Bài toán

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Sharik và Matroskin vắt 10 lít sữa, đổ vào hai thùng rồi mang về nhà. Sharik cảm thấy mệt mỏi và đổ một ít sữa trong xô của mình vào xô của Matroskin. Kết quả là sữa của Sharik ít hơn ba lần và của Matroskin – nhiều hơn ba lần. Matroskin có bao nhiêu sữa? Ban giám khảo giải đấu Lomonosov

Malvina dành cả tuần để dạy Pinocchio viết. Cô mô tả trên sơ đồ số lượng bức thư mà Pinocchio đã viết trong bảy ngày. Thanh trên sơ đồ hiển thị số chữ cái trung bình (là 9). Pinocchio xé một mảnh sơ đồ, như thể hiện trong hình. Anh ấy đã viết bao nhiêu lá thư vào ngày chủ nhật? I. Vysotsky, I. Raskina

Thay các chữ cái hình bằng số (tất cả các số phải khác nhau) để phương trình đúng. A. Antropov, T. Kazitsyna

Cắt hình ở hình thành hai phần bằng nhau. E. Bakaev

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8. Những bài toán này đã được cung cấp tại Giải đấu XXXIX Lomonosov.

Minh họa của D. Grishukova

Thật dễ dàng để phủ lên bề mặt của một khối lập phương sáu viên kim cương, cụ thể là sáu hình vuông. Có thể phủ lên bề mặt của một khối lập phương (không có vết nứt hoặc chồng lên nhau) bằng ít hơn sáu hình thoi (không nhất thiết phải giống hệt nhau) không? A. Shapovalov

30

KVANT 2016/№5-6

Tổng cộng có 1000 con gà trống đã bị ăn thịt. Bạn đã ăn bao nhiêu con gà? Thừa nhận thất bại, tôi xin gia hạn đến ngày mai và đến tối tôi nhận nhiệm vụ trong bầu không khí bình tĩnh. Lúc đầu, tôi đã cố gắng, ít nhất là gần đúng, để miêu tả “cây phả hệ” của con gà - và kinh hoàng trước vô số lựa chọn khả thi đã có ở các thế hệ đầu tiên. Trên thực tế, từ chục quả trứng do con gà “gốc” (tức là mua ngoài chợ) đẻ ra, có thể nở từ 0 đến 10 con gà (tuy nhiên, 0 là không thể, vì khi đó cuộc đua gà sẽ kết thúc ở đó, và một nghìn con gà trống sẽ đến từ đâu?). Ở thế hệ thứ hai, phạm vi lựa chọn thậm chí còn rộng hơn… nói chung là bóng tối! Tuy nhiên, để thanh lọc lương tâm của mình, tôi đã vẽ một phần đầu quá trình “điển hình trung bình” nhất định được mô tả trong bài toán, biểu thị những con gà có dấu chấm đậm và quá trình chuyển đổi sang thế hệ tiếp theo - với các phân đoạn hướng xuống như một cái quạt (với chính xác 10 phân đoạn được rút ra từ mỗi con gà). Vì vậy, những phân đoạn chỉ đơn giản là đứt ra mà không tiếp tục cũng chính là những con gà trống đã kết thúc cuộc hành trình sinh tử của chúng trong bụng người khác. Kết quả gần đúng với những gì được hiển thị trong sơ đồ. Có thực sự đúng là số lượng gà cần ăn (với một nghìn con gà trống không đổi) không phụ thuộc vào loại cây? Chà, hãy lấy một ít gỗ, bắt đầu từ bất kỳ con gà nào (và xa hơn nữa), và móc nó vào bất kỳ đầu tự do nào (bất kể thế hệ nào). Đồng thời, chúng ta dường như hoán đổi vị trí của một trong những con gà trống với một loại gà nào đó. Kết quả là tổng số gà trống và gà mái không thay đổi, nhưng cây sẽ trở nên khác nhau nhưng tuân thủ mọi yêu cầu của điều kiện! Hãy kết nối lại lần nữa - chúng ta có được một cây mới có cùng các đặc điểm số. Có lẽ, bằng cách sử dụng những chuyển đổi như vậy, người ta sẽ có thể có được một số cây đơn giản hơn và đếm trực tiếp số lượng gà trong đó? Ví dụ, một cái cây trong mỗi thế hệ, ngoại trừ thế hệ cuối cùng, chính xác

