Избранные школьные задачи

54

Следствие 2. Композиция трех поворотов тогда и только тогда является тождественным преобразованием, когда она имеет хотя бы одну неподвижную точку и сумма углов повората равна 360° или 720°.

Показем, как свойства композиции поворотов применяются к решению задач.

Задача. На сторонах BC и CA треугольника ABC все его построены равносторонние треугольники BCN и CAP. Найдите углы треугольника MON, где M — середина стороны AB и O — центр треугольника CAP.

Решение. Для определения системы считать, что треугольник ABC ориентирован положительно. Произведем последовательно три повората с центрами O, N, M на углы

Избранные школьные задачи

Восмой класс

1. Решите в целях числа уравнения
   $$1+x+x^2+x^3=2^y.$$

2. Решите систему уравнений
   $$x_1x_2x_3=1,$$
   $$x_2x_3x_4=-1,$$
   $$x_3x_4x_5=1,$$
   $$x_{10}x_1x_2=-1.$$

3. По окружности выписаны 30 чисел, каждое из которых равно modulo разности двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. Сумма всех чисел равна 20. Найдите эти числа.

4. Докажите, что в круге радиусом 1 нельзя выбрать более пяты точек, попарные расстояния между которых больше 1.

5. На встрече собрать все участки двух туристических походов. Некоторые из них были в обоих походах, неокторы — только в одном из них. В первом походе было 60% мужчин, во втором — 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женши.

Девятый класс

6. Дана функция $p(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$. Найдите сумму
   $$p\left(\frac{1}{1}\right)+p\left(\frac{2}{1}\right)+...+p\left(\frac{100}{1}\right)+$$
   $$+p\left(\frac{1}{2}\right)+p\left(\frac{2}{2}\right)+...+p\left(\frac{100}{2}\right)+$$
   $$+p\left(\frac{1}{100}\right)+p\left(\frac{2}{100}\right)+...+p\left(\frac{100}{100}\right).$$

7. Докажите, что среди чисел вида $\frac{k(k+1)}{2}$ бесконечно много точных квадратов.

8. Найдите отношение стороны треугольника, одна из медиан которого делится впискной окружностью на три равные части.

9. Пусть MA и MB — касательные к окружности, C — точка ограничиваемого этой окружностью круга, лежащая на дуге AB окружности с центром M. Докажите, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с данной окружностью диаметрально противоположны.

10. Дан равносторонний треугольник ABC. Найдите геометрическое место таких точек M, что треугольники AMB и BMC равноведенные.

Десятий класс

11. Пусть a, b, c — положительные числа. Докажите, что
    $$(a^a b^b c^c)^2 \geq a^b+c^b+c^a+b^a.$$

12. Пусть a, b, c, d — произвольные числа, сумма которых равна 1. Докажите, что
    $$a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2bc-2cd-2da \geq -\frac{1}{4}.$$

13. Докажите, что если одна из высот терраэра пересекает две другие высоты, то все четыре высоты пересекаются в одной точке.

14. Может ли на каждом ребре терраэра поставить стрелку так, чтобы сумма шести положительных векторов равна 0?

15. Докажите, что:
    a) числа $tg^2 20^\circ, tg^2 40^\circ, tg^2 80^\circ$ являются корнями уравнения $x^3-33x^2+27x-3=0$;
    b) $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}+\frac{1}{\cos^2 40^\circ}+\frac{1}{\cos^2 60^\circ}+\frac{1}{\cos^2 80^\circ}=40$.
    Публикацию подготовил Л. Д. Курляндчик