Геометрические преобразования

50

Математика 8—10

Геометрические преобразования

Часть I: Движения

Публикуемая заметка адресована восемиклассикам, однako она, несомненно, будет полезна девятиклассикам и десятиклассикам, готовыми к современным на олимпiadах или к поступлению в buses.

Э. Г. ГОТМАН

Преобразования плоскости — движения и подобия — во многих случаях позволяют экономно и изящно решать геометрические задачи. В последние два года «Квант» дважды обращался к этой теме (см. № 12 за 1986 г. и № 8 за 1987 г.). Разумеется, мы не предполагаем у читателя знакомства с этим статями и снача-la изложим необходимые для решения задач теоретические сведения.

Напомним основные определения.

Движение — это преобразование плоскости, при котором расстояние между образами любых двух точками равно расстоянию между этих точками. Выделим три специальных вида движения.

Поворот вокруг точки O на угол α — это преобразование, при котором точка O переходит в себя, а произвольная точка A, отличная от O, переходит в такую точку A’, что OA’=OA и угол между OA и лучом OA’, отсутствия в направлении против часовой стрелки, равен α. Подчеркием, что у нас поворот — это всегда поворот против часовой стрелки; скажем, поворот на 30° по часовой стрелке — это для нас поворот на 330°.

Паралельный перенос на вектор α — это преобразование, при котором произвольная точка A переходит в та-

51

кую точку $A'$, что вектор $\overline{AA'}$ равен $\bar{a}$.

Освая симметрия с осью $l$ — это преобразование, при котором произвольная точка $A$ переходит в точку $A'$, симметрично $A$ относительно прямой $l$. Точки самой прямой $l$ остаются при этом преобразования неодвижными.

Очевидно, поворот вокруг точки, параллельный перенос и освая симметрия сохраняет расстояния между точками и, следовательно, является движением. Центральную симметрию мы не виделием в отдельный вид движения: это частный случай поворота — поворот вокруг симметрины на $180^\circ$.

Мы будем пользоваться следующими обозначениями: $R_O^a$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$, $T_a$ — параллельный перенос на вектор $a$, $S_l$ — освая симметрия с осью $l$. Через $E$ мы обозначаем точдействие преобразование (при котором все точки переходит в себя). Например, параллельный перенос на нулевой вектор есть точдействие преобразование: $T_0 = E$. Равным образом поворот (вокруг любой точки) на $360^\circ$ возвращает все точки в исходное положение: $R_O^{360^\circ} = E$. Добавим к этому, что всегда $R_O^{a+360^\circ} = R_O^a$, поэтому углы поворота целесообразно задавать с точностью до $360^\circ$. Объчно в записи $R_O^a$ предполагается, что $0 \leqslant \alpha < 360^\circ$.

Очевидно, что при любом движении симметрины.conправленные лучи переходит в симправленные лучи. Ясно также, что при любом параллельном перенос произвольный луч переходит в симправленный с ним луч. По-другому дело обстоит при повороте.

Теорема 1. При повороте угол между произвольным лучом и его образом равен углу поворота.

Доказательство. В частном случае, когда начало данного луча совпадает с центром $O$ поворота, это утверждение очевидно. Если начало данного луча $k$ отлично от $O$, то из точки $O$ проведем луч $h$, симправленный с лучом $k$ (рис. 1). Так как любое движение преводит симправленные лучи в симправленные, то образы $k'$ и $h'$ лучей $k$ и $h$ тоже

Рис. 1.

сонаправлены. Следовательно, угол между $k$ и $k'$ равен углу между $h$ и $h'$, т. е. равен углу поворота.

Уже эта простая теорема может эффективно использовать при решении задач.

Упражнения

1. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ все его построены равносторонние треугольники $ACB_1$ и $BCA_1$. Доказите, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ равны. Найдите величины угла между прямыми $AA_1$ и $BB_1$.

Указание. Убедитесь, что с помощью поворота вектор точки $C$ на $60^\circ$ отрезок $B_1B$ можно совместить с отрезком $AA_1$ (треугольник $ABC$ считается положительно ориентированным *).

2. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ все его построены квадраты $ACA_1A_2$ и $BCB_1B_2$. Доказите, что а) отрезки $AB_1$ и $A_1B$ равны и перпендикулярны; б) центры построенных квадратов и середины отрезков $AB$ и $A_1B_1$ являются вершинами треугольника $A'B'C'$. В противном случае

*) Номинным, что треугольник $ABC$ считается положительно ориентированным, если обход его вершин в порядке $A, B, C$ происходит против часовой стрелки, и отрицательно ориентированным в противном случае. (Не лишнее заметить, что треугольники $ABC$ и $ACB$, которые геометриски не отличаются друг от друга, ориентированны противоположным образом.)

53

по числу неподвижных точек: при паралельном переносе на ненулевой вектор все точки меняют свое положение, т. е. неподвижных точек нет; при ненулевом повороте имеется только одна неподвижная точка — центр поворота. Тождественное преобразование оставляет все точки плоскости неподвижными.

Композиция движения

Нетривиальное теоремы 2 чаще всего проявляется в ситуации, когда рассматривается движение первого рода, из построения которого не видно, что это — поворот или паралельный перенос. Примером такого движения может служить композиция двух или более движений первого рода.

Композиция двух преобразованной называется преобразование, которое получится, если сначала применить первое преобразование, а потом — второе. Композиция преобразования $F$ и $G$ обозначает символьм $G \circ F$. (Таким образом, преобразование $G \circ F$ состоит в том, что применяется сначала $F$ и потом $G$; такой порядок записи оправдывает тем, что если $A$ — произвольная точка, то $G \circ F(A) = G(F(A))$.) Очевидно, композиция двух движений первого рода есть движение первого рода. Ввиду этого из теоремы 2 вытекает неожиданное.

Следствие 1. Композиция двух поворотов есть либо поворот, либо паралельный перенос, либо токдественное преобразование.

Мы уточним это утверждение, указав, когда какая из трех этих возможностей реализуется.

Рис. 3.

Теорема 3. Пусть $R_{a_1}^{a_1} u R_{a_2}^{a_2}$ — два поворота, причем $0 < a_1 < 360^\circ$ и $0 < a_2 < 360^\circ$, и пусть $F = R_{a_2}^{a_2} \circ R_{a_1}^{a_1}$ — их композиция. 1) Преобразование $F$ является токдественным тогда и только тогда, когда $O_1 = O_2$ и $a_1 + a_2 = 360^\circ$. 2) Если $a_1 + a_2 = 360^\circ$, но $O_1 \neq O_2$, то $F$ есть паралельный перенос. 3) Если $a_1 + a_2 \neq 360^\circ$, то $F$ есть поворот на угол $a_1 + a_2$ вокруг некоторой точки.

Мы оставляем доказательство этой теоремы читателью, ограничившись описанием построения центра $O$ результатующего поворота в случае 3).

Если $O_1 = O_2$, то $O$ совпадает с $O_1$ и $O_2$. Пусть $O_1 \neq O_2$. Воспользуемся тем, что $O$ — неподвижная точка композиции $F$. Пусть $R_{a_1}^{a_1}(O) = O'$; тогда $R_{a_2}^{a_2}(O') = O$ (рис. 3). Отсюда следует, что $O_1 O' = O_1 O$ и $O_2 O' = O_2 O$, ввиду чего точки $O$ и $O'$ симметричных относительной прямой $O_1 O_2$. Учитывая, что $\angle OO_1 O' = a_1$ и $\angle O' O_2 O = a_2$, получаем следующее результат. Если $O_1 \neq O_2$ и $a_1 + a_2 < 360^\circ$, то треугольник $OO_1 O_2$ отличается орientирован и $\angle OO_1 O_2 = 180^\circ - \frac{a_1}{2}$, $\angle O_1 O_2 O = 180^\circ - \frac{a_2}{2}$.

Уражнение 3. Доказите, что композиция паралельного перенос и поворота является поворотом на тот же угол. Найдите центр этого поворота.

4. Доказите, что композиция четного числа освых симметричных есть паралельный перенос, либо поворот, либо токдественное преобразование.

Как мы видели, композиция двух поворотов является токдествним преобразованием только тогда, когда центры поворотов совпадают. Оказывается, композиция трех поворотов может быть токдествним преобразованием и в том случае, когда центры поворотов различины. Например, если $ABC$ — отрицательно ориентированный равносторонний треугольник, то $R_{C}^{120^\circ} \circ (R_{B}^{120^\circ} \circ R_{A}^{120^\circ}) = R_{C}^{120^\circ} \circ R_{C}^{240^\circ} = \angle R_{C}^{360^\circ} = E$.

Выведите самостояльно из теоремы 3 следующие утверждения: