Bài toán M1071—M1075; F1083—F1087

22

Nhiệm vụ

M1071—M1075, F1083—F1087

M1071. Một trường để chơi “số” được vẽ trên bảng: ((((((((___))*)_))*)_))*)*

Hai người chơi thay phiên nhau. Người chơi đầu tiên, với nước đi đầu tiên, viết ra một số số thay cho ô đầu tiên (tự tạo) (___). Mỗi bước tiếp theo bao gồm việc viết một số vào vị trí của khoảng trống tiếp theo và thay thế dấu hoa thị (*) ở bên trái bằng dấu cộng hoặc dấu nhân; tuy nhiên, không có con số nào xuất hiện hai lần. Khi kết thúc trò chơi, giá trị của biểu thức thu được sẽ được tính toán. Nếu là số chẵn thì người chơi thứ nhất thắng, nếu là số lẻ thì người chơi thứ hai thắng. Ai thắng trò chơi dày dạn?

S. A. Genkin

M1072. Phân tích số 989·1001·1007+320 thành thừa số nguyên tố.

S. V. Fomin

M1073. Trong hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có một điểm O, từ đó nhìn thấy được tất cả các cạnh một góc 60°. Chứng minh rằng nếu $OA_1 > OA_3 > OA_5$ và $OA_2 > OA_4 > OA_6$ thì $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 < A_2A_3 + A_4A_5 + A_6A_1$.

A. S. Merkuryev

M1074. Cho một chồng thẻ 2n+1, được phép thực hiện hai thao tác sau:
(A) lấy một số thẻ từ trên xuống và đặt chúng xuống, duy trì trật tự;
(B) n thẻ trên cùng được xếp vào n khoảng trống giữa n+1 thẻ dưới cùng, duy trì trật tự.
Chứng minh rằng bằng cách sử dụng các phép toán đã chỉ ra, không thể thu được nhiều hơn 2n(2n+1) cách sắp xếp quân bài khác nhau từ cách sắp xếp quân bài ban đầu trong ngăn xếp.

D. V. Fomin

M1075. Tìm số tự nhiên lớn nhất có chữ số thứ mười trong đó mỗi chữ số (trừ các chữ số bên ngoài) nhỏ hơn hai chữ số liền kề với nó.

S. E. Rukshin

F1083. Một viên gạch đồng nhất $ABCDA'B'C'D'$ (hình 1) có đặc tính sau: nếu bạn cắt nó bằng một mặt phẳng tùy ý đi qua cạnh $AA'$, thì mỗi phần trong số hai phần của viên gạch, đặt trên một mặt mới $AEE'A'$ (hình 2), sẽ không rơi. Tìm sự tương ứng giữa các kích thước gạch mà tại đó điều này có thể thực hiện được.

S. V. Shlosman

F1084. Nếu bạn ấn một niken vào kính đã đông cứng trong một thời gian ngắn, một vòng tròn sẽ tan trên kính dọc theo mép của niken. Tại sao?

L. A. Ashkinzi

F1085. hình 3 mô tả một quá trình được thực hiện trên một chất khí lý tưởng và chuyển nó từ trạng thái A sang trạng thái B. Tìm trên đồ thị các phần của quá trình trong đó nhiệt độ của khí tăng (giảm).

Tôi. Yu. Poteryayko