Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

66

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{1}-\cos 2x=\sin 2x.$$
2. Решите неравенство
   $$\log_{5x-4}4^{-x}>0.$$
3. В параллелограмме PQRS биссертиса угла при вершине P, равного 80°, пересекает сторону RS в точке L. Найдите радиус окружности, касающейся отрезка PQ и лучей QR и PL, если известно, что PQ=7.
4. Угол между скрещивающимся прямыми AB и CD равен агссos $$\frac{\sqrt{35}}{10}$$. Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перpendicularна прямым AB и CD. Найдите угол ACB, если известно, что AB=2√5, CD=2√7 и EF=√13.
5. Два моториклиста стартовали разделно в одной точке站iona в гонке на 30 крутов, причем второй начал движение, когда первый прошел полкура. Один из зрителей вышел со站iona, когда моториклист был рядом. Когда через 4 минуты он вернулся, моториклист снова был рядом. Если бы первый моториклист после 14 крутов увеличил скорость в 4 раза, а второй моториклист после 12 крутов — в 2 раза, то они финишировали бы одновременно. Определите, с какой разницей во времени финишировали моториклисты, если пришедший первым проездал за минуту более 5 крутов.
6. Найдите все значения a, при которых система
   $$\sin x \cdot \sin y=\frac{1}{z^2},$$
   $$\cos x \cdot \cos y=\frac{(x+y)^2}{(a-\pi)^2},$$
   $$\sin(x-y)=\frac{2(x+y)}{(a-\pi)z}$$
   имет одно решение, удовлетворяющее условием 0≤y≤$\frac{\pi}{2}$ и z>0.
   Вариант 2
   (факультет вычислительной математики и кубернетики)
7. Найдите сумму первых двадцатных членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четвернадцатого и во-

семнадцатого членов этой прогрессии равна 10.
2. Решите уравнение
$$\cos 7x+\cos x=2\cos 3x(\sin 2x-1).$$
3. Гипотенуза AB прямогольного треугольника ABC является хордой окружности радиусом 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, которая параллелен гипотенузе. Угол CAB составляет 75°. Найдите площадь треугольника ABC.
4. Решите неравенство
$$8^x\geq 6 \cdot 9^{x-1}.$$
5. Найдите все значения параметра a при которых уравнение
$$((2x+a)\sqrt{22a-4a^2}-24-2(x^2+x)\lg a)\times \lg \left(\frac{36a-9a^2}{35}\right)=0$$
имет по крайней мере два корня, один из которых неотрицательен, а другой не превосходит -1.
6. Сфера с центром в точке O пересечена плоскостью π. Внутри сферы расположены три шара, два их которых одного радиуса, а третий меньше радиуса. Каждый из шаров касается двух других шаров, плоскости π и сферы. Известно, что синус угла между плоскостью, проходящей через центры шаров, и плоскостью π равен 1/√5, а косинус угла между радиусами меньшего и большого шаров, проведенными в точки касания их со сферы, равен 4/5. Расстояние от центра меньшего шара до точки O равно 15. Найдите расстояние от точки O до плоскости π, если известно, что оно больше 14.
Вариант 3
(физическая факультет)

1. Решите уравнение
   $$\cos 2x+8\sin x=3.$$
2. В прямогольном треугольнике величины остроого угла равна a, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Найдите длину высоты треугольника, опущенной на гипотенузу.
3. Решите уравнение
   $$\sqrt{4-6x-x^2}=x+4.$$
4. В параллелограмме ABCD биссертиса угла BAD пересечает сторону CD в точке M такой, что DM/MC=2. Известно, что величины угла CAM равна a. Найдите величины угла BAD.
5. При каких значениях a системы
   $$\begin{cases} axy+x-y+\frac{3}{2}=0, \\ x+2y+xy+1=0 \end{cases}$$
   имет единственное решение?
6. В треугольной парамиде SABC (S — вершина) угол ACB — прямой, AC=3, BC=4, SC=√38. Боковые грани парамиды одинаково наклонены к основанию ABC. В парамиду вписан цилидр, площадь боковой поверхности которого равна 8π/3. Нижнее основа цилидра находится в плоскости основания парамиды, а окружность верхнего основания имеетровно по одной общей точке с каждой из боковых грани парамиды. Найдите радиус основания цилидра.

67

Вариант 4
(химическая факультет)

1. Решите уравнение
   $$2\log_7(x-2) = \log_7(x-10)^2 - 2.$$

2. Решите уравнение
   $$\sqrt{2} \cos x = \sqrt{-3} \sqrt{3} \sin x - 4.$$

3. Найдите точку графика функции $y = 1 - 2x^2$, близкой к точке $(1; \frac{3}{4})$.

4. В треугольник $ABC$ с длиной стороны $BC$, равной 11, вписана окружность, касающаяся стороны $AB$ в точке $D$. Известно, что длина отрезка $AC$ равна длине отрезка $CD$ и косинус угла $BAC$ равен $\frac{1}{6}$. Найдите длину стороны $AC$.

5. Найдите все значения параметра $a$, при которых равносильны системы уравнений
   $$\begin{cases} ax + 3y = 6a - 4, \\ x + y = 2a \end{cases}$$
   и
   $$\begin{cases} x^2 - 2y^4 - 6x + 8 = 0, \\ x^2 + y^2 - (2a+4)x + 2(a^2 + a + 2) = 0. \end{cases}$$

Вариант 5
(блюлозический факультет)

1. Найдите наимененный положительный корень уравнения
   $$6\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0.$$

2. Решите неравенство
   $$2\log_2 3 + \log_2 \left(3^x - 1 - \frac{1}{9}\right) < \log_2 2 6.$$

3. Два экскаватора различной мощности, работа с постоянной производительностью, вырыли коллован заданного объема за 2 часа 24 минуты. Первый экскаватор, работа в одиночку, завершил бы эту работу на 2 часа быстрее, чем второй. Найдите время, за которое вырыл бы коллован второй экскаватор, работа в одиночку.

4. Площадь треугольника $ABC$ равна $2\sqrt{3} - 3$, а угол $BAC$ равен $60^\circ$. Радиус окружности, касающейся стороны $AC$ и продолженной сторон $BA$ и $BC$, равен $\sqrt{3}$. Найдите углы $ABC$ и $BCA$ данного треугольника.

5. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \left(\sqrt{3} \cos \frac{\pi x}{4} + \sin \frac{\pi(x-2y)}{12}\right) \times \left(\sqrt{11-x^2-y^2}-4x-2y-6\right) = 0, \\ \frac{1}{2} + 2 \sin \frac{\pi x}{12} \cos \frac{\pi y}{6} = 2 \cos \frac{\pi x}{12} \sin \frac{\pi y}{6} + \sin^2 \frac{\pi x}{8}. \end{cases}$$

Вариант 6
(факультет повоеведения)

1. Решите уравнение
   $$3 \sin x - 2 \text{ ctg } x = 0.$$

2. На диаметре $MN$ окружности отмещена точка $R$ и через нее проведена хорда $PQ$. Известно, что углы $MNP$ и $NPR$ соответственно $60^\circ$ и $13^\circ$, а длина $PR$ равна 3. Найдите диаметр окружности.

3. Решите уравнение
   $$5 \cdot 4^x - 11 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0.$$

4. Два вида корма для животных — А и Б — отличаются весовым содержанием белков, жиров и углеводов. В корме А белков в 5/3 раза больше, а углеводов в 1,5 раза меньше по весу, чем жиров. В корме В соответственно белков и углеводов в 7/2 раза меньше, чем жиров. Можно ли за счет смешивания кормов А и В приготовить корм, в котором белков в 1,5 раза, а углеводов в 5 раза больше, чем жиров?

5. При каких значениях параметра $p$ системы
   $$\begin{cases} x^2 + 2px + 4p^2 - 5p + 3 \geq 4\sin y - 3\cos y, \\ 0 \leq y \leq 2\pi \end{cases}$$ имеет единственное решение?

Вариант 7
(зеодрафический факультет)

1. Найдите область определения функции
   $$y = \log_2 x (x^2 + x - 2).$$

2. Решите неравенство
   $$2\log_2 3 + \log_2 \left(3^x - 1 - \frac{1}{9}\right) < \log_2 2 6.$$

3. Из пунктка $A$ в пункт $C$, находящейся на расстоянии 80 км от $A$, выхал моториклист. Навстречу ему и одновременно с ним из пункта $B$, находящейся между $A$ и $C$ на расстоянии 5 км от $C$, выхал velocипедист, а из пункта $C$ – автомобиль. Через какое время встретились моториклист и velocипедист, если известно, что это произило через 20 минут после того, как автомобиль догнал velocипедиста, а моториклист до встречи с автомобильным проевел в пути вдвое больше времени, чем velocипедист до того, как его дорогал автомобиль?

4. Треугольная парамида $ABCD$ пересекается с плоскостью $P$ по четырехугольнику $EFGH$ так, что вершины $E$ и $F$ лежат на ребрах $AB$ и $AC$. Отношение сторон $EF$ и $EH$ равно 3. Известно, что плоскость $P$ параллельна противоположным ребрам $AD$ и $BC$, относение которых равно $\frac{1}{3}$. Найдите отношение, в котором точка $E$ делит ребро $AB$.

