Bài toán 6—10

24

KVANT 2016/№5-6

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xem xét các phương trình tuyến tính khác theo cách diễn giải của mình (x, y là khoảng cách đến hai điểm trên mặt phẳng X và Y)? Ví dụ, hãy xem xét phương trình y = 2x. Có hai điểm trên đường thẳng XY sao cho y = 2x; Hãy gọi những điểm này là U và V sao cho U nằm trên đoạn XY và V nằm trên phần kéo dài của nó. Giả sử A là một điểm tùy ý mà y = 2x, tức là AY = 2AX (hình6).

Hình 8

Hình 6

Vì AY AX = UY UX = 2 nên AU là phân giác của góc XAY. Tương tự, dựa vào tính chất của đường phân giác ngoài, AV là đường phân giác ngoài của góc XAY. Vì $AU \perp AV$ nên A nằm trên đường tròn có đường kính UV. Bằng cách suy luận theo hướng ngược lại, chúng ta có thể chứng minh rằng đường tròn này là tập lời giải của phương trình y = 2x. Tương tự, nghiệm của phương trình y = kx, trong đó k > 0 và $k \ne 1$, cũng là một đường tròn. Nó được gọi là vòng tròn Apollonius.

Bài tập 8*. Cho tam giác XYZ trên mặt phẳng. Chứng minh rằng tâm của các đường tròn Apollonius y = 2x, z = 2y và z = 4x cùng nằm trên một đường thẳng. Gợi ý. Nói chung các đường tròn y = kx, z = ly và z = (kl) x có chung một trục căn. Nếu hai đường thẳng đầu tiên cắt nhau tại hai điểm thì đường thẳng thứ ba cũng đi qua các điểm này.

Hình 9

đường vuông góc - phân giác của hai cặp góc vuông. Các tập xác định các bất đẳng thức y < x và y > x là các cặp góc vuông đứng (hình9). Các đường phân giác của một tam giác chia nó thành các vùng, mỗi vùng được xác định bởi hệ bất đẳng thức riêng từ các biến x, y, z, biểu thị khoảng cách đến các đường chứa các cạnh của tam giác. Nếu bạn tô màu toàn bộ mặt phẳng, xếp bằng các đường phân giác trong và ngoài, theo thứ tự của các biến x, y, z, bạn sẽ có được một chiếc “kính vạn hoa” (hình10) tuyệt đẹp.

Tiếp theo, phương trình x + y = c, trong đó c là hằng số, c > XY, xác định hình elip (hình7,a), phương trình

Hình 7

x – y = c, trong đó $c \ne 0$, |c| < XY, xác định một nhánh của hyperbol (hình7,b). Một phương trình tuyến tính ở bất kỳ dạng nào cũng có thể xác định một đường cong phức tạp hơn.

Khoảng cách đến đường thẳng hoặc mặt phẳng Hãy lấy một góc tùy ý và sử dụng x và y để biểu thị khoảng cách từ một điểm đến các đường thẳng chứa các cạnh của góc. Nếu chúng ta giới hạn ở phần bên trong của góc, thì đẳng thức y = x chỉ định tập hợp các điểm cách đều các cạnh của góc, tức là phân giác (hình8). Bây giờ hãy mở rộng các cạnh của góc (tức là xem xét hai đường thẳng cắt nhau). Khi đó phương trình y = x xác định (trên toàn bộ mặt phẳng) sự kết hợp của hai

Hình 10

Bài tập 9. Chứng minh rằng các đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm theo hai cách: sử dụng tính bắc cầu đẳng thức và “phương pháp Rubanov”.

Nếu thay vì khoảng cách đến các đường thẳng, chúng ta lấy khoảng cách có hướng (tức là khoảng cách được lấy bằng dấu “+” hoặc “-”, tùy thuộc vào nửa mặt phẳng mà điểm nằm so với đường thẳng), thì tất cả

25

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

sẽ gần giống như trong phương pháp tọa độ mà chúng ta đã bắt đầu cuộc trò chuyện: phương trình y = x sẽ xác định một đường thẳng và các bất đẳng thức y < x và y > x sẽ xác định một nửa mặt phẳng.

Bài tập 10. Gọi x và y là khoảng cách định hướng của hai đường thẳng cắt nhau. Chứng minh rằng bất kỳ phương trình tuyến tính nào cũng xác định một đường thẳng và bất đẳng thức tuyến tính xác định một nửa mặt phẳng.

Bây giờ chúng ta hãy đi ra ngoài không gian ba chiều một lần nữa. Hãy xem xét một góc nhị diện và đối với một điểm nằm bên trong nó, chúng ta sẽ sử dụng x và y để biểu thị khoảng cách đến các mặt phẳng của các mặt của nó. Khi đó đẳng thức y = x xác định mặt phẳng phân giác. Đối với một góc tam diện, ba mặt phẳng phân giác có thể được vẽ giữa các cặp mặt, sẽ chia nó thành sáu vùng (góc tam diện), mỗi vùng được xác định bằng thứ tự riêng của các biến x, y, z, trong đó x, y, z là khoảng cách từ điểm nằm bên trong góc tam diện đến các mặt phẳng của các mặt của nó.

