Bài toán M1081—M1085; F1093—F1097

21

Nhiệm vụ

M1081 — M1085, F1093 — F1097

M1081. Chứng minh rằng chữ số áp chót của số $3^n$ là số chẵn đối với mọi số tự nhiên $n > 2$.

V. I. Plachko

M1082. Trong một tứ giác lồi $ABCD$ các đường chéo cắt nhau tại điểm $O$. Chứng minh rằng đẳng thức
$$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2)$$
được thỏa mãn khi và chỉ khi các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc hoặc một trong hai đường chéo bị chia đôi bởi điểm $O$.

A. P. Savin

M1083. Số không âm lớn nhất $a_1, a_2, \dots, a_n$ là $a$.
a) Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n} \leq \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$

b) Khi nào đạt được sự bình đẳng?

L. G. Khanin

M1084. Hai đường tròn trên mặt phẳng cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng có thể chọn một điểm $C$ sao cho đường tròn bất kỳ có dây cung $AC$ sẽ cắt đường tròn đã cho (lần thứ hai) tại các điểm cách đều $C$ (và $C \neq B$).

V. Protasov, học sinh lớp 10 (Moscow)

M1085*. Một số cặp đường thẳng giao nhau nằm trong không gian được chiếu lên mặt phẳng nằm ngang. Các hình chiếu của chúng được mô tả sao cho tại các điểm giao nhau có thể thấy rõ điểm nào nằm ở trên và điểm nào ở dưới. có thể thu được hình chiếu hiển thị trên hình $1(a - \beta)$ không?

S. L. Tabachnikov

F1093. Một ô tô có khối lượng $m = 1200$ kg, không nhả phanh, lăn bánh với tốc độ không đổi dọc theo đoạn đường nghiêng với góc nghiêng $\alpha$ ($\sin \alpha = \frac{1}{14}$). Mỗi bánh trong số bốn bánh tự động với lực bằng nhau $N$ má phanh $A$ và $A'$ (hình 2). Tìm $N$ nếu hệ số ma sát trượt giữa thanh và miếng đệm là $k = 0,4$. Không có hiện tượng trượt giữa lốp xe và đường cao tốc.

V. I. Chuvilev

F1094. Một ống hẹp có tiết diện không đổi tạo thành hình vuông có cạnh $l$, cố định theo phương thẳng đứng

22

Máy bay. Ống chứa đầy hai thể tích bằng nhau của hai chất lỏng không thấm vào nhau có mật độ $\rho_1$ và $\rho_2$ (hình 3). Ban đầu, một chất lỏng đậm đặc hơn lấp đầy phần trên của ống. Tại một thời điểm nào đó chất lỏng bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ tối đa của họ. Không có ma sát. Gia tốc áp suất tự do $g$.

G. V. Meledin

F1095. Sự phân tán độ lớn của âm lượng, như thể vô tình va vào một bức tường thẳng đứng. Ước tính tốc độ tối thiểu mà lốp biến dạng thành vành kim loại khi va chạm. Giả định rằng bạn, hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt các đại lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số của chúng khá chính xác và thu được kết quả bằng số.

G. V. Fedogovich

F1096. Một dây đâm có bán kính $R$ có một dây dẫn điện nằm dọc theo đường kính. Các tụ điện $C_1$ và $C_2$ (hình 4) được bao gồm trong hình bán nguyệt bên trái và bên phải. Một từ trường có cảm ứng $B(t)=B_0 t/T$, vuông góc với mặt phẳng của nó, được đặt trong khối tích tụ tuyến tính theo thời gian. Tại một thời điểm nào đó, jumper bị loại bỏ và sau đó trường sẽ ngừng thay đổi. Tìm cái rương gắn trên tụ điện.

G. V. Fedogovich

F1097. Để giảm tỷ lệ ánh sáng phản xạ từ bề mặt kính, người ta dán một màng mỏng lên nó, chiết suất của màng này nhỏ hơn chiết suất của thủy tinh (lớp phủ quang học). Độ dày màng phim có chiết suất $n=4/3$ nên dán lên bề mặt kính là bao nhiêu để khi ánh sáng chứa bức xạ có hai bước sóng $\lambda_1=700$ nm và $\lambda_2=420$ nm rơi xuống (bình thường đối với bề mặt) thì ánh sáng phản xạ bị suy giảm tối đa đối với các sóng thông thường?

V. I. Chivilev

Problems
M1081—M1085, P1093—P1097

M1081. Prove that the next to last digit of the number $3^n$ for any natural $n>2$ is even.

V. I. Plachko

M1082. The diagonals of the convex quadrilateral $ABCD$ intersect at the point $O$. Prove that the relation