Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

66

Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{1}-\cos 2x=\sin 2x.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{5x-4}4^{-x}>0.$$
3. Trong hình bình hành bissertis PQRS, góc tại đỉnh P bằng 80° cắt cạnh RS tại điểm L. Tìm bán kính của đường tròn tiếp xúc với đoạn PQ và các tia QR và PL, nếu biết PQ = 7.
4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng arccos $$\frac{\sqrt{35}}{10}$$. Điểm E và F lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD, đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB và CD. Tìm góc ACB biết AB=2√5, CD=2√7 và EF=√13.
5. Hai tay đua mô tô xuất phát riêng biệt ở cùng một điểm trong cuộc đua 30 vòng, với người thứ hai xuất phát khi người thứ nhất đi được nửa chặng đường. Một trong những khán giả bước ra với 站iona khi người lái xe ô tô ở gần đó. Khi anh quay lại 4 phút sau, người lái xe máy lại ở đó. Nếu người lái xe cơ giới thứ nhất tăng tốc độ lên 4 lần sau 14 vòng quay và người lái xe cơ giới thứ hai tăng tốc độ lên 2 lần sau 12 vòng quay thì họ sẽ về đích cùng lúc. Xác định xem người đi xe máy đã đi được bao nhiêu giờ, nếu người đến trước đi được hơn 5 vòng trong một phút.
6. Tìm tất cả các giá trị của a mà hệ thống
   $$\sin x \cdot \sin y=\frac{1}{z^2},$$
   $$\cos x \cdot \cos y=\frac{(x+y)^2}{(a-\pi)^2},$$
   $$\sin(x-y)=\frac{2(x+y)}{(a-\pi)z}$$
   có một lời giải thỏa mãn điều kiện 0<y<br />$\frac{\pi}{2}$ và z>0.
   Tùy chọn 2
   (Khoa Toán tính toán và Kubernetics)
7. Tìm tổng của số hạng thứ hai mươi đầu tiên của một cấp số cộng nếu biết tổng của số hạng thứ ba, thứ bảy, thứ mười bốn và thứ tư

số hạng thứ mười bảy của tiến trình này bằng 10.
2. Giải phương trình
$$\cos 7x+\cos x=2\cos 3x(\sin 2x-1).$$
3. Cạnh huyền AB của tam giác vuông ABC là dây cung của đường tròn bán kính 10. Đỉnh C nằm trên đường kính của đường tròn, song song với cạnh huyền. Góc CAB là 75°. Tìm diện tích tam giác ABC.
4. Giải bất đẳng thức
$$8^x\geq 6 \cdot 9^{x-1}.$$
5. Tìm tất cả các giá trị của tham số a mà phương trình
$$((2x+a)\sqrt{22a-4a^2}-24-2(x^2+x)\lg a)\times \lg \left(\frac{36a-9a^2}{35}\right)=0$$
có ít nhất hai nghiệm, một nghiệm không âm và nghiệm kia không vượt quá -1.
6. Một hình cầu có tâm tại điểm O được cắt bởi mặt phẳng π. Bên trong quả cầu có ba quả bóng, hai trong số đó có cùng bán kính và quả thứ ba nhỏ hơn bán kính. Mỗi quả bóng chạm vào hai quả bóng khác, mặt phẳng π và quả cầu. Biết rằng sin góc giữa mặt phẳng đi qua tâm các quả cầu và mặt phẳng π bằng 1/√5, cosin góc giữa bán kính của các quả cầu nhỏ hơn và lớn hơn vẽ tới các điểm tiếp xúc với quả cầu bằng 4/5. Khoảng cách từ tâm quả bóng nhỏ đến điểm O là 15. Tìm khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng π nếu biết nó lớn hơn 14.
Tùy chọn 3
(Khoa Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\cos 2x+8\sin x=3.$$
2. Trong một tam giác vuông, độ lớn của góc nhọn là a và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác này bằng R. Tìm độ dài đường cao của tam giác hạ xuống cạnh huyền.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{4-6x-x^2}=x+4.$$
4. Trong hình bình hành ABCD, góc bissertis BAD cắt cạnh CD tại điểm M sao cho DM/MC=2. Biết góc CAM bằng a. Tìm góc BAD.
5. Tại giá trị nào của a thì hệ thống
   $$\begin{cases} axy+x-y+\frac{3}{2}=0, \\ x+2y+xy+1=0 \end{cases}$$
   có một lời giải?
6. Trong tam giác paramid SABC (S là đỉnh), góc ACB vuông, AC=3, BC=4, SC=√38. Các mặt bên của paramid nghiêng bằng nhau so với đáy ABC. Một hình trụ nội tiếp trong paramid, diện tích xung quanh của nó là 8π/3. Đáy dưới của hình trụ nằm trong mặt phẳng của đáy paramid và đường tròn của đáy trên có đúng một điểm chung với mỗi mặt bên của paramid. Tìm bán kính đáy của hình trụ.