5. Докажите, что при всех $x > 0$ выполняется неравенство
   $$x^2 + x + 4\pi \cos x > 0.$$

Вариант 8
(зеодрафический факультет)

1. Решите уравнение
   $$(x - 2)(|x| + \sqrt{3} - 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.$$

2. Найдите все решения неравенства
   $$(x^2 + 8x + 15)\sqrt{x + 4} \geq 0.$$

3. Решите уравнение
   $$(2x^2 - 5x + 2)(\log_2 x (18x) + 1) = 0.$$

4. Точка $O$ лежит на отрезке $AB$, так что $AO = 13, OB = 7$. С центром в $O$ проведена окружность радиусом 5. Из $A$ и $B$ к ней проведены касательные, пересекающие в точке $M$, причем точки касания лежат по одному сторону от прямой $AB$. Найдите радиус округления $AMB$.

укрепленные две одинаковые точные массы (рис. 1). В начальном момент обруч покопится. С какой скоростью будет движаться центр обруч в тот момент, когда он пройдёт путь l? Ускорение свободного падения g, масса обруч много меньше точных масс, угол наклона плоскости к горизонту a. Обруч не деформируется. Влиянием воздействия на движение пренебречь.

2. Из однородной пластинки вырезан прямогольный треугольник с острым углом 30°. Этот треугольник закреплен в одной точке с помощью оси, проходящей через острый угол (рис. 2). Какую минимально по величины силы нужно дополнительно приложить к этому треугольнику, чтобы удержать его в положении, изобразением на рисунке сплошными линиями? Масса треугольника M, ускорение свободного падения g.

3. Идеальный газ совершает работу, изменяя свое состояние по замкнутому циклу, состоящему из двух изходов и двух изобар (рис. 3). В начальном состоянии, изобразаемом точкой 1, температура газа T₁; в состоянии, изобразаемом точкой 2, температура газа T₂; такая же температура в состоянии, изобразаемом точкой 4. Масса газа m, молярная масса M. Какую работу совершает газ за один цикл?

4. В сосуд объемом V=10 дм³ поставили блюдце, содержащое m=1г воды. После этого сосуд термометических закрыли и оставили при температуре t=20 °C, при котором давление насыщенного пара воды p=2,33 кПа. Какая часть воды испарится? Объем блюдца пренебречь, R=8,31 Дж/(моль·К), Mₐ=0,018 кг/моль.

5. Две металлические пластины A и B находятся на расстоянии d=10 мм друг от друга. Между ними на расстоянии d₁=2 мм от пластины A находится металлическая пластина C толщиной h=2 мм (рис. 4). Надите потенциаль этой пластины, если потенциаль пластин A и B равны, соответственно, φₐ=50 В и φₐ=-60 В. Поле между пластинами считать однородным.

6. На сколько изменится заряд на пластинах конденсатора в схеме, изобразенной на рисунке 5, если между точками A и B включить резistor сопротивлением R? ЭДС источника, емкость конденсатора и сопротивления резисторов, изобразенных на схеме, известны. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

7. Квадратная рамка с током может врашать вокруг горизонтальной оси OO₁ (рис. 6). Рамка связана с пружиной. При повороте рамки на угол α от исходного горизонтального положения на рамку действует момент пругих сил, пропорциональний углу α. Рамка находится в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Если по рамке идет ток I₁=0,1 А, то рамка устанавливается в положении, в котором α=30°. При каком ток угол отклонения будет равен α₂=90°?

8. Узкий пучок света падает на горизонтальную водную поверхность под углом α (рис. 7). Под каким минимальным углом к поверхности воды нужно установить в воде зеркало, чтобы лучи, отразившись от него, не могли выйти из воды в воздух? Показатель преломления воды n.

9. На плоскую поверхность половинки стеклянного шара нормально к поверхности падет луч света (рис. 8). Расстояние между лучом и осью OO₁ равно a. На каком расстоянии от плоской поверхности этот луч, преломившись на сфericalной поверхности, пересечет ось OO₁? Показатель преломления стекла n, радиус шара R, a<R/n.

10. С помощью тонкой линзы получается увеличенное в два раза действительное изобразение плоского предмета. Если предмет с л=1 см в стороны линзы, то изобразение будет увеличенным в три раза. Чему равно фокусное расстояние линзы?

Химический факультет

1. Необольное тело сскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости высотой H и ударяется о стенку, перпендикулярную наклонной плоскости (рис. 9). После этого тело поднимается по наклонной плоскости на высоту h=H/2. Угол наклона плоскости к горизонту a=45°. Считая удар абсолотно пругим, определяте коэффициент тремя между телом и плоскостью. После удара тело движется поступательно.

