Bàn tròn của chúng tôi

Kvant 1989, số 2 tr. 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 Thẻ 1ODX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

BÀN TRÒN CỦA CHÚNG TÔI

25 năm trước, theo sáng kiến của các nhà khoa học, học giả hàng đầu đất nước A. N. Kolmogorov, I. G. Petrovsky, P. S. Aleksandrov, I. K. Kikon và M. A. Lavrentiev, các trường nội trú chuyên ngành vật lý và toán học đã được thành lập ở Moscow, Leningrad, Kyiv và Novosibirsk. Bài toán đây là cách trường được thành lập: nhằm cung cấp cho học sinh sống xa các trung tâm khoa học cơ hội học tập khoa học giống như sinh viên ở các thành phố đại học.

Gần đây, tòa soạn của chúng tôi đã tổ chức một cuộc họp nhân kỷ niệm 20 năm thành lập trường nội trú vật lý và toán học tại Đại học quốc gia Moscow. Chúng tôi giới thiệu những người tham gia: D. L. Abarov - hiệu trưởng trường, V. V. Vasilov - phó giáo sư Đại học quốc gia Moscow, thành viên biên tập «Kvant», V. N. Dubrovsky - giáo viên trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow, thành viên biên tập «Kvant», A. A. Egorov - nhà nghiên cứu tại Học viện Khoa học sư phạm Liên Xô, giáo viên tại trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow, O. N. Naida - trường khoa học nhanh trí, hiện là nhà nghiên cứu, ứng cử viên khoa học vật lý và toán học, A. V. Sosinsky - phó giáo sư tại MIEM, thành viên ban biên tập tại «Kvant», G. Sh. Fridman - phó giáo sư tại Đại học bang Omsk, tốt nghiệp Trường Vật lý và Cơ học tại NSU.

D. L. Abarov. Kết quả chính của bất kỳ trường nào là sinh viên tốt nghiệp của nó. Trải qua 25 năm tồn tại, trường nội trú của chúng tôi đã tốt nghiệp hơn 4.000 người. Hầu hết họ đều đỗ vào các trường đại học (chủ yếu là Đại học Quốc gia Mátxcơva và Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva); nhiều nghiên cứu sau đại học và hoàn thành luận án của họ.

Trong số sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi có hơn 400 ứng cử viên và 20 bác sĩ khoa học, có người đoạt giải thưởng Lênin và Nhà nước, giải thưởng của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô và Giải thưởng Lenin Komsomol.

Yu tốt nghiệp của chúng tôi. A. Matiyasevich giải được bài toán thứ 10 của Hilbert; công việc xuất sắc đã được thực hiện bởi A. N. Varchenko, E. V. Shepin, I. M. Krichever, V. V. Nikulin, v.v. Hiện nay, độ tuổi tối đa của sinh viên tốt nghiệp là 43 tuổi, họ đã làm việc thành công ở nhiều viện khoa học, trung tâm máy tính và cơ sở giáo dục.

Trong số giáo viên trường nội trú có 25 thí sinh và 3 tiến sĩ khoa học. Điều này cho phép bạn thực hiện các khóa học giáo dục theo cách không chuẩn mực, phát triển và duy trì niềm yêu thích với khoa học. Chúng tôi hài lòng với sự thành công của sinh viên trong việc tối ưu hóa ở mọi cấp độ - từ Moscow đến quốc tế.

Trở lại những năm 60, một truyền thống đã xuất hiện: những sinh viên tốt nghiệp trường nội trú, trở thành học sinh, trở lại trường với tư cách là một giáo viên. Không thể liệt kê tất cả. Tôi sẽ chỉ kể tên A.P. Veselov, V.N. Dubrovsky, A.N. Dr Biếnnikov, B.M. Ivlev, T.N. Trushanina, E.V. Shepina - đây là một giáo viên hàng đầu đã công tác ở trường nội trú lâu năm và đầy sáng tạo.

O. N. Naida. Vào năm 1962-63, thay mặt ủy ban Komsomol, một nhà vật lý tại Đại học quốc gia Moscow, tôi đã giúp I.K. Kikon trong công việc của mình với học sinh. Theo nghĩa đen trước mắt tôi, vào mùa xuân năm 1963, I.K. Kikon đã viết một lá thư cho chính phủ với đề xuất mở một trường nội trú ở Moscow, tương tự như trường ở Novosibirsk, trường đã hoạt động vào thời điểm đó, nhờ sáng kiến của M.A. Lavrentiev. Bức thư được ký bởi hiệu trưởng Đại học quốc gia Moscow I. G. Petrovsky, cư dân của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô M. V. Keldysh, cũng như người đứng đầu các trường sau đại học, giáo dục và đại diện đầu ngành. Kết quả tính xác thực của chúng là nghị quyết của Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về việc tổ chức các trường nội trú tại các trường đại học Kiev, Leningrad, Moscow và Novosibirsk.

