Giải đấu thành phố XLII

Thế Vận Hội

Giải đấu thành phố XLII

Bài toán du xuân

Tùy chọn cơ bản

a) $(2)^{100} u^{101}$ ô; b) (4) 100 hay 100 ô?

N. Chernyatyev

lớp 8–9

$1 (4)^{1}$. Tích của 9 số tự nhiên liên tiếp có thể bằng tổng của (có thể khác) 9 số tự nhiên liên tiếp không? B.Frenkin

2 (4). Cho tam giác ABC vẽ các đường cao AX, BZ và các đường phân giác AY, BT. Biết các góc XAY và ZBT bằng nhau. Tam giác ABC có nhất thiết phải cân không? ban giám khảo

3 (4). Tanya có 4 quả cân trông giống hệt nhau, khối lượng lần lượt là 1001, 1002, 1004 và 1005 g (không biết quả cân nào là quả cân nào) và một chiếc cân cốc (cho thấy cốc nào trong hai cốc nặng hơn hoặc có cân bằng nhau). Tanya có thể xác định chính xác trọng lượng nào trong 4 lần cân không? (Lần cân tiếp theo được chọn dựa trên kết quả của những lần trước.)

4. a) (3) Có thể cắt một hình vuông thành 4 hình tam giác cân, trong đó không có hình nào bằng nhau? b) (3) Có thể cắt một tam giác đều thành 4 tam giác cân, trong đó không có tam giác nào bằng nhau? V. Rastorguev

5. Domino nằm trên bàn cờ, thậm chí không chạm vào các góc. Mỗi domino chiếm hai ô vuông liền kề (cạnh nhau) trên bàn cờ. Các ô vuông phía dưới bên trái và phía trên bên phải của bảng là miễn phí. Có phải luôn luôn có thể đi từ ô phía dưới bên trái đến ô phía trên bên phải, chỉ di chuyển lên và sang phải đến các ô liền kề ở bên cạnh và không giẫm lên quân domino, nếu bảng có kích thước

1 Số điểm được trao cho toàn bộ lời giải được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán. Kết quả được tổng hợp cho ba nhiệm vụ đạt được kết quả tốt nhất (điểm của một bài toán được tổng hợp).

lớp 10–11

1. a) (2) Một hình ngũ giác lồi được chia thành ba hình tam giác bởi các đường chéo không cắt nhau. Giao điểm các đường trung tuyến của các tam giác này có thể nằm trên cùng một đường thẳng không? b) (2) Câu hỏi tương tự đối với hình ngũ giác không lồi. A. Gribalko

2. a) (2) Tanya có 4 quả cân trông giống hệt nhau, khối lượng của chúng lần lượt là 1000, 1002, 1004 và 1005 g (không biết quả cân nào là quả cân nào) và một cái cân hình cốc (cho biết cốc nào trong hai cốc nặng hơn hoặc có cân bằng nhau). Tanya có thể xác định chính xác trọng lượng nào trong 4 lần cân không? (Lần cân tiếp theo được chọn dựa trên kết quả của những lần trước.) b) (2) Câu hỏi tương tự, nếu đĩa bên trái nhẹ hơn đĩa bên phải 1 g thì cân bằng nếu khối lượng ở đĩa bên trái lớn hơn đĩa bên phải 1 g. A.Tolpygo

3 (5). Xem bài toán M2650 “Bài toán Kvant”. 4 (5). Như bạn đã biết, một phương trình bậc hai có không quá hai nghiệm. Phương trình ª и $x^{2} º$ ¼ px q 0 cho p z 0 có thể có hơn 100 nghiệm không ( ª и $x^{2} º$ ¼ biểu thị số nguyên lớn nhất không vượt quá $x^{2}$ )? A.Tolpygo

5 (6). Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC, lấy M là trung điểm cạnh AC. Đường thẳng BO cắt các độ cao $AA_{1}$ và $CC_{1}$ lần lượt tại các điểm H a và $H_{c}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BH a A và $BH_{c} C$ cắt nhau lần thứ hai tại điểm K. Chứng minh K nằm trên đường thẳng BM. M. Evdokimov