67

Tùy chọn 4
(khoa hóa học)

1. Giải phương trình
   $$2\log_7(x-2) = \log_7(x-10)^2 - 2.$$

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2} \cos x = \sqrt{-3} \sqrt{3} \sin x - 4.$$

3. Tìm một điểm trong đồ thị của hàm $y = 1 - 2x^2$ gần với điểm $(1; \frac{3}{4})$.

4. Một tam giác $ABC$ có độ dài cạnh $BC$ bằng 11 được nội tiếp một đường tròn tiếp xúc với cạnh $AB$ tại điểm $D$. Được biết, độ dài của đoạn $AC$ bằng độ dài của đoạn $CD$ và cosin của góc $BAC$ bằng $\frac{1}{6}$. Tìm độ dài cạnh $AC$.

5. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hệ phương trình tương đương
   $$\begin{cases} ax + 3y = 6a - 4, \\ x + y = 2a \end{cases}$$
   Và
   $$\begin{cases} x^2 - 2y^4 - 6x + 8 = 0, \\ x^2 + y^2 - (2a+4)x + 2(a^2 + a + 2) = 0. \end{cases}$$

Tùy chọn 5
(Khoa Blues)

1. Tìm nghiệm dương có tên của phương trình
   $$6\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + 1 = 0.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$2\log_2 3 + \log_2 \left(3^x - 1 - \frac{1}{9}\right) < \log_2 2 6.$$

3. Hai máy xúc có công suất khác nhau, làm việc với năng suất không đổi, đã đào một cái hố có thể tích cho trước trong 2 giờ 24 phút. Máy thứ nhất làm một mình thì hoàn thành công việc nhanh hơn máy thứ hai 2 giờ. Tìm thời gian để đào được chiếc máy xúc thứ hai, làm việc một mình.

4. Diện tích của tam giác $ABC$ là $2\sqrt{3} - 3$ và góc $BAC$ là $60^\circ$. Bán kính của hình tròn tiếp xúc với cạnh $AC$ và kéo dài sang các cạnh $BA$ và $BC$ là $\sqrt{3}$. Tìm các góc $ABC$ và $BCA$ của tam giác đã cho.

5. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \left(\sqrt{3} \cos \frac{\pi x}{4} + \sin \frac{\pi(x-2y)}{12}\right) \times \left(\sqrt{11-x^2-y^2}-4x-2y-6\right) = 0, \\ \frac{1}{2} + 2 \sin \frac{\pi x}{12} \cos \frac{\pi y}{6} = 2 \cos \frac{\pi x}{12} \sin \frac{\pi y}{6} + \sin^2 \frac{\pi x}{8}. \end{cases}$$

Tùy chọn 6
(Khoa quân sự)

1. Giải phương trình
   $$3 \sin x - 2 \text{ ctg } x = 0.$$

2. Trên đường kính $MN$ của hình tròn, điểm $R$ lệch và dây $PQ$ được vẽ qua đó. Được biết, các góc $MNP$ và $NPR$ lần lượt là $60^\circ$ và $13^\circ$ và độ dài $PR$ là 3. Tìm đường kính của hình tròn.

