Số học đồng hồ cát

47

số học
đồng hồ cát

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. DVORYANINOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Trong suốt lịch sử, con người đã phát minh ra nhiều loại đồng hồ: đồng hồ mặt trời, đồng hồ lửa, đồng hồ nước, cát, đồng hồ cơ, điện, điện tử, nguyên tử…

Đồng hồ mặt trời bây giờ có thể được tìm thấy trong các nhiệm vụ như một vật trang trí. Những ngọn nến trên cây năm mới gợi cho chúng ta nhớ về những giờ phút rực lửa.
Chiếc cốc thủy tinh và chiếc đồng hồ cát tự thông báo bằng câu cảm thán: thời gian của bạn đã hết! Đúng vậy, ở một số nơi trong phòng khám vẫn còn có đồng hồ cát trong 3, 5 và 10 phút. Nhưng ngay cả ở đó, họ cũng không thể cạnh tranh với những chiếc đồng hồ điện và điện tử đang thay thế những phát minh hàng nghìn năm tuổi này, cũng như máy tính và máy tính vi mô đang thay thế bàn tính và máy đo số học văn phòng.

Tuy nhiên, chúng ta hãy nghĩ một chút về đồng hồ cát - một hộp thủy tinh có cần cẩu buộc quanh eo (hình 1), qua đó cát nung mịn được đổ từ nửa đồng hồ này sang nửa kia của đồng hồ.

Nếu là đồng hồ ba phút thì cát sẽ đổ hết trong ba phút. Nếu bạn lật chúng ngay lập tức, bạn có thể đo được 6 phút. Nếu bạn lật chúng một lần khi cát đã đổ hoàn toàn, bạn có thể đợi cho đến khi kết thúc khoảng thời gian chín phút. Rõ ràng là bằng cách này bạn có thể đo bất kỳ số nguyên phút nào là bội số của trem.

Chà, nếu chúng ta có một cặp đồng hồ cát - ba phút và năm phút - thì chúng ta cũng có thể đo thời gian theo bội số của 5 phút. Như vậy, ta có thể đo được 3, 5, 6, 10 phút… Ngoài ra, ta có thể đo được 8 phút: lần đếm đầu tiên-

tan chảy trong 5 phút trên một đồng hồ, và sau đó là 3 phút trên đồng hồ kia. Và 11 phút? Điều này cũng có thể xảy ra vì 11=2·3+5. Và bạn có thể đo được 12 phút, vì 12=4·3. Kiểm tra xem bạn có thể đo được 13, 14 và 15 phút không.

Hoặc có lẽ chúng ta có thể đo bất kỳ số nguyên phút nào lớn hơn 7? Tất nhiên rồi! Nếu chúng ta giảm số đo xuống còn 8, 9 và 10 phút thì cộng 3 phút chúng ta sẽ có 11, 12 và 13 phút, cộng thêm 3 phút nữa chúng ta sẽ có 14, 15 và 16 phút, v.v.

Hãy lưu ý rằng đồng thời chúng tôi đã chỉ ra rằng bất kỳ số lượng nguyên rúp nào, lớn hơn bảy rúp, đều có thể được thanh toán bằng mệnh giá 3 và 5 rúp. Vào thời điểm trên giấy tờ, việc chứng minh cũng có thể được thực hiện trong đời thực.

Chúng ta hãy trả một số rúp nhất định, nhiều hơn bảy; Chúng tôi sẽ chứng minh rằng trong trường hợp này chúng tôi có thể trả số tiền thêm 1 rúp. Từ đây - như người ta nói, bằng quy nạp - tuyên bố của chúng tôi sẽ tuân theo.

Hình 1.

48

Thật vậy, nếu số tiền hiện có chứa kupora 5 rúp, thì bằng cách thay thế nó bằng hai “ba rúp”, chúng tôi sẽ tăng số tiền thêm 1 rúp. Nếu tổng số không có một “năm” thì có ít nhất ba “ba rúp” (tổng số lớn hơn bảy). Bằng cách thay thế ba “ba rúp” bằng hai “năm”, trong trường hợp này, chúng tôi sẽ tăng số tiền thêm 1 rúp. Bằng chứng đã kết thúc.