Sau đó, có một khối lượng công việc khổng lồ để thực hiện đợt tuyển sinh đầu tiên vào trường. 19 học sinh đầu tiên (lớp 11) được tuyển chọn trong số những học sinh đoạt giải Olympic Toán toàn Nga lần III. Họ được mời đến Letnyushka ở Krasnovidovo gần Mozhaisk,

nơi A. N. Kolmogorov và các trợ lý của ông có liên quan trực tiếp đến ông. Ở trường cuối cùng họ đều đăng ký vào một trường nội trú:

Tôi vẫn còn giữ bài kiểm tra của Gena Arkhipov. Hiện ông là Tiến sĩ Vật lý và Toán học, một chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết số. Anh ấy luôn yêu thích toán học và đã thể hiện rất nhiều sự sáng tạo và hóm hỉnh khi giải bài kiểm tra vật lý này!

Trường nội trú của chúng tôi bắt đầu hoạt động vào tháng 12 năm 1963. Bạn hẳn đã thấy sự quan tâm của các chàng trai khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, chế tạo máy đếm tia vũ trụ - tất nhiên - khi bộ phận này được thực hiện, các bóng đèn sẽ sáng lên. Các khóa học vật lý lý thuyết đã đạt được thành công to lớn. Tôi xin chúc các thầy cô và các em học sinh ngày nay công việc vui vẻ như những năm đầu.

A. B. Sosinsky. Tôi bắt đầu làm việc tại trường nội trú vào năm 1964 cùng lúc với những nhà toán học tuyệt vời như V. M. Alekseev, V. I. Arnold, V. M. Tikhomirov, D. B. Fuks và những người khác - chỉ sự hiện diện của họ tại trường đã đặt ra một trình độ giảng dạy cực kỳ cao. Cả học sinh và giáo viên đều yêu mến một trong những giáo viên dạy toán giỏi nhất ở Moscow, A. A. Shershevsky. Các nhà toán học trẻ hơn làm việc ở đó trong những năm đầu tiên tồn tại cũng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành trường nội trú: E. V. Gaidukov, D. I. Gordeev, A. A. Egorov, Yu. A. Ilyashenko, I. G. Zhurbenko, A. S. Mishenko, V. A. Skvortsov. Vật lý được trình bày một cách vô cùng thú vị và sinh động. Các lớp học được giảng dạy bởi các giáo viên trẻ, nghiên cứu sinh và sinh viên vật lý từ Đại học quốc gia Moscow và Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Hiệu trưởng đầu tiên của trường nội trú, P. A. Kuznetsov, đã làm được rất nhiều việc trong thời gian làm giám đốc ngắn hạn của mình (hơn một năm sau, ông chuyển sang làm giám đốc ở một trường khác). Ông được thay thế bởi R. A. Ostraya, một người lính tiền tuyến, một nhà sử học chuyên nghiệp (Ransa Arkadyevna tốt nghiệp Viện Vật lý, Văn học và Nghệ thuật), một người có học thức xuất sắc, thông minh theo nghĩa cao nhất của từ này. Cô ngay lập tức yêu thích và chấp nhận ý tưởng của những người tạo ra trường học: ở một trường nội trú, người ta không chỉ phải tiếp thu các môn khoa học chính xác mà còn cả các giá trị văn hóa.

Khi tuyển dụng các nhà tài trợ, Andrei Nikolaevich Kolmogorov coi điều quan trọng không chỉ là kiến thức về toán học hay vật lý mà còn cả kiến thức, hiểu biết về âm nhạc, lịch sử và một số môn khoa học thể thao. Không phải vô cớ mà FMS đôi khi là viết tắt của “trường toán-bóng đá” - điều này đề cập đến những trận đấu nảy lửa giữa các đội học sinh và giáo viên trong các môn bóng đá, bóng rổ, bóng chuyền và các cuộc thi khác.