3. Giải phương trình
   $$5 \cdot 4^x - 11 \cdot 6^x + 2 \cdot 9^x = 0.$$

4. Hai loại thức ăn chăn nuôi - A và B - khác nhau về hàm lượng protein, chất béo và carbohydrate. Trong thức ăn A có lượng protein nhiều hơn 5/3 lần và lượng carbohydrate ít hơn 1,5 lần so với chất béo. Thức ăn B chứa lượng protein và carbohydrate ít hơn 7/2 lần so với chất béo. Có thể trộn thức ăn A và B để tạo ra một loại thức ăn chứa lượng protein nhiều hơn 1,5 lần và lượng carbohydrate gấp 5 lần so với chất béo?

5. Ở giá trị nào của tham số $p$ của hệ thống
   $$\begin{cases} x^2 + 2px + 4p^2 - 5p + 3 \geq 4\sin y - 3\cos y, \\ 0 \leq y \leq 2\pi \end{cases}$$ có một lời giải không?

Tùy chọn 7
(Khoa Zeodraphic)

1. Tìm miền xác định của hàm
   $$y = \log_2 x (x^2 + x - 2).$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$2\log_2 3 + \log_2 \left(3^x - 1 - \frac{1}{9}\right) < \log_2 2 6.$$

3. Từ điểm $A$ đến điểm $C$, cách $A$ 80 km, một chiếc xe máy bay ra. Về phía anh ta và đồng thời với anh ta, một người đi xe đạp đi ra khỏi điểm $B$, nằm giữa $A$ và $C$ ở khoảng cách 5 km từ $C$, và một chiếc ô tô đi ra khỏi điểm $C$. Mất bao lâu để người đi xe máy và người đi xe máy gặp nhau, nếu biết rằng điều này xảy ra 20 phút sau khi ô tô đuổi kịp người đi xe máy, và người đi xe máy, trước khi gặp ô tô, đã dành thời gian trên đường gấp đôi người đi xe đạp trước khi bị ô tô vượt qua?

4. Paramid tam giác $ABCD$ cắt mặt phẳng $P$ dọc theo tứ giác $EFGH$ sao cho các đỉnh $E$ và $F$ nằm trên các cạnh $AB$ và $AC$. Tỷ lệ giữa các cạnh $EF$ và $EH$ bằng 3. Biết rằng mặt phẳng $P$ song song với các cạnh đối diện $AD$ và $BC$, tỷ lệ của các cạnh đối diện là $\frac{1}{3}$. Tìm mối quan hệ trong đó điểm $E$ chia cạnh $AB$.

5. Chứng minh rằng với mọi $x > 0$ bất đẳng thức
   $$x^2 + x + 4\pi \cos x > 0.$$

Tùy chọn 8
(Khoa Zeodraphic)

1. Giải phương trình
   $$(x - 2)(|x| + \sqrt{3} - 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.$$

2. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$(x^2 + 8x + 15)\sqrt{x + 4} \geq 0.$$

3. Giải phương trình
   $$(2x^2 - 5x + 2)(\log_2 x (18x) + 1) = 0.$$

4. Điểm $O$ nằm trên đoạn $AB$ nên $AO = 13, OB = 7$. Một đường tròn có bán kính 5 được vẽ có tâm ở $O$. Các tiếp tuyến được vẽ với nó từ $A$ và $B$, giao nhau tại điểm $M$ và các điểm tiếp tuyến nằm về một phía của đường thẳng $AB$. Tìm bán kính làm tròn $AMB$.

được gia cố hai khối lượng chính xác giống hệt nhau (hình 1). Tại thời điểm ban đầu, vòng sẽ tích lũy. Tâm của vòng sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu khi nó đi qua quãng đường l? Gia tốc trọng trường g, khối lượng của vòng nhỏ hơn nhiều so với khối lượng chính xác, góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời là a. Vòng không bị biến dạng. Bỏ qua tác dụng lên chuyển động.