Bài tập 11. Chứng minh rằng các mặt phẳng phân giác chia một góc tam diện thành đúng sáu miền.

Chúng ta hãy lấy một góc tam diện có các góc phẳng đều bằng $90^\circ$ và xem xét hệ tọa độ Descartes liên kết với nó (sao cho góc tam diện trùng với quãng tám đầu tiên). Khi đó các mặt phẳng phân giác của góc nhị diện được cho bởi các phương trình x = y, y = z, z = x. Họ chia góc tam giác của chúng ta (octant đầu tiên) thành sáu vùng (góc tam diện), được tính theo tọa độ bởi các bất đẳng thức quen thuộc x < y < z, x < z < y, y < x < z, y < z < < x, z < x < y, z < y < x. Do sự bằng nhau của các biến nên các diện tích này có giá trị bằng nhau. Chúng ta hãy cắt một khối lập phương đơn vị từ quãng tám đầu tiên (được tính theo tọa độ bởi các bất đẳng thức $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$. Các mặt phẳng x = y, y = z, z = x chia khối lập phương của chúng ta thành sáu hình bằng nhau (bằng nhau - một lần nữa do đẳng thức của các biến). Những hình này là các tứ diện bằng nhau. Vì vậy, chúng ta đã có được một phép chia khối lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau. Nếu bạn nhìn khối lập phương theo hướng các đường chéo lớn của nó, thì nó sẽ trông giống như trong hình 11, các mặt phẳng x = y, y = z, z = x được thể hiện bằng đường chấm màu đỏ.

Hình 11

“QUANTA”

Bài tập 12. Chia khối lập phương thành ba hình chóp tứ giác bằng nhau. 13. Các mặt phẳng phân giác của sáu mặt sẽ chia khối tứ diện thành mấy phần? Đáp số: 24.

Lưu ý rằng bài tập cuối cùng và bài toán M2420 rất gần nhau. Thật vậy, cho tứ diện T nội tiếp trong một hình cầu. Vẽ các mặt phẳng tiếp tuyến với hình cầu tại các đỉnh của nó, chúng ta thu được một tứ diện mới $T '$, mà hình cầu này sẽ nội tiếp hoặc ngoại trừ. Khi đó các mặt phẳng—các đường phân giác vuông góc với các cạnh của tứ diện T—sẽ là các mặt phẳng phân giác (trong hoặc ngoài) của các góc nhị diện của tứ diện $T '$.

Bài tập 14. Các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện tạo bởi các cặp mặt kề nhau của hình lập phương chia không gian thành mấy phần? Đáp số: 24. 15. Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm nằm bên trong khối lập phương ABCDA $' B ' C ' D '$ đến các cạnh AB, AC, $AA '$. Các khu vực x < y < z, x < z < y, v.v. là gì?

Khoảng cách đến các bộ tùy ý

Trong phần đầu tiên của bài viết, chúng ta xử lý khoảng cách đến điểm, trong phần thứ hai - khoảng cách đến đường thẳng và mặt phẳng. Một phát biểu tổng quát hơn: cho X, Y, … là các tập hợp tùy ý và x, y, … lần lượt là khoảng cách từ một điểm tùy ý đến các tập hợp X, Y, …. Ở đây, khoảng cách từ điểm M đến tập X có nghĩa là $минимум^{2}$ từ khoảng cách MN, trong đó $N \in X$. Nếu X và Y không phải là những hình kỳ lạ trên mặt phẳng, thì dưới dạng tập hợp lời giải của phương trình y = x, theo quy luật, chúng ta sẽ thu được một số đường cong hoặc một số đường cong và lời giải của các bất đẳng thức y > x và y < x là các vùng mà các đường cong chia mặt phẳng (hình12). Các tập y > x và y < x có thể được gọi là các vùng Voronoi tổng quát, hoặc, theo bài viết nêu trên của N. Dolbilin, “các vùng ảnh hưởng” của các tập X và Y. A. Savin đưa ra một cách giải thích đáng chú ý (xem Hình 12 “Kính vạn hoa «Kvant» Số 4 năm 1994): coi X và Y là lãnh thổ của hai quốc gia mà toàn bộ diện tích đất được phân bổ (do đó, mọi thứ không thuộc về X hoặc Y đều là biển) và đường biên giới trên biển giữa các nước X và Y bắt buộc phải được vẽ một cách công bằng.

2 Tốt hơn nên nói “chính xác vô cùng” thay vì “tối thiểu”, vì không phải lúc nào cũng đạt được mức tối thiểu, ví dụ, nếu X là một hình tròn hoặc một đa giác không có ranh giới.