70

2. Оdnородный шарик массой $m=60$ г лежит на дне пустого стакана. В стакан наливают жидкость так, что объем погруженной в жидкость части шарика оказывается в $k=6$ раз меньше его объема. Плотность жидкости в $n=3$ раза больше плотности материалов шарика. Найдите силу давления шарика на дно стакана. Ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$.

3. Кислород массой $m=3,2$ кг находится в вертикальном цилиндре под поршнем при температуре $t_1=22$ °C. После сообщения кислороду количество теплоты $Q=9 \cdot 10^3$ Дж его температура стала $t_2=27$ °C. Определите, какое количество теплоты на увеличение внутренней энергии кислорода. Молярная масса кислорода $M=32$ кг/кмоль, универсаальная газовая постоянная $R=8,31 \times 10^3$ Дж/(кмоль·К). Трене между стенками цилиндра и поршнем отсутствует. Изменением плотности кислорода в состоянии по высоте пребрежь.

4. Шарик массой $m=2$ г, несущий электрический заряд $Q=10,5 \cdot 10^{-9}$ Кл, может враться в вертикальной плоскости на непроводящей, неевесомой и нерастворимой нитей длиной $l=50$ см. В центре врашения закреплен второй шарик с таким же зарядом. Какую минимально горизонтального скорсть надо сообщить шарику в нижнем положении, чтобы он мог сделать полный оборот? Ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/m. Размеры шариков по сравнению с длиной нитей пребрежь.

5. Амперметр, включенный в участок цепи, изображенный на рисунке 10, показывает силу тока $I_1=0,5$ А. Найдите силу тока через резistor $R_4$. Соответствие резисторов: $R_1=R_4=2$ Ом, $R_2=4$ Ом, $R_3=R_5=1$ Ом. Соответлением амperметра пребрежь.

Факультет почтоведения
и географический факультет

1. Невесомыйстержень врашает вокруг горизонтальной оси, перpendикулярной стержню. По разные стороны от оси на расстояниях $l_1=1$ м и $l_2=2$ м от нее на стержне закрепленные грузы. Их массы $m_1=1$ кг и $m_2=2$ кг соответственно. Стержень, первоначально расположенный горизонтально, отпускают без толука. Найдите скорости грузов в тот момент, когда стержень проходит вертикальное положение. Трене отсутствует. Ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$.

2. В цилиндрический сосуд, лежащий на боку на горизонтальной поверхности, начинают медленно ввинуть с открытого конца гладкий поршень. Найдите давление воздуха в сосуд в тот момент, когда сосуд сдинится с места. Масса сосуда вместе с поршнем $m=2$ кг. Площадь поршня $S=6$ см$^2$. Атмосферное давление $p_0=100$ кПа. Коэффициент треня между горизонтальным поверхности и сосудом $\mu=0,3$.

3. Два одинаковых шарика массой $m=0,09$ кг каждый загружены одинаковыми электрическими зарядами и подвешены при помощи непроводящих неевесомых нитей к потолку, как показано на рисунке 11. Какой заряд $q$ должен иметь каждой шарик, чтобы обе нити испытывали одинаковое натяжение? Длины нитей значительно больше размеров шариков. Взаимодействием шариков с потолком пребрежь. Расстояние между шариками $l=0,3$ м, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ Ф/m, ускорение свободного падения $g=10$ м/c$^2$.

4. Два одинаковых волтметра, соединенных последовательно, при подключении к источнику тока показывают напряжение $U_1=4,5$ В каждый. Один волтметр, подключенный к тому же источнику, показывает напряжение $U_2=8$ В. Чему равна ЭДС источника?

5. Световод представляет собой сплошной цилиндр из произочного матрица, показатель преломления которого относительно воздуха $n=1,28$. Луч света падает из воздуха на центр входного торца светового под углом $\beta$ (рис. 12). Определите максимальное значение угла $\beta$, при котором луч будет идти внутри светового, не выходя за его пределы.

Geологический факультет

1. Спутник движется по орбите так, что все время находится над одной и той же точкой экватора на одной и той же высоте. Каково

71

Расстояние такого спутника до центра Земли? Масса Земли $M_3=6 \cdot 10^{24}$ кг, гравиитационная постоянная $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

2. Разность длины двух математических магнитков, расположенных в одном и том же месте Земли, составляет $\Delta l=0,75$ м. Определите длины этих магнитков, если относение их периодов колбаники $T_1/T_2=0,5$.

