Арифметика песочных часов

47

АРИФМЕТИКА
ПЕСОЧНЫХ ЧАСОВ

Кандидат физико-математических наук
С. В. ДВОРЯНИНОВ,
кандидат физико-математических наук
А. П. САВИН

За свою историю человек изобрел множество видов часов: солнечные, огненые, водыные, песочные, механические, электрические, электронные, атомные…

Солнечные часы теперь можно встреть на заданиях как украшение. Об огненых часов напоминают свечи на новогодних.elках.
Водяные и песочные часы заявляются о себе в восклизации: ваше время истекло! Правда, кое-где в процессе кабинетах поликлиник еще сохранились песочные часы на 3, 5 и 10 минут. Но и там они не могут составить конкуренцию электрическим и электронным таймером, которые вытесяют эти изобретения тысячелетней давности, как ЭВМ и микрокалькуляторы вытесяют конторские счеты и арифметры.

Но все-tаки давайте поразмышляем немного о песочных часов — стеклянном баллоннике с перетянутой посиному талей (рис. 1), через которого из одной половинки часов в другую пересыпается мелкий прокаленный песок.

Если это — трехминутные часы, то песок пересыпается за три минуты. Если их тут же перевернуть, то можно отмерить 6 минут. Если раз перевернуть их в момент полного пересыпания песка, можно дождаться окончания девятиминутного интервала. Понятно, что таким образом можно отмерить любое целое число минут, кратное trem.

Ну а если у нас есть пара песочных часов — трехминутные и пятминутные, — то мы сможем еще отмерть время, кратное 5 минутам. Таким образом, мы можем отмерить 3, 5, 6, 10 минут… Кроме того, можно отмерить и 8 минут: сначала отсчита-

таем 5 минут на один часах, а потом 3 минуты на других. А 11 минут? Тоже можно, потому что 11=2·3+5. И 12 минут отмерить можно, так как 12=4·3. Проверьте, что можно отмерить и 13, и 14, и 15 минут.

А может быть, мы сможем отмерять любое целое число минут, большее 7? Конечно же! Если мы уменьшем отмерять 8, 9 и 10 минут, то, добавляя по 3 минуты, получим 11, 12 и 13 минут, добавляя еще по 3 минуты, получим 14, 15 и 16 минут и т. д.

Заметим, что заодно мы показали, что всяку сумму в целое число рублей, большею семи рублей, можно упласть купiopами достоинством в 3 и 5 рублей. На бумажных деньах доказательство можно проведети и инчете.

Пусть мы можем упласть некоторое число рублей, большее семи; показем, что в таком случае мы можем упласть сумму и на 1 рублей большею. Отсюда — как говорят, по индекции — и будет следовать наше утверждение.

Рис. 1.

48

Действительно, если в имеющейся сумме есть купора в 5 рублей, то, заменив ее двумя «трешками», мы увеличим сумму на 1 рублей. Если же в сумме нет ни одной «пятерки», то там не менее трех «трешек» (сумма больше семи). Заменив три «трешки» двумя «пятерками», мы и в этом случае увеличим сумму на 1 рублей. Доказательство окончено.

Но вернемся к песочным часам. Если у нас на руках только пятиминутные и десятиминутные часы, то, как нетрудно понять, с их помощью мы сможем отмерять только промежутки времени, кратные 5 минутам. И вообше, если у нас есть $k$-минутные и $m$-минутные песочные часы, то время, отмеренное с их помощью, будет кратно НОД $(k, m)$ — наиболее общему делитель чисел $k$ и $m$. Числа 3 и 5 взаимно просты, их наиболее общий делитель равен 1; числа 3 и 10 тоже взаимно просты. Оказывается, что с помощью трехминутных и десятиминутных песочных часов можно отмерить любое число минут, больше семнадцати. Действительно, $18=6 \cdot 3, 19=10+3 \cdot 3, 20=2 \cdot 10$. А дальше, как и предше, добавляем нужное число трехминутные интервалы.

Ну а в обшем случае? Оказывается, что если числа $k$ и $m$ взаимно просты, то при помощи $k$-минутных и $m$-минутных часов можно отмерить любое количество минут, больше $km-k-m$. Заметим, кстати, что $3 \cdot 5-3-5=7$, а $3 \cdot 10-3-10=17$, т. е. трехминутными и пятиминутными часами можно отмерить любой целочисленный интервал времени, больше семнадцати минут; а трехминутами и десятиминутными часами — любой целочисленный интервал времени, больше семнадцати минут, что мы и видели раньше.

Докажем, чторовно $km-k-m$ минут с помощью $k$-минутных и $m$-минутных часов при взаимно простых числах $k$ и $m$ отмерить нельзя. В самом деле, пусты мы смогли это сделать, «запуская» $k$-минутные часы $x$ раз, а $m$-минутные — $y$ раз. Тогда $km-k-m=xk+ym$, или $k(x+1)=m(k-1-y)$. Так как $k$ и $m$ взаимно просты, число $k-1-y$ должно делиться на $k$ (причем $k-1-y>0$). Но $k-1-y<k$. Получили протиоречие.

Таким образом, мы доказали, что, с помощью трехминутных и пятиминутных песочных часов необходимо отмерить промежуток времени в 7 минут. А теперь совершим необходимое — отмерим 7 минут с помощью этих часов! А как же нашей dokазательство? Dokазательство верно, но лишь при том предположении, что очередной пуск часов проискодит после полного пересыпания песка у работавших до этого часов. Это предположение естественно для одинх часов, поскольку с их помощью мы не можем отмечать промежутки времени, меньше того, на котором эти часы расчитаны. Но, имея две часы, мы получаем новые возможности.

Запустим одновременное трехминутные и пятиминутные часы. В том момент, когда на трехминутных часах упадет вниз последняя песинка, остановим пятиминутные часы. Следать это очень просто — стоит ли попытаться их набок (рис. 2). Телер пятиминутные часы «настроены» на 2 минуты, т. е. с их помощью мы можем отмерить две минуты, а значит, и 7 минут: $7=2+5$.

Итак, с помощью трехминутных и пятиминутных часов мы можем отмерять промежутки времени в 2, 3, 5, 6, 7, 8 и любое больше число минут. Остальные нейсными промежутками в 1 и 4 минуты. может быть, их тоже можно отмерить? Конечно. «Запустим» наши часы одновременно. В том момент, когда на трехминутных часах истечет песок, перевориваем их и, тем самым, начинаем новую трехминутку, но превем ее в тот момент, когда вторые часы отмерят свои 5 минут. Ostановленные трехминутные часы оказутся «настроены» на 1 минуту $(2 \cdot 3-5=1)$. Получить теперь 4 минуты не представляется труда, поскольку $4=1+3$.

Попробуйте теперь самостояльно с помощью трехминутных и десятиминутных часов получить все целые