Đội ngũ giáo viên năm thứ nhất - những người không lớn hơn học sinh của họ nhiều - đã lôi kéo các em vào một đời sống trí tuệ thú vị và mãnh liệt. Các buổi tối âm nhạc và các buổi đọc sách tập thể của Pasternak, Bulgkov, Khlebnikov, Zaboltsky và Akhmatova đã được tổ chức.

Thời kỳ nội trú này có thể được mô tả từ bài thơ tuyệt vời “19 tháng 10” của hậu thi sĩ nổi tiếng hiện nay Yu. Kim, người dạy văn và lịch sử ở trường nội trú. Có những dòng này:

Dưới cái bóng vô tâm của bạn
Tôi ước gì tôi có thể học cách vẫy tay
Tôi mừng cho người may mắn,
Tôi tin tưởng cái vescous,
Chiều sâu suy nghĩ tự do…

Tuy nhiên, nhiều người không thích “sự vui vẻ liều lĩnh”, “sự tin tưởng không tiếc nuối” gây mất lòng tin, và “chiều sâu suy nghĩ tự do” dường như hoàn toàn độc hại. Vào những năm 70, sự phát triển của trường nội trú đã đi sai hướng. Nó ngày càng trở thành một thứ giống như một khóa học dự bị cho học sinh các tỉnh, và nguồn gốc xã hội ngày càng đóng vai trò quan trọng trong việc vào trường nội trú hơn là khả năng thực sự về khoa học, do đó từ những năm 70, cường độ khoa học trong đời sống nội trú đã giảm sút.

Giờ đây, những người mới đến trường nội trú đã đến và người ta tin rằng trường nội trú là một hiện tượng tuyệt vời trong nền văn hóa của chúng ta.

A. N. Kolmogorov giảng bài.

ry - sẽ trở lại với hoạt động giáo dục thực sự của mình.

A. A. Egorov. Tôi công tác ở trường nội trú từ cuối năm 1963 - từ lúc mới mở cửa nên toàn bộ lịch sử của trường đều in sâu trong ký ức của tôi.

Trường nội trú đã và đang thực hiện ý tưởng của người sáng tạo ra nó là A. N. Kolmogov: tạo cơ hội cho học sinh năng khiếu tham gia vào công việc khoa học càng sớm càng tốt (bắt đầu từ năm cuối đại học). Vì vậy, bài toán chính của việc giảng dạy là phát triển mối quan tâm bền vững, thậm chí là nhu cầu nghiên cứu và sáng tạo độc lập. Chúng tôi chỉ cho học sinh những cách tiếp cận khác nhau để giải quyết vấn đề, dạy họ nhìn vấn đề từ những góc độ khác nhau. Thật không may, toán học thường được dạy ở trường theo cách họ dạy “Quy tắc” trong quân đội, và đôi khi trẻ em đến với chúng tôi, tuy có năng lực nhưng đã bị giáo viên ở trường ngăn cản. Không ngăn cản họ, khiến bộ não của họ hoạt động, dạy họ học và khơi dậy niềm đam mê học tập - đó là những gì chúng tôi cố gắng làm.

D. L. Abrarov. Tôi từ một sinh viên (tốt nghiệp trường nội trú năm 1977) trở thành giám đốc trường học. Những năm tháng ở trường nội trú sẽ được tôi ghi nhớ suốt đời bởi việc học và cuộc sống thú vị. Tôi biết ơn các giáo viên đã hỗ trợ và phát triển niềm yêu thích của chúng tôi đối với toán học và vật lý. Lớp mình đã giải được bài toán do Hội Khoa học Sinh viên đề xuất. Rất khó khăn, nghiên cứu bài toán, đôi khi có vấn đề. Mỗi học sinh có thể cố gắng giải quyết chúng. Tôi rất muốn trả lời cuốn sách và đi ngủ, nhưng chẳng bao lâu sau, cuốn sách đã nằm trong tay tôi và tôi dành nhiều ngày để nghiên cứu độc lập. Những cuốn sách khó như cuốn sách “Các yếu tố của lý thuyết hàm số và chức năng phân tích” của Kolmogorov và Fomin cũng làm tăng thêm sự quan tâm vì tính khó hiểu của chúng. Buổi thi chính thức được diễn ra một cách nhiệt tình (đôi khi chúng tôi bị giảng viên đuổi đi khi đang giải bài toán, rúc vào một góc vắng nào đó). Tuy nhiên, điều này vẫn tồn tại.

