Bài toán M2650—M2653; F2657—F2660

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2650– M2653 đã được đưa ra tại vòng mùa xuân của Giải đấu Thành phố XLII. Bài toán F2657–F2660 đã được đưa ra tại Olympic Vật lý Moscow 2021.

Bài toán M2650–M2653, F2657–F2660 M2650. Với những số tự nhiên nào thì có n số tự nhiên liên tiếp có tích bằng tổng của (có thể khác) n số tự nhiên liên tiếp? B.Frenkin

M2651. Có vài đứa trẻ và một đống 1000 viên kẹo trong phòng. Trẻ lần lượt tiến lại gần cọc. Mỗi người lên chia số kẹo trong đống cho số trẻ trong phòng, làm tròn số (nếu không phải số nguyên), lấy số kẹo thu được rồi rời khỏi phòng. Trong trường hợp này, con trai làm tròn lên và con gái làm tròn xuống. Chứng minh rằng tổng số kẹo các em có khi mọi người ra khỏi phòng không phụ thuộc vào thứ tự các em xếp hàng. M. Didin

M2652. 100 khách du lịch đã đến khách sạn vào ban đêm. Họ biết khách sạn có phòng đơn 1, 2, …, n, trong đó k đang sửa chữa (nhưng không biết phòng nào), còn lại miễn phí. Khách du lịch có thể thỏa thuận trước về hành động của mình, sau đó thay phiên nhau nhận phòng: mọi người kiểm tra phòng theo thứ tự bất kỳ, tìm phòng trống đầu tiên chưa được cải tạo và ở đó qua đêm. Nhưng du khách không muốn làm phiền nhau: họ không thể

tin tưởng vào một căn phòng mà ai đó đã nhận phòng. Với mỗi k, hãy chỉ ra n nhỏ nhất mà tại đó khách du lịch được đảm bảo có thể nhận phòng mà không làm phiền nhau. F.Ivlev

M2653*. Cho p và q là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Con ếch nhảy dọc theo trục số, bắt đầu từ điểm 0. Mỗi lần nó nhảy p sang phải hoặc q sang trái. Một ngày nọ, con ếch trở về 0. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên d p q đều có hai số mà con ếch ghé thăm khác nhau chính xác bởi d. N. Belukhov

F2657. Việc quan sát hành tinh Sao Kim từ Trái đất bị cản trở do nó ở gần Mặt trời trên bầu trời. Góc M (Hình 1) giữa các hướng từ Trái đất (E) đến hành tinh, trong trường hợp này là với Sao Kim (V) và với Mặt trời (S) được gọi là độ giãn dài. Nó ở phía đông và phía tây tùy thuộc vào vị trí của hành tinh trên thiên cầu so với Mặt trời. Sao Kim ở độ ly giác lớn nhất về phía Tây có thể được quan sát trước bình minh và ở độ ly giác phía Đông lớn nhất ngay sau khi mặt trời lặn. Hành tinh $распола-^{Рис.} 1$ được cho là

28

KVAN T 2021/№5

nằm ở phía tây Mặt trời nếu nó xuất hiện trên bầu trời trước nó. Giá trị độ giãn dài cao nhất là khoảng 46,5q, lần cuối cùng các giá trị gần được quan sát là từ ngày 11 đến ngày 14 tháng 8 năm 2020, khi sao Kim có thể nhìn thấy vào lúc bình minh. Quỹ đạo của Trái đất và Sao Kim có thể được coi là hình tròn và nằm trong cùng một mặt phẳng. Tất cả các hành tinh đều quay quanh Mặt trời theo cùng một hướng, Trái đất quay quanh trục của nó theo cùng một hướng. Độ lệch của trục Trái đất so với phương vuông góc với mặt phẳng quay của các hành tinh trong một bài toán cho trước là không đáng kể. 1) Tìm khoảng cách từ Sao Kim đến Mặt Trời nếu khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là 150 triệu km. 2) Chúng ta có thể mong đợi thời điểm thích hợp nhất tiếp theo để quan sát sao Kim là khi nào? A. Dergachev

F2658. Cân thép là một loại cân thủ công để cân các tải trọng nhỏ. Một trong những phương án thiết kế nhà máy thép có thể được nhìn thấy trong Hình 2. Nhà máy thép nằm trong

Cơm. 3

Khi ở trạng thái cân bằng, cánh tay đòn sẽ được đặt nằm ngang. Sử dụng những số liệu này, xác định khối lượng của vật nặng m và khối lượng M của phần còn lại của kết cấu (sân thép không có trọng lượng và tải trọng đang được cân). M.Romashka

F2659. Trên bàn có một chiếc bình hình trụ có thành thẳng đứng, chứa đầy nước khoảng một nửa. Diện tích mặt cắt ngang của bình là $S 400 см^{2}$, ở đáy bình có một khớp nối nối với một ống nằm ngang. Đầu kia của ống được nối với đầu nối “hộp đen”, trong đó có chứa một thiết bị không xác định (Hình 4).

Cơm. 4

Cơm. 2

Nó bao gồm một cánh tay đòn bằng kim loại được gắn trên một cánh tay đòn đối trọng (ở đầu bên trái của cánh tay đòn) và một vật nặng có thể di chuyển được (ở bên phải). Một tải được treo trên một cái móc, khối lượng của nó phải được biết trước và vị trí của vật nặng được chọn sao cho ở trạng thái cân bằng, cánh tay đòn nằm ngang. Số đọc của thước thép thể hiện trong hình là 4 kg. Bên cạnh bãi thép có một cây thước centimet. Được biết, nếu bạn lấy vật nặng ra khỏi sân thép này và treo nó theo trục mà móc được gắn vào, hay nói cách khác là lật nó lại (Hình 3), sau đó vào đúng vị trí.

Thiết bị không xác định hoạt động như sau. Nếu thêm một ít nước vào bình (khoảng 100 g), mức chất lỏng trong bình sẽ giảm (!) so với ban đầu. Nếu sau đó, lượng nước tương tự được múc ra khỏi bình thì mực nước sẽ tăng lên độ cao ban đầu. Đề xuất thiết kế một thiết bị có thể đặt bên trong hộp đen. Vẽ sơ đồ của thiết bị và giải thích ngắn gọn nguyên lý hoạt động của thiết bị. Được biết, thiết kế của thiết bị sử dụng một số thiết bị trong danh sách sau: một bình hình trụ - giống như trên bàn, các sợi không giãn, một lò xo có độ cứng $k^{300}$ N m, một bộ vật nặng có khối lượng khác nhau, một ống cao su có đường kính trong tương ứng với đường kính