“Tất cả”, “một số” và phủ định

34

“TẤT CẢ”,

“MỘT SỐ”
VÀ TỪ CHỐI

A. I. ORLOV

Gần đây tôi đã có một cuộc trò chuyện thú vị với học sinh lớp sáu Alik, trung tâm bên phải của đội bóng sân trường chúng tôi.

• Gì thế, Alik, cậu đang đi tập luyện à? Có lẽ vào mùa đông, bạn sẽ chuyển môn bóng đá của mình sang môn khúc côn cầu?

• Không đời nào được! - Alik nhiệt tình kêu lên. — Vào mùa đông, bạn cần phải bận rộn và không được chạy theo quả bóng. Tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, nhưng các cầu thủ bóng đá học tốt hơn nhiều!

• Tại sao cậu lại quyết định như vậy?

• Và cái gì? Mọi người trong nhóm của chúng tôi đều nghĩ như vậy, tôi không đơn độc.

• Không phải tất cả những người mà bạn đang nói đến bây giờ đều giống như những con khỉ khét tiếng trong cuốn sách “Muggly” của Kipling sao? Bạn có nhớ không, họ đã hét vang cả khu rừng: “Chúng ta vĩ đại! Chúng ta tự do! Chúng ta thật đáng ngưỡng mộ! Chúng ta đều nói như vậy, nên đó là sự thật!…”

• Con khỉ này là ai thế?! - Alik phẫn nộ.

“Tôi không muốn xúc phạm bạn, Alik, nhưng bạn không thể chứng minh được điều gì bằng cách trích dẫn ý kiến ​​của nhiều người.” Trái đất tròn nhưng thời xa xưa hầu như mọi người đều cho rằng nó phẳng. Những người da đỏ thuộc bộ tộc Sinu, như thủ lĩnh Mato Nazhin của họ viết, thậm chí còn tin rằng Trái đất hình vuông, và điều này đã có từ thế kỷ 19… Vậy tại sao tất cả những người chơi khúc côn cầu đều là học sinh nghèo?

• Chà, đây là Seryozha Kukushkin. Anh ấy chơi khúc côn cầu mọi lúc và luôn bị điểm kém.

• Bạn lý luận như một người Pháp từng nói: “Tất cả đàn ông Anh đều lùn, bụ bẫm và đen đủi” chỉ vì người duy nhất anh ta gặp trông như thế. Cái tên và người Pháp này gợi lên những quy luật logic.

Alik suy nghĩ về điều đó và tôi quyết định giúp anh ấy. Để bắt đầu, tôi kể câu chuyện này.

“Ở một thành phố, tôi nhìn thấy một tấm biển trên một ngôi nhà: “Không có đồ đôi trong nhà của chúng tôi.” Không có cái bàn như vậy ở nhà bên cạnh. Bạn nghĩ sao, Alik, điều này có nghĩa là mọi người ở nhà bên cạnh đều là một cặp đôi?

“K-không,” Alik lẩm bẩm một cách không chắc chắn. Không nhất thiết phải như vậy. Điều này chỉ có nghĩa là ở đó có những học sinh kém… Ít nhất một học sinh kém… Hoặc có thể tất cả mọi người ở đó đều là học sinh kém. Không, tôi không biết, tôi không có ở đó!

— Nhưng câu này truyền tải điều gì: “Không phải trong số các chàng trai có đôi”?

• Giống như ở ngôi nhà đầu tiên - mọi người đều học mà không trượt.

“Vậy đó là một trong hai điều,” tôi nói với vẻ hài lòng. “Hoặc là mọi người đang học tập mà không bị điểm kém, hoặc có ít nhất một học sinh bị điểm kém trong nhà.” Còn những người yêu thích bóng chày thì sao?

Và rồi hóa ra Alik sau khi suy nghĩ đã có thể suy luận chính xác.

• Một trong hai điều đúng: hoặc tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, hoặc không phải tất cả - có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.

• Nhưng ngay cả trong lớp sáng tạo, Alik, tôi biết ba học sinh xuất sắc thích đá bóng. Điều này có nghĩa là điều thứ hai đúng: có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.

• Tất nhiên rồi!

• Thế cậu sẽ giới thiệu cái gì?

35

ví dụ với Seryozha Kukushkin?
Alik đang suy nghĩ.

• Rằng không phải tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học tốt…
  Vì vậy, sau khi cố gắng suy luận một cách logic, bản thân Alik đã đưa ra kết luận chính xác.
  Chúng tôi xử lý các vận động viên đánh đôi và khúc côn cầu tương đối nhanh chóng. Chúng ta hãy cố gắng hiểu cách suy luận trong những trường hợp phức tạp hơn. Ví dụ đầu tiên là với những quả bóng nhiều màu. Hãy tưởng tượng rằng trong nước tiểu (một hộp nhỏ) có thể có những quả bóng màu trắng và đỏ. Tất cả các quả bóng đều có cùng kích thước và không thể phân biệt được trong nháy mắt. Có người nhúng tay vào nước tiểu và lấy ra một quả bóng. Ví dụ, quả bóng có màu đỏ. Bạn có thể nói gì về màu sắc của những quả bóng nằm trong nước tiểu?
  Một số người sẽ nói: “Tất cả các quả bóng đều màu đỏ.” Trên thực tế, điều này không đúng: liệu người ta có thể nói rằng một số (không nhất thiết là tất cả) quả bóng có màu đỏ không? Cũng có thể có những quả bóng màu trắng. Cũng có thể quả bóng được rút ra là quả bóng màu đỏ duy nhất trong số những quả bóng màu trắng.
  Một quả bóng màu đỏ đã được rút ra. Điều này có nghĩa là câu “Tất cả các quả bóng đều màu trắng” là sai. Điều gì là đúng? - “Một số (ít nhất một) quả bóng có màu đỏ.” Hãy luyện tập. Cho mỗi phát biểu sau đây là sai.