V.V. Vavilov. Dmitry Leonardovich Abrarov đã đề cập đến một môn học tuyệt vời - thực hành toán học. Trong căn phòng nơi chúng ta đang nói chuyện, có một quầy với tất cả các con số «Kvant» được tung ra trước giữa ngày. Vì vậy, tôi thấy ít nhất 7 trang bìa mô tả những bức tranh do học sinh thực hiện trong khi chuẩn bị bài tập thực hành. Nó là gì? Khoảng mỗi tháng một lần có các bài giảng ở trường nội trú, sau đó các bài tập cho hội thảo sẽ được đăng. Khi làm bài, học sinh phải nắm vững lý thuyết, tính toán và hoàn thành phần đồ họa của bài. Những nhiệm vụ này là duy nhất, chúng đòi hỏi khả năng điều hướng trong một tình huống xa lạ, tính độc lập và khả năng tiếp thu sâu của tài liệu - về cơ bản đây là công việc nghiên cứu. Tuy nhiên, từ chủ đề: “Đĩa nằm”.

(Cuối cùng xem trang 15)

BỆNH VÀ NÚT NÚT

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. SOSINSKY

Bện tóc và thắt nút - đây có thực sự là toán học?

Một học sinh nghiêm túc rõ ràng sẽ rút ra khỏi trường học quan điểm sau: toán học liên quan đến các khái niệm trừu tượng, và các đồ vật hàng ngày, như bím tóc và nút thắt, không liên quan gì đến toán học.

Nhưng điều đó không đúng. Các nhà toán học trong thời đại chúng ta không chỉ giải quyết các vấn đề mới nổi - lý thuyết số, tính toán các chuyến bay vào vũ trụ, nghiên cứu các mét thơ - mà còn giải quyết các vấn đề trần thế hàng ngày: tính toán kinh tế và thậm chí cả… lý thuyết về hàng đợi.

Và các lý thuyết bện. Đây là một khoa học hiện thực và sống động phát sinh từ những năm 20 của thế kỷ chúng ta; vẫn chưa được hoàn thiện và chưa cạn kiệt các ứng dụng của nó. Và về vẻ đẹp, lý thuyết về bím tóc không thua kém gì lý thuyết cổ điển, nhưng đã bị đóng băng về tầm quan trọng của nó, toán học của thời cổ đại và thế kỷ 17, vốn chỉ được học ở trường.

Câu chuyện của chúng ta bắt đầu với những ví dụ về bím tóc (hình 1). Bạn có thể tưởng tượng một bím tóc như thế này: n chiếc đinh được đóng vào các cạnh trên và dưới của một tấm ván thẳng đứng (n có thể bằng 1, 2, 3,…) - mỗi chiếc đinh ở đế trên được nối bằng một sợi chỉ với một trong những chiếc đinh ở phía dưới; các sợi chỉ không giao nhau theo cặp và phải luôn đi xuống (sợi chỉ không có quyền quay lại hoặc bắt đầu đi lên: ví dụ: các số trên hình 2 không phải là bím tóc).

Hai bím tóc được coi là tương đương (tức là giống nhau) nếu một bím tóc có thể được biến thành bản sao chính xác của sợi kia bằng cách di chuyển các sợi chỉ (không làm đứt hoặc dán) sao cho mỗi điểm của mỗi sợi chỉ di chuyển trong mặt phẳng nằm ngang. Chuyển động như vậy được thể hiện ở hình 3.

Ở hình 1 ở đầu mỗi sợi, nghệ sĩ đã chỉ ra số sê-ri của nó. Bên dưới một lần nữa, số lượng của mỗi sợi được chỉ định - nhưng ở đây các số không bắt buộc và phải theo thứ tự: mỗi bím tóc tương ứng với một hoán vị số lượng các sợi của nó. Như vậy, các bím tóc $K_1$ , $K_4$ , $K_5$ và hình 1 tương ứng với các hoán vị

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.$

Hình 1. Ví dụ về bím tóc ba và bốn sợi: $K_1$ - “bím tóc thời con gái”; $K_2$ - bím tóc ba lần; $K_3$ — ?; $K_4$ - bím tóc nhuộm; $K_5$ - tết theo chu kỳ.

Hình 2. Những số liệu này không phải là hệ số niga của chúng và có số phận tăng dần.

Hình 3. Bằng chứng hình học về tính tầm thường của bím tóc $K_3=1$ : chuyển động “phân chia” của bím tóc biến thành một bím tóc gồm bốn bím tóc dọc.

