ra nó. Hiện tại, lý thuyết này đang được phát triển mạnh mẽ theo hai hướng: 1) kiểm tra chất lượng của các lô đã được sản xuất (kiểm soát chấp nhận) và 2) quản lý chất lượng sản phẩm trong quá trình sản xuất (kiểm soát kỹ thuật hoặc vận hành).

Những năm sau chiến tranh được đặc trưng bởi một quá trình toán học nhanh chóng về kiến ​​thức và hoạt động thực tiễn. Toán học cần thiết cho lời giải bài toán tổ chức sản xuất và nghiên cứu các quá trình sinh học, để thực hiện trong lĩnh vực vật lý và tạo ra các hệ thống kỹ thuật, để nghiên cứu các vấn đề kinh tế và sắp xếp hợp lý các doanh nghiệp công nghiệp. Nhưng điều này là không đủ. Hóa ra các phương pháp toán học hỗ trợ các nhà khảo cổ và sử học, ngôn ngữ học và bác sĩ. Những hướng đi mới của tư duy toán học xuất hiện. Logic toán học có được tầm quan trọng lớn hơn rất nhiều so với trước chiến tranh. Máy tính điện tử và nhu cầu phân tích logic kỹ lưỡng các quy trình trong các quy trình đóng một vai trò lớn trong việc này.
lập trình cho máy tính cũng như khi vẽ các mô hình toán học. Các nhánh mới đã xuất hiện trong lý thuyết xác suất, liên quan chặt chẽ đến kinh tế và tổ chức sản xuất, cũng như các vấn đề vật lý.

Nếu vật lý học trước đây tự do sử dụng khái niệm chung về các hàm quen thuộc với toán học, thì việc xây dựng lý thuyết của vật lý hiện đại trong khuôn khổ này cũng giống như vậy. Vào cuối những năm bốn mươi, các nhà vật lý ngày càng bắt đầu cho phép thực hiện các thao tác với các vật thể không phù hợp với khái niệm chức năng cổ điển. Vào đầu những năm 50, các tác phẩm của S. L. Sobolev và nhà toán học người Pháp L. Schwartz đã xuất hiện, trong đó đưa ra một khái quát rộng rãi và hiệu quả về khái niệm hàm - khái niệm về hàm tổng quát đã được đưa ra và các quy tắc hoạt động với các hàm này đã được phát triển. Một thời gian sau, I.M. Gelfand, là kết quả của sự khái quát hóa, các quá trình ngẫu nhiên, sử dụng ý tưởng về các hàm tổng quát cho mục đích này. Hãy để chúng tôi đề cập đến một lĩnh vực nghiên cứu lớn hơn liên quan đến việc tìm kiếm cực trị lời giải. Tầm quan trọng của năm nghiên cứu này chỉ mới được nhận thức đầy đủ gần đây: với quy mô hiện nay của nền kinh tế quốc dân, việc sử dụng không thành công nguyên vật liệu và tài nguyên dẫn đến chi tiêu quá mức, lựa chọn hướng di chuyển không thành công thay thế việc vận chuyển hành khách và hàng hóa; phân công công việc bằng thiết bị không thành công hoặc sử dụng máy móc, thiết bị không đầy đủ. Đầu tiên bài toán

7

Những chú lùn thuộc loại này đã xuất hiện và được biết đến ngay cả ở Hy Lạp thời Ban ngày.

Ngay trước Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, L. V. Kantorovich đã xem xét một số bài toán mới để tìm ra các giá trị tối đa và tối thiểu liên quan đến việc phân bổ công việc, cắt vật liệu, tổ chức vận chuyển, v.v. Những bài toán này đóng vai trò là khởi đầu cho việc tạo ra một lý thuyết toán học mới - quy hoạch tuyến tính, nhận được sự phát triển nhanh chóng sau chiến tranh. Bây giờ, những câu lệnh đầu tiên bài toán này đã nhận được một công thức chung, các phương pháp lời giải đã được đề xuất cho chúng, một lý thuyết thú vị đã được xây dựng, những kết quả này được mở rộng cho các trường hợp tổng quát hơn (lập trình phi tuyến tính).

Một lĩnh vực nghiên cứu rộng lớn xuất phát từ nhu cầu điều khiển tự động các quy trình công nghệ, chuyển động của máy bay, tàu vũ trụ, v.v., đã được phát triển bởi L. S. Pontgrin và các học trò của ông. Hướng này được gọi là lý thuyết điều khiển tối ưu. Lý thuyết và phát triển các nguyên tắc trong đó để có thể thu được ngay nhiều ứng dụng thực tế.

Các nhiệm vụ mới trong lý thuyết về các quy trình ngẫu nhiên bao gồm các thực hành bài toán như quản lý chất lượng sản phẩm và xác định thời điểm lắp đặt thiết bị. Những bài toán này đã thu hút sự chú ý của A. N. Kolmogorov, người đã hướng sự chú ý của một số học sinh của mình tới chúng.