một con gà. Để làm điều này, mỗi lần bạn có thể chọn một thế hệ tùy ý trong đó có ít nhất hai con gà và bất kỳ con gà nào trong số này (cùng với toàn bộ phần đến từ nó) đều có thể được nối lại… à, tất nhiên - đến tận cùng của cây (đến bất kỳ đầu tự do nào ở thế hệ thấp nhất). Khi đó số thế hệ sau mỗi lần ghép đôi sẽ tăng lên. Nhưng nó không thể phát triển vô thời hạn - xét cho cùng, chúng ta chỉ đơn giản là sắp xếp lại các mảnh trong cây cuối cùng. Điều này có nghĩa là quá trình ghép đôi sẽ hoàn tất, tức là vào thời điểm mà ở mỗi thế hệ, ngoại trừ thế hệ đầu tiên và cuối cùng, sẽ có đúng một con gà mái và 9 con gà trống. Điều gì xảy ra? Ngay cả khi không vẽ bất cứ thứ gì, bạn có thể dễ dàng xác định rằng tổng cộng trong tất cả các thế hệ ngoại trừ thế hệ đầu tiên (con gà mái ban đầu) và thế hệ cuối cùng (“mười con gà trống”), 1000 –10 = 990 con gà trống đã được lai tạo, và do đó có 990 thế hệ như vậy: 9 = 110, và cùng với thế hệ cuối cùng, hóa ra 110 + 1 = 111. Nhưng mỗi thế hệ như vậy được tạo ra bởi một con gà mái, nên cũng có số lượng gà giống hệt nhau, tức là 111 bàn thắng. Tất cả! Ngày hôm sau, tôi tự hào tặng đáp số này cho bạn tôi. “Đúng vậy,” anh nói. - Cậu quyết định thế nào? Tôi giải thích, chờ đợi lời khen dành cho người thông minh lời giải khó bài toán. “Nó quá phức tạp,” anh ấy làm tôi chết lặng. – Chúng ta cần quyết định khác đi. Hãy tính số lượng trứng đẻ theo hai cách. Gọi tổng số có x con gà. Một mặt, mỗi con gà đẻ 10 quả trứng và vì có x con gà nên có 10 x quả trứng. Mặt khác, tất cả những con gà, ngoại trừ con đầu tiên (mua ở chợ), đều nở ra từ những quả trứng do cùng một con gà đẻ ra. Do đó, cần x – 1 quả trứng để “sản xuất” gà. Chà, tất cả 1000 con gà trống bị ăn thịt cũng nở ra từ trứng. Tổng cộng, hóa ra là (x – 1) + + 1000 = x + 999 quả trứng đã được đẻ. Vì vậy, chúng tôi xác định số lượng trứng đẻ theo hai cách. Vì đây là cùng một giá trị nên 10x = x + 999. Do đó x = 111, giống như bạn. Tôi phải thừa nhận rằng điều này thực sự trở nên rõ ràng và dễ dàng hơn. Nhưng ai có thể đoán được điều này? Vài ngày sau, tôi không thể cưỡng lại được và đưa ra bài toán tương tự cho một người bạn khác của tôi, hy vọng trước sẽ cười nhạo những nỗ lực vụng về của anh ta. Vậy thì sao? Anh ấy trả lời gần như ngay lập tức và bắt đầu có vẻ giống hệt như vậy: “Hãy có x con gà,” anh ấy nói, nhưng sau đó đột ngột thay đổi nhạc. – Vì mỗi con gà mái sinh ra 10 con chim khác và 1000 con trong số đó là gà trống nên tổng cộng chúng được sinh ra từ trứng