Trong số các bím tóc ở hình 1, bím tóc sơn $K_4$ nổi bật; Nó được gọi như vậy hoàn toàn không phải vì người nghệ sĩ đã sơn chân của nó bằng nhiều màu sắc khác nhau: bất kỳ bím tóc nào tương ứng với một hoán vị giống hệt nhau đều được gọi là nhuộm

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{pmatrix},$

tức là, một bím tóc giữ nguyên thứ tự số sợi. Một bím tóc tầm thường, tất cả các sợi đều thẳng đứng, là trường hợp đặc biệt của bím tóc nhuộm.

Nhân tiện, hình 1 không chỉ hiển thị một mà là hai bím tóc tầm thường. Hai? — Có, chính xác là hai: bím tóc $K_3$ là chuyện nhỏ, hoặc nó dễ dàng biến (xem hình 3) thành bím tóc gồm bốn sợi dọc.

Trong số tất cả các bím tóc, ngoại trừ những bím tóc được nhuộm, cần làm nổi bật những bím tóc theo chu kỳ có ý nghĩa đối lập với chúng: đây là những bím tóc sắp xếp lại tất cả các số sợi trong một chu kỳ duy nhất, giống như bím tóc $K_5$ :

$1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1.$

Bím tóc là một trong những vật thể hình học đơn giản nhất có thể dễ dàng được “đại số hóa”: các bím tóc có cùng số sợi có thể được nhân lên. Việc này được thực hiện khá đơn giản (xem hình 4): bạn cần gắn một vòng tròn, dán các sợi chỉ tương ứng và loại bỏ các đinh tán không cần thiết (các đinh tán phía dưới của bím tóc đầu tiên và các đinh tán phía trên của bím tóc thứ hai). Phép nhân như vậy có một số tính chất của phép nhân tổng quát các số: thoả mãn định luật kết hợp

$K_1(K_2K_3)=(K_1K_2)K_3,$

est tương tự nhau - bím tóc tầm thường $K_2=1$ , trong đó

$1 \cdot K=K \cdot 1=K.$

Ngoài ra còn có một cách phân chia tương tự: mỗi bím tóc $K$ có một bím tóc ngược $K^{-1}$ ; cho cô ấy

$K^{-1} \cdot K=K \cdot K^{-1}=1.$

Thực tế cuối cùng không rõ ràng lắm và chúng tôi mời người đọc tìm ra cách tạo một bím tóc ngược với điều này. Chà, nếu nó không thành công, bạn có thể xem đáp số ở trang tiếp theo (hình 5). Tuy nhiên, phép nhân bện không có tính giao hoán: $K \cdot L$ không nhất thiết phải bằng $L \cdot K$ (một ví dụ được đưa ra bên dưới).

Đối tượng đại số thu được—nó được gọi là nhóm bện gồm các sợi $n$ và được ký hiệu là $B_n$ —không đơn giản lắm nhưng nó đã được nghiên cứu kỹ lưỡng. Hãy bắt đầu nghiên cứu nhóm bím tóc. Để làm điều này, bạn sẽ cần các bím tóc cơ bản $S_1, S_2, \dots, S_{n-1}$ trong số $n$ sợi (hình 6).

Hình 4. Nhân các bím tóc: phần trên của bím tóc thứ hai áp vào phần dưới của bím tóc thứ nhất và các sợi tương ứng được dán lại với nhau.

Hóa ra là bất kỳ bím tóc nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các bím cơ bản $S_1$ , $S_2$ , … và nghịch đảo của chúng. Ví dụ, rõ ràng là

$K_1 = S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1} S_1 S_2^{-1}.$

Kế tiếp

$K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_1^{-1} S_3^{-1};$

điều này trở nên rõ ràng nếu bằng cách di chuyển các sợi chỉ một cách hợp lý, chúng ta hạ thấp một chút 4 điểm đôi nằm ở phía bên phải của bím tóc $K_3$ (hình 7).

Bài tập 1. Hãy tưởng tượng các bím tóc $K_4$ , $K_5$ (xem hình 1) là sản phẩm của các bím tóc cơ bản $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ và nghịch đảo của chúng.