1. Tất cả các quả bóng trong nước tiểu đều có màu đỏ.
2. Một số quả bóng trong nước tiểu có màu đỏ.
3. Một số quả bóng trong nước tiểu có màu trắng.
4. Mọi tam giác đều đều là tam giác vuông.
5. Tất cả học sinh trong lớp đều có mặt tại cuộc họp.
6. Một số cô gái đã có mặt tại cuộc họp.
   Xây dựng các tuyên bố đúng sự thật.
   Và bây giờ sơ đồ chung lời giải của tất cả bài toán tương tự là “phương thuốc kỳ diệu” của chúng tôi. Giả sử chúng ta có một tập M gồm những đồ vật như vậy (có thể là một vài quả bóng, một vài cuốn sách hoặc tất cả học sinh của một lớp nhất định). Mỗi phần tử của tập hợp này có thể có hoặc không có tính chất A nào đó. Ví dụ, quả bóng có thể có hoặc không có màu đỏ; khúc côn cầu - có hoặc không có gấp đôi.

Quy luật là thế này: một phát biểu có thể đúng hoặc có thể phủ định nó. Tuy nhiên, chỉ có một trong hai!
(Về mặt logic, quy luật này được gọi là quy luật loại trừ phần giữa.) Câu phát biểu mà chúng ta đang sử dụng là đúng hoặc sai.
Bất kỳ câu B nào, hoặc sự phủ định của nó (tức là câu: “Tuyên bố B sai”). Bất kỳ cầu thủ khúc côn cầu nào cũng chơi kém (sở hữu thuộc tính A). Nếu điều này sai thì ít nhất một vận động viên khúc côn cầu giỏi (không có thuộc tính A).
Vì vậy, đây là sơ đồ của chúng tôi:
Sự chấp thuận

1. Tất cả các mục từ M đều có thuộc tính A.
2. Một số mục từ M có thuộc tính A.
   Sự phủ nhận của anh ấy
3. Ít nhất một mục từ M không có thuộc tính A.
4. Mọi đối tượng từ M đều không có thuộc tính A.
   Lưu ý rằng các câu lệnh “một số đối tượng có thuộc tính A” và “ít nhất một đối tượng (và có lẽ tất cả) có thuộc tính A” có nghĩa giống nhau trong sơ đồ của chúng ta.
   Và bây giờ - bài toán.
   Xây dựng phủ định của các khẳng định sau:
5. Tất cả các góc của một hình lục giác nhất định đều tù.
6. Với mọi x từ tập A, bất đẳng thức x2 > 4 đúng.
7. Một số người là trẻ em.
8. Với ít nhất một x từ tập A sẽ có x2 - 2x + 1 = 0.
9. Tất cả đàn ông đều cao hơn 2 mét.
10. Tất cả các số nguyên tố đều là số lẻ.
11. Với mọi số nguyên tố p thì số 2ᵉ - 1 cũng là số nguyên tố.
    Hãy quay trở lại với nước tiểu, trong đó có những quả bóng không thể phân biệt được một lúc. Bóng có thể có màu trắng, đỏ, xanh, đen.
12. Được biết, không phải tất cả các quả bóng trong nước tiểu đều có màu trắng. Berho, có quả bóng màu đỏ ở đó không?
13. Được biết, không phải tất cả các quả bóng đều có cùng màu. Berho, có ít nhất một viên bi không có màu trắng trong nước tiểu không?
14. Trong nước tiểu có 10 bi trắng, 8 bi đỏ, 11 bi đen. Phải lấy ra bao nhiêu quả bóng để chắc chắn lấy được quả bóng trắng? Tại sao bạn lại nhận được quả bóng có cả ba màu?
    Và một bài toán nữa - chỉ là cái cuối cùng.
15. Lớp có 5 học sinh xuất sắc, 20 học sinh khá và 10 học sinh loại B. Một học sinh xuất sắc chỉ được 5 điểm đáp số, một “học sinh giỏi” có thể được 4 hoặc 5, một học sinh kém có thể được 3, 4 hoặc 5. Lớp có một giáo viên mới, anh ấy không quen một học sinh nào. Hỏi anh ta phải gọi bao nhiêu người lên bảng để chắc chắn có ít nhất một người A?

Bài viết này được xuất bản lần đầu tiên trên số liên bang «Kvant» năm 1976.