Статика

62

Стапика

А. Р. ЗИЛЬБЕРМАН

В задачах этого раздела исследуют условия равновесия тел. Объчно эти условия используют для нахождения сил в исследуемой системе.

Напомним условия равновесия тела: сумма сил, действующих на тело со стороны других тел, должна быть равна нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки тоже должна быть нулевой.

Тут сразу может возникнуть вопрос: не получим ли мы сколько угодно равновесий, приравнивая нулю суммы моментов сил относительно различных точек, т. е. не получится ли равенний больше, чем неизвестных? Оказывается, основанный для бесконечства нет — у системы丝, сумма которых равна нулю (а мы имеем дело раз с таким) суммарный момент оди- наков относительно любой точки, так что «лишних» уравнения не будут.*)

Для начала разберем совсем простую задачу.

Задача 1. Прямая балка длиной $L=1$ м и массой $M=200$ кг подвешена за концы на вертикальное натяжных трехах (рис. 1). Найдите их натяжения, если центр тяжести балки находится на расстоянии $L_1=0,3$ м от одной из ее концов.

Ясно, что если тросы целы, то балка находится в равновесии. Запишем уравнение для силы:

$$T_1 + T_2 - Mg = 0.$$ (1)

Незвестных величины две — $T_1$ и $T_2$. Значит, нужно еще одно уравнение. Его мы получим, записав уравнение для моментов丝. Momentы можно быть относительно любой точки — выберем эту точку так, чтобы уравнение системы уравнений.

*) Подробнее об этом можно прочитать в заметке «Равноведействующая — как ее найти?», опубликованной в 11—12 номере журнала за прошленный год.

63

Удобно взять ее на продолжении линия действия одной (а если получится, то и нескольких) из неизвестных сил. В нашем случае можно взять один из концов балки — направер, левый:
$$MgL_1 - T_1L = 0.$$

Решая систему уравнения (1) и (2), получим
$$T_1 = Mg(L - L_1)/L = 1,4 \cdot 10^3\text{H},$$
$$T_2 = MgL_1/L = 0,6 \cdot 10^3\text{H}.$$

Обратите внимание: вместо уравнения (1) можно было взять уравнение моментов относительно другого конца балки, тогда ответы можно было бы записать сразу. Попробуйте сами обосновать возможность такого выбора уравнения.

И еще одно замечание: если тросы растянулись совсем немного, то балка практически останется горизонтальной, и, значит, нашей решения остется в силу. Раз так, то мы вообше вправе пребегатель растяжением тросов (т. е. можно считать их нерастяимыми). Однако бывают, что даже очень небольшие деформации могут привести к существенному перераспределению сил в системе, тогда деформации уже нельзя пребегать. Такие случаи распознавать нетрудно, пример такой системы мы рассмотрим позже.

Задча 2. Откидывающая часть окна (фрагмуа) может поворачивать вокруг горизонтальной оси O (рис. 2). Фрагмуа прикрыта и удерживает горизонтальное натяжной веревкой, составляя угол а с вертикально. Точка закрепления веревки находится на расстоянии L от оси, центр тяжеста фрагмуи — на расстоянии L₁. Масса фрагмуи M. Найдите величины и направление силы реакции в оси.

Проще всего найти проекти сил реакции Q₁ и Q₂. Для них выполняются равенства:
$$Q_1 - Mg = 0, \quad Q_2 - T = 0.$$
Остается найти трос T. Запишем уравнение моментов относительно оси O:
$$TL\cos\alpha - MgL_1\sin\alpha = 0,$$
откуда
$$T = Mg \frac{L_1tg\alpha}{L}.$$
Тогда
$$Q_1 = Mg, \quad Q_2 = Mg \frac{L_1tg\alpha}{L}.$$
Собственно, мы решили задачу — нашли проекти искомой силы Q. Но ее направление можно было указать с самого начала: она должна «смотреть» в точку пересечения линии действия сил $\vec{T}$ и $\vec{Mg}$ (рис. 3). В самом деле, относительно этой точки ни сила $\vec{T}$, ни сила $\vec{Mg}$ моментов не создают, значит, и оставшаяся сила $\vec{Q}$ при равенстве должны направлена туда же.