Trong lý thuyết bện, cũng như trong hình học giải tích, ký hiệu đại số cho phép lý luận hình học thay thế sự hoàn hảo bằng các phép tính cơ học dựa trên các điểm sau:

I. Quan hệ tay ba

$S_i S_i^{-1} = S_i^{-1} S_i = 1,$

$S_i \cdot 1 = 1 \cdot S_i = S_i (i=1, 2,..., n-1).$

II. Đi lại đường dài

$S_i S_j = S_j S_i$ tại $|i-j| \geq 2$

( $i, j=1, 2,..., n-1$ ).

III. Mối quan hệ đám rối

$S_i S_{i+1} S_i = S_{i+1} S_i S_{i+1}$ ( $i=1, 2,..., n-2$ ).

Những điểm này nằm ngay tiếp theo (hình 8). Từ họ chúng tôi suy ra

Hình 5. Nghịch đảo của bím tóc: hình ảnh phản chiếu của bím tóc $K$ (so với mặt phẳng ngang đi qua đế dưới của nó) là nghịch đảo của bím tóc $K$ $K^{-1}$ .

Thật vậy, các cặp điểm bện đôi $KK^{-1}$ đối xứng với mặt phẳng này có thể bị phá hủy theo cặp bằng cách di chuyển liên tiếp từ tâm của bện đến các cạnh của nó.

Hình 6. Bím tóc cơ bản: Bím tóc cơ bản thứ $i$ $S_i$ ( $i=1, 2,..., n-1$ ) bao gồm các sợi dọc $(n-2)$ và sợi thứ $i$ của nó được đổi chỗ với sợi thứ $c$ ( $i+1$ )th (vượt qua nó).

Ngoài ra còn có các mối quan hệ khác, ví dụ như dạng tổng quát hơn của tính giao hoán ở xa:

Bài tập 2. Chứng minh rằng $S_i^e S_j^\delta = S_j^e S_i^\delta$ với $\varepsilon$ , $\delta \in \{1, -1\}$ , $|i - j| \geq 2$ .

Hãy xem thêm một ví dụ khác: chúng ta chứng minh mối quan hệ $K_3 = 1$ (được thiết lập về mặt hình học trên hình 3) bằng phép tính trực tiếp. Chúng tôi có:

$K_3 = S_2(S_1 S_3^{-1}) S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1(S_3 S_1^{-1}) S_3^{-1} = S_2 S_3^{-1}(S_1 S_1^{-1}) S_3 S_2^{-1}(S_1 S_1^{-1})(S_3 S_3^{-1}) = S_2 S_3^{-1} \cdot 1 \cdot S_3 S_2^{-1} \cdot 1 \cdot 1 = S_2(S_3^{-1} S_3) S_2^{-1} = S_2 S_2^{-1} = 1.$

Ở đây, trước tiên chúng ta tận dụng lợi thế của khả năng giao hoán xa, và sau đó mọi thứ “tự” thu gọn lại (do quan hệ tầm thường).

Bài tập
3. Chứng minh sự thật

Hình 7. Biểu diễn kosci $K_3$ thông qua kosci cơ bản $S_1, S_2, S_3$ và nghịch đảo của chúng. Để làm điều này, với một chuyển động nhỏ của các sợi, tất cả các điểm kép sẽ được đặt ở các cấp độ khác nhau, sau đó ký hiệu đại số $K_3$ có thể được đọc một cách đơn giản từ hình: $K_3 = S_2 S_1 S_3^{-1} \times S_1^{-1} S_3 S_2^{-1} S_1 S_3 S_3^{-1}$ .

Hình 8. Chứng minh các quan hệ chính của lý thuyết kosci: (I) quan hệ ba lần (đối với các bím tóc của hai sợi); (II) tính giao hoán xa (đối với bím tóc bốn sợi); (III) tỷ lệ đám rối (đối với bốn sợi). Đối với trường hợp có số lượng lớn các luồng, mọi thứ đều được chứng minh theo cách tương tự.

hãy đổ vào. Chúng tôi chỉ lưu ý rằng với sự giúp đỡ của họ, lý thuyết hình học của các bím tóc sẽ trở thành một môn khoa học tính toán, trong đó về nguyên tắc, tất cả các câu hỏi cụ thể đều có thể được giải quyết bằng máy tính.

Một độc giả hoài nghi sẽ hỏi: vậy thì sao? Tại sao bạn cần có khả năng giải quyết những “vấn đề cụ thể” này?

Tôi sẽ cố gắng trả lời. Thực tế là lý thuyết bện, như đã đề cập, có nhiều ứng dụng cả trong toán học và hơn thế nữa. Ở đây tôi chỉ tập trung vào một ứng dụng đặc biệt có giá trị - ứng dụng vào lý thuyết nút thắt.