3. Вычислите работу, которую совершает газ при нагревании от температуры $t_1=20^\circ\text{C}$ до температуры $t_2=100^\circ\text{C}$, если он находится в вертикальном цилиндре, закрытом гладким подвижным поршнем, площадь которого $S=20\text{ cm}^2$, а масса $M=5$ кг. Начальный объем газа $V_0=5$ л, атмосферное давление $p_0=10^5$ Pa.

4. Три точных заряды $q_1=1 \cdot 10^{-6}$ Кл, $q_2=4 \cdot 10^{-6}$ Кл и $q_3=9 \cdot 10^{-6}$ Кл находятся на трех взаимно перpendикулярных прямых, пересекающих в одной точке А. Расстояния от зарядов до точки А равны, соответственному $a_1=1$ см, $a_2=2$ см и $a_3=3$ см. Надите модель направления электрического поля в точке А. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ Ф/м.

5. В некоторой среде распространяется волна. За время, в течение которого частица среды совершает $n=140$ колбаники, волна распространяется на расстояние $l=110$ м. Надите длину волны.

Механико-mатематический факультет

1. Подъемный краан опускает бетонную лиуу с постоянной скоростью $v=1$ м/c. Когда плаита находится на расстоянии $h=4$ м от поверхности земли, с нее упал небольшой камень. Каков промежуток времени между моментами, в которых камень и плаита достигли земли? Ускорение свободного падения $g=10$ м/c², толщиной плиты по сравнению с $h$ пребрежь.

2. Шарик массой $m=100$ г подвешен наниты длиной $l=1$ м. Его приводят в движение так, что обращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, которая находится на расстоянии $l/2$ от точки подвеса. Какую работу нужно совершить для сообщения шарику такого движения?

3. В двух сосудах налиты одинаковые объемы различных жидкостей. Если брусок из пластмассы помещить в первый сосуд, то он плавает в нем, причем сторона бруска, имеющая длину $a$, перpendикулярна поверхности жидкостей, а высота выступающей части равна $h_1$. Если этот брусок помещить во второй сосуд, то высота выступающей части станет $h_2$. Какой будет величина выступающей части, если обжидкость слить в один сосуд? Считать, что жидкость смешивается без изменения суммарного объема.

4. На рисунке 13 показан цикл, совершаемый над идеальным газом, причем $1-2$ изохорный, $2-3$ изобарный процесссы. Температуры газа в точках 1 и 3 равны соответственному $T_1=300$ К и $T_3=400$ К. Найдите температуру газа в точке 2. Масса газа постоянна.

5. Толстостенный сосуд массой $m=1$ кг изготовлен из материалов, удельная тепломкость которого $c=100$ Дж/(кг·К). Сосуд содержит два моля одноатомного газа, объем которого $V=500$ см³ остается неизменным. Система сообщают количество теплоты $Q=300$ Дж. Найдите изменение давления газа. Универсальный газовый постоянную принять равной $R=8\frac{1}{3}$ Дж/(моль·К).

6. Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке $h_1=33$ мм. Плотность жидкости $q=13 \cdot 10^3$ кг/м³. Высота поднятия в такой же трубке, но запаянной на конце, $h=13$ мм. Длина трубки $l=513$ мм, длиной погруженной части можно пребрежь. Найдите атмосферное давление.

7. В схеме, показанной на рисунке 14, источник тока и амператор помещения местами. Какие точки показет амператор в этих двух случаях? $R_1=20$ Ом, $R_2=40$ Ом, $R_3=60$ Ом, $R=10$ В, внутренним сопротивлением источника тока и амператор пребрежь.

8. Конденсатор емкостью $C=100$ мкФ заязается постоянным током через резistor сопротивлением $R=100$ кОм. Через какое время после начала заязаки энергия, запасенная в конденсаторе, становится равной энергии, выделенной в резисторе?

9. Из куска однородной проводки длиной $l$ и сопротивлением $R$ спаяна фигура в виде колба с хордой $AC$, равной диаметру колба (рис. 15). Колыцо помещают в однородное магнитное поле, вектор индекции которого $B$ перpendикулярен плоскости колба. Модуль этого вектора меняется со временем по закону $B=kt$. Найдите выделенную в проводке мощность.

10. Перемещая линзу между экранами и предметом, удается получить два его четких изобравнения — одно размер $l_1=2$ см, а другое — $l_2=8$ см. Каков размер предмет?

Факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Вокруг плаететы, имеющей форму шара радиусом $r$, по круговой орбите движения спутника. Определите радиус орбиты спутника, считая известными условия свободного падения у поверхности плаететы $g$ и период обращения спутника $T$.