Một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, N. N. Bogolyukov, bắt đầu làm việc dưới sự hướng dẫn của Viện sĩ N. M. Krylov, đã công bố kết quả đầu tiên của mình ở tuổi mười bảy. Mối quan tâm nghiên cứu của ông nhanh chóng mở rộng để bao gồm phân tích toán học, phương trình vi phân, biểu thức, phép tính biểu diễn, lý thuyết hàm số, vật lý toán học và lý thuyết xác suất. Cùng với N. M. Krylov, ông đã phát triển các phương pháp toán học của cơ học phi tuyến. Sau Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, N. N. Bogolyubov hầu như chỉ chuyển sang lời giải bài toán vật lý hiện đại và đạt được những thành công lớn trong lĩnh vực này.

Không thể không nhắc đến toán học có phạm vi đặc biệt rộng, kết quả của nó liên quan đến cấu trúc liên kết, lý thuyết phương trình vi phân, vật lý toán, địa vật lý, toán tính toán, điện động lực học - A. N. Tikhonov. Trong nửa đầu chương trình của chúng tôi, dưới ảnh hưởng của quan điểm của nhà toán học thay thế người Pháp Hadamard, người ta đã hình thành niềm tin rằng đối với vật lý và thực hành, mối quan tâm chỉ là những cái được gọi là đúng bài toán, lời giải, thu được với dữ liệu ban đầu gần gũi, không thể khác nhau quá mạnh. Sự quan tâm thường xuyên đến các vấn đề thực tiễn đã thuyết phục A. N. Tikhonov về sự sai lầm của quan điểm này. Hóa ra là nhiều bài toán vật lý tự nhiên, kinh tế học và các lĩnh vực kiến ​​thức khác về cơ bản đã được phát biểu không chính xác. Tikhonov đã phát triển một cách tiếp cận lời giải thuộc loại này bài toán.

Cuối những năm năm mươi và sáu mươi là thời kỳ

8

TĂNG CƯỜNG ĐỜI SỐNG TOÁN HỌC Ở LIÊN XÔ. Vào thời điểm này, các nhà toán học thuộc thế hệ cũ, đã đề cập ở trên, vẫn đang làm việc tích cực và hiệu quả, nhưng giờ đây họ được tham gia bởi cả một nhóm học sinh tài năng của họ.

Mối liên hệ thế hệ này có lẽ được thể hiện rõ nhất trong nghiên cứu về bài toán XIII nổi tiếng của Hilbert về việc biểu diễn hàm số nhiều biến thông qua hàm số một biến, kết quả hoàn chỉnh của lời giải có được nhờ nỗ lực chung của A. N. Kolmogorov và học trò của ông, khi đó vẫn còn là một nhà khoa học, V. I. Arnold.

Trong số các nhà toán học thế hệ trẻ, Muscovites S.P. Novikov, V.P. Maslov và Leningrader L.D. Faddeev nhận được nhiều sự công nhận nhất. Serrey Petrovich Novikov, xuất thân từ một gia đình toán học chuyên nghiệp (cha ông là viện sĩ P. S. Novikov, nhà logic học và đại số, mẹ ông là L. V. Keldysh, Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, nhà tôpô), đã sớm nhận được một số kết quả nổi bật trong một trong những ngành quan trọng nhất lúc bấy giờ - cấu trúc liên kết vi phân. Những kết quả này được đánh giá cao không chỉ ở nước ta mà còn ở nước ngoài: S. P. Novikov trở thành người Liên Xô đầu tiên đoạt giải Fields, giải thưởng toán học danh giá nhất.

V.P. Maslov khởi đầu là một nhà vật lý, nhưng những kết quả quan trọng đầu tiên của ông gắn liền với sự phát triển ý tưởng phân tích toán học hiện đại. Công trình của ông một mặt được đặc trưng bởi chiều sâu của những khái quát toán học thuần túy, mặt khác, bởi sự tập trung vào các vấn đề ứng dụng, đặc biệt là vật lý toán học.

L. D. Faddeev, người cũng khởi đầu là một nhà vật lý và cũng xuất thân từ một gia đình toán học (cha ông, D. K. Faddeev, là một nhà đại số, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô), được biết đến với công trình nghiên cứu chức năng về vật lý toán học. Thẩm quyền quốc tế về công trình của ông hiện nay rất có ý nghĩa. L. D. Faddeev không chỉ là Chủ tịch Liên minh Quốc tế các Định lý Toán học Hiện đại, mà còn trong việc nghiên cứu các hiện tượng của thế giới xung quanh chúng ta. Theo quy luật, các hiện tượng tự nhiên và quá trình kinh tế bị hạn chế hơn và các phương tiện toán học luôn sẵn có. Đây là động lực vĩnh cửu cho sự phát triển của chính toán học, các khái niệm và lý thuyết của nó.