Обратите внимание на то, что сила реакции в оси не направлена вдоль фрагмуи. Это связано с тем, что у фрагму есть вес. Для неевесомого стержня, закрепленного шарнироно на концах, силы в осях будут направлены вдоль стержня (если не прикладываются к стержню дополнительных сил, кроме сил в осях).

Задча 3. Треугольник с углами 30° и 60° составлен из легких жестких стержней, скрепленных на концах с помощью шарниров. Груз массой M=2 кг подвешен так, как показано на рисунке 4. Найдите деформации стержней. Площади сечения стержней S=0,5 см²,_modуль упруости E=5 \cdot 10^6 \text{H/m}^2. Длина большого стержня L=0,2 м. Изгибом стержней пребегчь.

65

Уравнение сил и моментов:
$$T_1 + T_2 + T_3 = Mg,$$
$$Mg L_1 - T_2 \frac{L}{2} - T_3 L = 0.$$

Считая деформации упругими, запишем:
$$T_1: T_2: T_3 = \Delta l_1: \Delta l_2: \Delta l_3.$$

Послене уравнение дополняет условия равновесия, которые явно не достаточно для решения этой задачи (такие системы называют статическими не определенными, имея в виду необходимость дополнительных уравнений). Тепер получилась система:
$$\begin{cases} T_1 + T_2 + T_3 = Mg, \\ T_2 + 2T_3 = 2Mg \frac{L}{L}, \\ 2T_2 = T_1 + T_3. \end{cases}$$

Отсюда находится
$$T_1 = Mg \left( \frac{5}{6} - \frac{L_1}{L} \right) = \frac{8}{15} Mg,$$
$$T_2 = \frac{1}{3} Mg,$$
$$T_3 = Mg \left( \frac{L_1}{L} - \frac{1}{6} \right) = \frac{2}{15} Mg.$$

Это и есть общанный выше пример: если тросы нерастятмы, то достаточно взять средний чут длине — и вся нагрузка лежет на крайние, а если будет чут короче, исчезнет нагрузка на правый трос. Понятно, что в этой задаче пренебречь растяжимость тросов нельзя. Но даже если мы забили об этом, задача сама наполнила бы нам — нехваткой уравнения.

Уравнения статики очень удобны; может быть, именно поэтому их порей применют даже там, где равновесия нет (а значит, применять их нельзя). Широко известна, например, задача про величинеста, который едет по кругу, и требуется найти угол, на которой величинест дол-

жен наклониться, чтобы не упасть (эта задача есть во многих задачиках, в том числе и в школьном задачике — в издании 1983 года ее номер 279). Ответ там приведен, конечно, правильный, а вот как ее правильно решать?

В качестве решения обычно приводят такие рассуждения. Сила реакции, составляющих которого являются нормальная реакция $N$ и сила треня $F_{tr}$, должны быть направлена вдоль тела так, чтобы проходить через центр тяжестеки, иначе величине историется. Понятно, что это рассуждение — просто пересказанное словами уравнение моментов относительно центра масс. Но ведь равновесия нет, сумма сил нулю не равна, почему же мы получаемся уравнению моментов?

Оказывается, что в тех случаях, когда тело покoitся относительно движущейся сускорением системы отсчета (как в этом случае), уравнение моментов записывается можно, но только относительно единственной точки — центра масс. Обоснование этого «рецепта приготовления решения» выходит за рамки школьной программы (но имеет относение к разделу «Нейнерциальные системы отсчета»). Простим автором задачиков, где помещена эта и подобные ей задачи, невинное желаниество — теперь мы знаем, как поступать в подобных случаях.

Упражнения

1. Жесткая система состоит из одинаковых легких стержней, скрепленных шарниро (рис. 9). Найдите натяжение стержней 1, 2, 3 и 4. Сжать эти стержни или растуты?
2. Лестница-стремянка состоит из двух половин, скрепленных сверху шарниро (рис. 10). Масса одной половины $M_1$, другой — $M_2$. Стремянку раскрывают на угол $\alpha$ и ставят на пол, а чтобы она не «развезлалась», связываются ввервкой нижние концы лестниц-половинок. Найдите натяжение вервки. Пол гладкий.