Trước tiên chúng ta hãy xem một số ví dụ về nút (hình 9). Nút thắt là một đường khép kín trong không gian, nhẵn hoặc đứt, có thể xoắn, đan xen theo ý muốn. Sẽ rất hữu ích khi tưởng tượng rằng nút thắt được làm bằng một sợi chỉ mỏng, mềm và có thể kéo dài ra; chúng ta coi hai nút thắt là giống nhau (tương đương) nếu một nút thắt có thể biến thành bản sao chính xác của nút thắt kia bằng cách di chuyển, uốn cong, kéo căng và lướt qua sợi chỉ này trong không gian mà không làm đứt nó. Trong số các nút thắt, nổi bật nhất là một nút thắt tầm thường (thực ra, hoàn toàn không phải là một nút thắt) - một vòng tròn thông thường, không đáng kể: $Y_0$ trên hình 9. Tuy nhiên, hình này cho thấy hai hình ảnh của một nút thắt tầm thường: nút thắt $Y_7$ cũng tầm thường - rất dễ gỡ rối, biến nó thành một vòng tròn lớn (làm điều này trong đầu hoặc bằng bút chì và cục tẩy!). Hơn nữa, tại hình 9, ngoài $Y_0$ và $Y_7$ , còn có một cặp nút tương đương khác.

Bài tập 5. Tìm hai nút tương đương không tầm thường trên hình 9.

Sẽ thuận tiện hơn cho các nhà toán học khi có một định nghĩa chính xác về sự tương đương của các nút, thay vì một mô tả trực quan như mô tả mà chúng tôi đã đưa ra ở trên. Hãy đưa ra định nghĩa này. Để làm điều này, chúng tôi giả định rằng nút không phải là một đường cong uốn cong trơn tru mà là một đường cong bị gãy. Sau đó, một thao tác cơ bản là thay thế một liên kết của một đường gãy - chẳng hạn như đường đứt nét $AB$ trên hình 10 - bằng một đường gãy hai đường $ACB$ (và chuyển đổi ngược lại từ $ACB$ sang $AB$ ), với điều kiện là nút đó không chứa các điểm bên trong của tam giác $ABC$ . Hai nút sẽ tương đương nếu một nút có thể di chuyển từ nút này sang nút khác bằng cách sử dụng chuỗi hữu hạn các phần tử thao tác (hình 10). Sau khi nhìn vào hình này, bạn có thể dễ dàng hiểu rằng định nghĩa về sự tương đương này thực sự đã được mô tả trực quan ở trên.

Đối với các nút, cũng như đối với các bím tóc, bạn có thể chỉ định phân loại cho không gian: chỉ ra danh sách các nút (không giới hạn) (không lặp lại) và thuật toán gán cho bất kỳ nút nào số của nó trong này

Hình 10. Các phép toán cơ bản trên một nút: đoạn AB được thay thế bằng đoạn thẳng ACB đứt quãng với điều kiện nút đó không cắt tam giác ABC; việc áp dụng tuần tự các hoạt động như vậy cho phép các nút bị biến dạng.

danh sách. Mặc dù ngày nay vấn đề này đã được giải quyết về mặt nguyên tắc, nhưng lời giải nó cồng kềnh đến mức không có ứng dụng thực tế. Có thể giảm vấn đề này thành vấn đề (đã được giải quyết) là phân loại các bím tóc không? Đây là nơi mà bước đi tiếp theo sẽ diễn ra.

Hãy lấy một bím tóc, uốn nó theo hình vòng cung và dán phần cuối vào phần đầu (hình 11). Bạn sẽ nhận được một nút thắt. Tuy nhiên, việc tết bím tóc như thế này có phải lúc nào cũng tạo thành nút thắt không?

Hình 11. Thắt bím tóc: chúng ta nối phần đầu và phần cuối của bím tóc đơn giản nhất, chúng ta sẽ có một nút thắt (“trefoil”).

Hình 12. Tháo nút thắt dương thành bím tóc. Nửa mặt phẳng thẳng đứng a được phân bố, mở ra như một cuốn sách và nút thắt phát triển thành một bím tóc. Thao tác này ngược lại với thao tác đóng bím tóc (hình 11).