2. Một tam giác vuông có góc nhọn 30° được cắt từ một tấm đồng nhất. Tam giác này được cố định tại một điểm bằng cách sử dụng một trục đi qua một góc nhọn (hình 2). Lực tối thiểu cần tác dụng thêm vào tam giác này là bao nhiêu để giữ nó ở vị trí như trong hình với các đường liền nét? Khối lượng của tam giác là M, gia tốc trọng trường là g.

3. Một loại khí lý tưởng hoạt động bằng cách thay đổi trạng thái của nó trong một chu trình kín gồm hai lối ra và hai đường đẳng nhiệt (hình 3). Ở trạng thái ban đầu, biểu thị bằng điểm 1, nhiệt độ khí T₁; ở trạng thái được biểu thị bằng điểm 2, nhiệt độ khí là T₂; cùng nhiệt độ ở trạng thái được biểu thị ở điểm 4. Khối lượng khí m, khối lượng mol M. Khí thực hiện bao nhiêu công trong một chu trình?

4. Một chiếc đĩa chứa m=1g nước được đặt trong một bình có thể tích V=10 dm³. Sau đó, bình nhiệt được đóng lại và để ở nhiệt độ t=20 °C, tại đó áp suất hơi bão hòa của nước p=2,33 kPa. Phần nào của nước sẽ bay hơi? Bỏ qua thể tích của đĩa, R=8,31 ​​J/(mol K), Mₐ=0,018 kg/mol.

5. Hai tấm kim loại A và B đặt cách nhau một khoảng d=10 mm. Giữa chúng, cách tấm A một khoảng d₁=2 mm có một tấm kim loại C có độ dày h=2 mm (hình 4). Tìm điện thế của tấm này nếu điện thế của tấm A và B lần lượt bằng nhau, φₐ=50 V và φₐ=-60 V. Điện trường giữa hai tấm được coi là đều.

6. Điện tích trên các bản tụ điện trong mạch ở hình hình 5 sẽ thay đổi bao nhiêu nếu một điện trở có điện trở R được mắc giữa hai điểm A và B? Emf của nguồn, điện dung của tụ điện và điện trở của các điện trở thể hiện trên sơ đồ đã biết. Bỏ qua điện trở trong của nguồn.

7. Khung hình vuông có dòng điện có thể quay quanh trục ngang OO₁ (hình 6). Khung được kết nối với một lò xo. Khi khung quay một góc α so với vị trí nằm ngang ban đầu, một mô men của lực lò xo tỉ lệ với góc α tác dụng lên khung. Khung nằm trong một từ trường đều hướng thẳng đứng. Nếu dòng điện I₁=0,1 A chạy qua khung thì khung được lắp ở vị trí α=30°. Với dòng điện nào thì góc lệch sẽ bằng α₂=90°?

8. Một chùm ánh sáng hẹp chiếu xuống mặt nước nằm ngang một góc α (hình 7). Gương phải được đặt trong nước một góc tối thiểu như thế nào so với mặt nước để tia phản xạ từ gương không thể thoát khỏi nước ra không khí? Chiết suất của nước n.

9. Một tia sáng (hình 8) sẽ rơi xuống mặt phẳng của nửa quả cầu thủy tinh, vuông góc với bề mặt đó. Khoảng cách giữa chùm tia và trục OO₁ bằng a. Tia này khúc xạ trên bề mặt hình cầu ở khoảng cách bao nhiêu sẽ cắt trục OO₁? Chiết suất của thủy tinh là n, bán kính hình cầu là R, a<R/n.

10. Khi sử dụng một thấu kính mỏng, ảnh thật của một vật phẳng được phóng đại gấp đôi. Nếu vật đặt cách thấu kính l = 1 cm thì ảnh sẽ được phóng đại gấp 3 lần. Tiêu cự của thấu kính là bao nhiêu?