Nhưng hãy quay trở lại với chiếc đồng hồ cát. Nếu chúng ta chỉ có đồng hồ năm phút và mười phút trên tay, thì cũng dễ hiểu thôi, với sự trợ giúp của chúng, chúng ta chỉ có thể đo được những khoảng thời gian là bội số của 5 phút. Và nói chung, nếu chúng ta có đồng hồ cát $k$ phút và $m$ phút, thì thời gian được đo với sự trợ giúp của họ sẽ là bội số của gcd $(k, m)$ - ước số chung nhất của các số $k$ và $m$. Các số 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, ước số chung nhất của chúng là 1; số 3 và 10 cũng là số nguyên tố cùng nhau. Hóa ra với sự trợ giúp của đồng hồ cát ba phút và mười phút, bạn có thể đo được bất kỳ số phút nào, nhiều hơn mười bảy. Thật vậy, $18=6 \cdot 3, 19=10+3 \cdot 3, 20=2 \cdot 10$. Và sau đó, như trước đây, chúng tôi thêm số khoảng thời gian ba phút cần thiết.

Vâng, trong trường hợp chung? Hóa ra là nếu các số $k$ và $m$ là số nguyên tố cùng nhau thì khi sử dụng đồng hồ $k$ phút và $m$ phút, bạn có thể đo bất kỳ số phút nào lớn hơn $km-k-m$. Nhân tiện, chúng ta hãy lưu ý rằng $3 \cdot 5-3-5=7$ và $3 \cdot 10-3-10=17$, tức là đồng hồ ba phút và năm phút có thể đo bất kỳ khoảng thời gian số nguyên nào, lớn hơn mười bảy phút; và đồng hồ ba phút và mười phút là bất kỳ khoảng thời gian nguyên nào lớn hơn mười bảy phút, đó là những gì chúng ta đã thấy trước đây.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng không thể đo chính xác $km-k-m$ phút bằng cách sử dụng đồng hồ $k$ phút và $m$ phút với các số nguyên tố cùng nhau $k$ và $m$. Trên thực tế, chúng tôi có thể thực hiện điều này bằng cách “chạy” đồng hồ $k$ phút $x$ lần và đồng hồ $m$ phút $y$ lần. Sau đó $km-k-m=xk+ym$ hoặc $k(x+1)=m(k-1-y)$. Vì $k$ và $m$ là số nguyên tố cùng nhau nên số $k-1-y$ phải chia hết cho $k$ (và $k-1-y>0$). Nhưng $k-1-y<k$. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng, bằng cách sử dụng đồng hồ cát ba phút và năm phút, cần phải đo được khoảng thời gian là 7 phút. Bây giờ hãy làm điều cần thiết - đo 7 phút bằng đồng hồ này! Còn bằng chứng của chúng tôi thì sao? Bằng chứng là đúng, nhưng chỉ với giả định rằng lần khởi động tiếp theo của đồng hồ sẽ xảy ra sau khi cát đã đổ hết ra khỏi đồng hồ đang hoạt động trước đó. Giả định này là tự nhiên đối với một chiếc đồng hồ, vì với sự trợ giúp của chúng, chúng ta không thể đánh dấu những khoảng thời gian nhỏ hơn khoảng thời gian mà chiếc đồng hồ này được thiết kế. Nhưng việc có hai chiếc đồng hồ mang đến cho chúng ta những cơ hội mới.

Hãy chạy đồng thời đồng hồ ba phút và năm phút. Vào thời điểm hạt cát cuối cùng rơi xuống đồng hồ ba phút, chúng ta sẽ dừng đồng hồ năm phút. Cách thực hiện rất đơn giản - có đáng để thử chúng theo chiều ngang không (hình 2). Đồng hồ năm phút của Teler được “điều chỉnh” thành 2 phút, nghĩa là với sự trợ giúp của nó, chúng ta có thể đo được hai phút và do đó là 7 phút: $7=2+5$.

Vì vậy, với sự trợ giúp của đồng hồ ba phút và năm phút, chúng ta có thể đo các khoảng thời gian 2, 3, 5, 6, 7, 8 và bất kỳ số phút nào nữa. Phần còn lại cách nhau 1 và 4 phút. Có lẽ chúng cũng có thể được đo lường? Chắc chắn. Hãy “bắt đầu” đồng hồ của chúng ta cùng một lúc. Vào thời điểm khi hết cát trên đồng hồ ba phút, chúng ta lật nó lại và do đó bắt đầu một khoảng thời gian ba phút mới, nhưng chúng ta sẽ kết thúc nó vào thời điểm đồng hồ thứ hai đếm được 5 phút. Đồng hồ ba phút đã dừng sẽ được “đặt” thành 1 phút $(2 \cdot 3-5=1)$. Bây giờ không khó để có được 4 phút, vì $4=1+3$.

Bây giờ hãy tự mình thử sử dụng đồng hồ ba phút và mười phút để có được toàn bộ