Sự quản lý

Vẽ phần đóng của bím tóc $K_1, K_4$ (hình 1). Khi nào bạn có một đường cong và khi nào bạn có nhiều đường cong? Mô tả các bím tóc có phần đóng là một đường cong, tức là một nút thắt.
Tìm một bím tóc có phần đóng là một nút thắt: a) $Y_1, 6)$ $Y_3, b)$ $Y_4, r)$ * $Y_2$ (xem hình 9).

Vì vậy, một số bím tóc cổ điển, như độc giả đã thấy, tiếp tục bài tập 6) khi khép lại, họ sẽ thắt nút. Có thể lấy được tất cả các nút theo cách này không? Hóa ra - thế thôi!

Nhà toán học nổi tiếng người Mỹ J. Alexander đã chứng minh vào năm 1925 rằng bất kỳ nút thắt nào cũng là sự đóng lại của một bím tóc nào đó. Chúng tôi sẽ không chứng minh định lý này một cách chi tiết nhưng chúng tôi chỉ ra hai kỹ thuật chính được sử dụng trong chứng minh định lý này.

Ví dụ đầu tiên (“tháo cuộn”). Hãy vẽ một nút, chọn hướng trên nút đó và lấy một điểm tùy ý $O$ bên ngoài nút đó. Chúng tôi gọi một liên kết nút là dương (so với điểm $O$ ), nếu hướng chuyển động dọc theo nó có thể nhìn thấy được từ điểm $O$ từ trái sang phải; vì vậy tất cả các liên kết của nút ngoại trừ $AB$ và $FG$ trên hình 13 đều dương. Chúng ta sẽ gọi một nút là dương (so với điểm $O$ ) nếu tất cả các liên kết của nó đều dương. Đối với các mối quan hệ tích cực

Rất dễ dàng để tìm thấy một bím tóc có độ đóng kín: bạn cần cắt và tháo nút thắt như trong hình 12.

Hãy lấy cái thứ hai (“Bộ ba Alexander”). Các liên kết phủ định của nút (hình 13, b, c) được thay thế bằng các đường gãy dương hai liên kết bao quanh điểm O. Sau khi tính đến tất cả các liên kết phủ định, bước đầu tiên sẽ được áp dụng.*)

Điều này chứng tỏ rằng mỗi nút là phần đóng của một bím tóc nhất định và các bím tóc có thể được phân loại. Chúng ta không thể sử dụng điều này để phân loại các nút sao? Than ôi, không. Vấn đề là việc thắt các bím tóc khác nhau không phải lúc nào cũng dẫn đến các nút thắt khác nhau. Ví dụ: bím tóc (của ba sợi) hiển thị ở hình 14 không giống với bím tóc (của hai sợi) ở hình 11, nhưng cũng tạo ra hình shamrock khi đóng lại (kiểm tra!).

Vì vậy, không thể quy giản một cách mơ hồ việc phân loại các nút thắt thành phân loại các bím tóc. Tuy nhiên, định lý của Alexander chỉ là bước đầu tiên trong một chuỗi suy nghĩ phức tạp, kết nối

*) Người đọc kén chọn có thể phản đối rằng ngoài mặt tích cực và tiêu cực, một nút thắt còn có thể có những mắt xích không thể gán được dấu hiệu. Nếu xảy ra hiện tượng “nghịch ngợm” như vậy, bạn cần di chuyển nhẹ các liên kết này.

gọi những cư dân đẹp nhất của không gian ba chiều - bím tóc và nút thắt.

Tóm lại, đối với những độc giả không cho rằng vẻ đẹp là cơ sở đủ để nghiên cứu môn học, chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi: “Tại sao tất cả những điều này lại cần thiết?” Một phần, đáp số chứa đựng chính lịch sử xuất hiện của lý thuyết về bím tóc và nút thắt.

Lý thuyết về bím tóc được tạo ra vào những năm 20 của thế kỷ chúng ta bởi nhà đại số người Đức vẫn còn trẻ E. Artin theo yêu cầu của… một nhà máy dệt: ông ấy đã thực hiện, như chúng ta thường nói ngày nay, công việc quản lý cho doanh nghiệp này.

Nguồn gốc của lý thuyết nút thắt còn cổ xưa hơn, và hoàn cảnh thú vị về sự xuất hiện ngay lập tức của nó gần như bị lãng quên. Và nó là như thế này.

Hình 14. Cách thắt bím tóc này cũng là nút thắt hình cây ba lá (so sánh với hình 11). Kiểm tra nó ra!