Khoa Hóa học

1. Một vật nhỏ trượt không vận tốc ban đầu từ một mặt phẳng nghiêng có độ cao H và va vào một bức tường vuông góc với mặt phẳng nghiêng (hình 9). Sau đó vật đi lên theo mặt phẳng nghiêng đến độ cao h=H/2. Góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời là a=45°. Giả sử va chạm là đàn hồi tuyệt đối, hãy xác định hệ số 3 giữa vật và mặt phẳng. Sau khi va chạm, cơ thể chuyển động về phía trước.

70

2. Một quả cầu đồng chất có khối lượng $m=60$ g nằm dưới đáy một chiếc cốc rỗng. Người ta rót chất lỏng vào cốc sao cho thể tích của phần quả cầu nhúng trong chất lỏng nhỏ hơn thể tích của nó $k=6$ lần. Mật độ của chất lỏng gấp $n=3$ lần mật độ vật liệu của quả bóng. Tìm lực ép của quả bóng lên đáy cốc. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$.

3. Khí oxy có trọng lượng $m=3,2$ kg được đựng trong một hình trụ thẳng đứng dưới pít-tông ở nhiệt độ $t_1=22$ °C. Sau khi truyền một lượng nhiệt cho oxy $Q=9 \cdot 10^3$ J, nhiệt độ của nó trở thành $t_2=27$ °C. Xác định lượng nhiệt cần thiết để tăng nội năng của oxi. Khối lượng mol của oxy là $M=32$ kg/kmol, hằng số khí phổ quát là $R=8,31 \times 10^3$ J/(kmol·K). Không có ma sát giữa thành xi lanh và piston. Bỏ qua sự thay đổi mật độ oxi ở độ cao.

4. Một quả cầu có khối lượng $m=2$ g, mang điện tích $Q=10,5 \cdot 10^{-9}$ C, có thể quay trong mặt phẳng thẳng đứng trên một sợi dây không dẫn điện, không trọng lượng và không hòa tan dài $l=50$ cm. Quả cầu thứ hai có cùng điện tích được cố định ở tâm quay. Quả bóng ở vị trí thấp hơn phải truyền tốc độ ngang nhỏ nhất bằng bao nhiêu để nó có thể quay hết một vòng? Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$, hằng số điện $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/m. Bỏ qua kích thước của bi so với chiều dài của sợi dây.

5. Một ampe kế nối với phần mạch như hình hình 10 hiển thị dòng điện $I_1=0,5$ A. Tìm dòng điện qua điện trở $R_4$. Phối hợp điện trở: $R_1=R_4=2$ Ohm, $R_2=4$ Ohm, $R_3=R_5=1$ Ohm. Bỏ qua sự tương ứng của ampe kế.

Khoa Khoa học Bưu chính
và Khoa Địa lý

1. Một thanh không trọng lượng quay quanh một trục nằm ngang vuông góc với thanh. Ở hai phía đối diện của trục cách nó $l_1=1$ m và $l_2=2$ m có các vật nặng được gắn vào thanh. Khối lượng của chúng lần lượt là $m_1=1$ kg và $m_2=2$ kg. Thanh ban đầu được đặt nằm ngang, sau đó được thả ra mà không có toluka. Tìm vận tốc của vật tại thời điểm thanh đi qua vị trí thẳng đứng. Không có đào tạo. Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s$^2$.

2. Một piston trơn được vặn từ từ vào một bình hình trụ nằm nghiêng trên bề mặt nằm ngang tính từ đầu hở. Tìm áp suất không khí trong bình tại thời điểm bình chuyển động. Khối lượng của bình cùng với pít-tông là $m=2$ kg. Diện tích pít-tông $S=6$ cm$^2$. Áp suất khí quyển $p_0=100$ kPa. Hệ số ma sát giữa mặt ngang và bình là $\mu=0,3$.

3. Hai quả bóng giống hệt nhau có khối lượng $m=0,09$ kg, mỗi quả được mang điện tích giống nhau và được treo bằng những sợi dây không trọng lượng không dẫn điện từ trần nhà, như minh họa trong hình 11. Mỗi quả bóng phải mang điện tích gì $q$ để cả hai sợi dây chịu cùng một lực căng? Chiều dài của sợi chỉ lớn hơn nhiều so với kích thước của quả bóng. Bỏ qua tương tác của quả cầu với trần nhà. Khoảng cách giữa các quả bóng là $l=0,3$ m, hằng số điện là $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ Ф/m, gia tốc rơi tự do là $g=10$ m/s$^2$.

4. Hai vôn kế giống hệt nhau mắc nối tiếp, khi nối với nguồn dòng điện, mỗi vôn kế có điện áp $U_1=4,5$ V. Một vôn kế nối với cùng một nguồn cho thấy điện áp $U_2=8$ V. suất điện động của nguồn là bao nhiêu?

5. Vật dẫn ánh sáng là một hình trụ đặc được tạo thành từ một ma trận ngẫu nhiên, chiết suất của nó so với không khí là $n=1,28$. Một chùm ánh sáng rơi từ không khí vào tâm của đầu vào ánh sáng theo một góc $\beta$ (hình 12). Xác định giá trị lớn nhất của góc $\beta$ tại đó chùm tia sẽ đi vào bên trong ánh sáng mà không vượt quá giới hạn của nó.

Khoa Địa chất

1. Vệ tinh di chuyển trên quỹ đạo sao cho nó luôn ở trên cùng một điểm của đường xích đạo ở cùng độ cao. Nó như thế nào

71

Khoảng cách của một vệ tinh như vậy đến tâm Trái đất? Khối lượng trái đất $M_3=6 \cdot 10^{24}$ kg, hằng số hấp dẫn $G=6,67 \cdot 10^{-11}$ N·m²/kg².

2. Độ dài chênh lệch của hai nam châm toán học đặt cùng một chỗ trên Trái đất là $\Delta l=0,75$ m. Xác định độ dài của các nam châm này nếu tỉ số chu kỳ của chúng là $T_1/T_2=0,5$.

3. Tính công mà một chất khí thực hiện khi được nung nóng từ nhiệt độ $t_1=20^\circ\text{C}$ đến nhiệt độ $t_2=100^\circ\text{C}$, nếu nó ở trong một hình trụ thẳng đứng được đóng kín bằng một pít-tông chuyển động trơn, có diện tích là $S=20\text{ cm}^2$ và khối lượng là $M=5$ kg. Thể tích khí ban đầu $V_0=5$ l, áp suất khí quyển $p_0=10^5$ Pa.

4. Ba điện tích chính xác $q_1=1 \cdot 10^{-6}$ Kl, $q_2=4 \cdot 10^{-6}$ Kl và $q_3=9 \cdot 10^{-6}$ Kl nằm trên ba đường thẳng vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm A. Khoảng cách từ các điện tích đến điểm A lần lượt bằng $a_1=1$ cm, $a_2=2$ cm và $a_3=3$ cm. Mô hình hóa hướng của điện trường tại điểm A. Hằng số điện $\varepsilon_0=8,85 \times 10^{-12}$ F/m.

5. Sóng lan truyền trong một môi trường nào đó. Trong thời gian một hạt của môi trường dao động $n=140$, sóng truyền đi một khoảng cách $l=110$ m. Tìm bước sóng.

Khoa Cơ học và Toán học

1. Một cần cẩu hạ thấp một khối bê tông với tốc độ không đổi $v=1$ m/s. Khi bím tóc cách bề mặt trái đất $h=4$ m, một hòn đá nhỏ rơi ra khỏi nó. Khoảng thời gian giữa thời điểm hòn đá và sợi dây tết chạm đất là bao nhiêu? Gia tốc trọng lực $g=10$ m/s², độ dày của tấm không đáng kể so với $h$.

2. Một quả bóng có khối lượng $m=100$ g được treo lơ lửng bởi các nanite dài $l=1$ m. Nó được chuyển động sao cho nó quay thành một vòng tròn nằm trong mặt phẳng nằm ngang, cách điểm treo một khoảng $l/2$. Cần phải thực hiện bao nhiêu công để truyền chuyển động đó cho quả bóng?

3. Hai bình chứa những thể tích bằng nhau của các chất lỏng khác nhau. Nếu đặt một khối nhựa vào bình thứ nhất thì nó nổi trong đó, cạnh của khối có chiều dài $a$ vuông góc với bề mặt chất lỏng và chiều cao của phần nhô ra bằng $h_1$. Nếu khối này được đặt trong bình thứ hai thì chiều cao của phần nhô ra sẽ trở thành $h_2$. Kích thước của phần nhô ra sẽ là bao nhiêu nếu chất lỏng được đổ vào một bình? Giả sử chất lỏng trộn đều mà thể tích tổng không thay đổi.

4. hình 13 cho thấy một chu trình được thực hiện trên một loại khí lý tưởng, với các quá trình đẳng tích $1-2$ và $2-3$ đẳng áp. Nhiệt độ của khí tại điểm 1 và 3 lần lượt bằng $T_1=300$ K và $T_3=400$ K. Tìm nhiệt độ của khí tại điểm 2. Khối lượng của khí không đổi.

5. Một bình có thành dày có khối lượng $m=1$ kg được làm bằng vật liệu có nhiệt dung riêng là $c=100$ J/(kg K). Bình chứa hai mol khí đơn nguyên tử, thể tích $V=500$ cm³ không đổi. Hệ thống báo cáo lượng nhiệt $Q=300$ J. Tìm sự thay đổi áp suất khí. Lấy hằng số khí phổ quát bằng $R=8\frac{1}{3}$ J/(mol K).

6. Chiều cao của chất lỏng dâng lên trong ống mao quản là $h_1=33$ mm. Mật độ chất lỏng $q=13 \cdot 10^3$ kg/m³. Chiều cao nâng trong cùng một ống nhưng được bịt kín ở cuối là $h=13$ mm. Chiều dài của ống là $l=513$ mm, chiều dài của phần ngâm có thể bỏ qua. Tìm áp suất khí quyển.

7. Trong mạch hiển thị ở hình 14, nguồn hiện tại và ampe trong phòng được hoán đổi cho nhau. Amperator sẽ hiển thị những điểm gì trong hai trường hợp này? $R_1=20$ Ohm, $R_2=40$ Ohm, $R_3=60$ Ohm, $R=10$ V, bỏ qua điện trở trong của nguồn dòng và ampe.

8. Một tụ điện có công suất $C=100$ uF được nối với dòng điện một chiều thông qua một điện trở có điện trở $R=100$ kOhm. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu tích điện, năng lượng tích trữ trong tụ điện bằng năng lượng giải phóng trên điện trở?

9. Từ một đoạn dây đồng nhất có chiều dài $l$ và điện trở $R$, một hình dạng bóng đèn có dây $AC$ bằng đường kính của bóng đèn (hình 15) được hàn. Bóng đèn được đặt trong một từ trường đều, vectơ cảm ứng $B$ vuông góc với mặt phẳng của bóng đèn. Mô đun của vectơ này thay đổi theo thời gian theo định luật $B=kt$. Tìm công suất được phân bổ trong hệ thống dây điện.

10. Bằng cách di chuyển thấu kính giữa màn và vật, có thể thu được hai ảnh rõ nét của vật đó - một ảnh có kích thước $l_1=2$ cm và ảnh kia - $l_2=8$ cm. Kích thước của vật thể là bao nhiêu?

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. Xung quanh hành tinh có hình quả bóng có bán kính $r$, vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn. Xác định bán kính quỹ đạo của vệ tinh, giả sử rằng các điều kiện rơi tự do trên bề mặt hành tinh $g$ và chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh $T$ đã biết.