46

KVANT 2021/№5

Vòng miệng lớp 11

1. Mỗi hàm f x và g x được xác định trên toàn bộ trục số và không hoàn toàn đơn điệu. Phải chăng tổng và hiệu của chúng đều đơn điệu trên toàn bộ trục số? D. Shnol

2. Petya và Vasya lần lượt sơn các cạnh của kim tự tháp N-gonal: Petya – màu đỏ và Vasya – màu xanh lá cây (một cạnh không được sơn hai lần). Petya bắt đầu. Vasya thắng nếu sau khi tất cả các cạnh được tô màu, một đường gãy bao gồm các cạnh màu xanh lá cây dẫn từ bất kỳ đỉnh nào của kim tự tháp đến bất kỳ đỉnh nào khác. Nếu không thì Petya sẽ thắng. Người chơi nào có thể hành động sao cho luôn giành chiến thắng, bất kể đối thủ chơi thế nào? A. Glebov

3. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, T là điểm tiếp tuyến của đường tròn này với cạnh AC. Gọi P và Q lần lượt là trực tâm của các tam giác BAI và BCI. Chứng minh các điểm T, P, Q thẳng hàng. Văn hóa dân gian

Đến “Kính vạn hoa «Kvant»

Những hình ảnh ở trang 32–33 cho thấy các cơ chế do P.L. Chebyshev. 1. Máy phân loại cây trồng. 2. Sắp xếp. 3. Ghế xe tay ga. 4. Máy đo số học. Mô hình đầu tiên. 5. Bộ điều chỉnh ly tâm. 6. Thiên Bình. 7. Xe đạp. 8. Động cơ hơi nước. 9. Truyền bánh răng. 10. Máy phân loại cây trồng. Mô hình sắt. 11. Nhấn. 12. Cơ cấu hành trình biến thiên. 13. Truyền động epicycloid của máy cộng. 14. Cơ chế hoạt động của động cơ hơi nước. 15. Cơ cấu đa liên kết có điểm dừng ở các vị trí cực đoan. 16. Cơ cấu có chốt dẫn động dài ở cuối hành trình của nó.

4. Xem bài toán M2656 “Bài toán Kvant.$^{5.}$ Cảnh sát đã bắt giữ 50 người, trong đó 35 người là tội phạm nói những gì họ muốn và 15 người là nhân chứng luôn nói sự thật. Tất cả những người bị giam giữ đều biết tội phạm là ai. Bạn cần chọn số người nhỏ nhất là bao nhiêu để sau khi hỏi mọi người chính xác tội phạm là ai, bạn có thể tìm ra ít nhất một tên tội phạm trong các câu trả lời? A. Arzhantsev

5. Có một 2021-giác ngoại tiếp mà tất cả các đỉnh và tâm của đường tròn nội tiếp có tọa độ nguyên không? M. Evdokimov

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi E. Bakaev, I. Bogdanov, A. Gribalko, M. Didin, S. Dorichenko, M. Evdokimov, A. Zaslavsky, P. Kozhevnikov, A. Kushnir, E. Liu, M. Malkin, L. Mednikov, V. Retinsky, A. Terteryan, A. Tolpygo, B. Frenkin, I. Frolov

17. Cơ chế có điểm dừng ở vị trí cực đoan. 18. Cơ cấu chuyển chuyển động quay thành chuyển động lắc. 19. Cơ cấu chuyển chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến với chuyển động ngược chiều có gia tốc. 20. Cơ chế nghịch lý. 21. Cơ cấu tạo ra hai chuyển động của thanh dẫn động trong một vòng quay của tay quay. 22. Tay cầm chống xoay sáu liên kết. 23. Cơ cấu dừng liên kết dẫn động nửa chừng. 24. Cơ cấu tay cầm chống xoay với chốt chặn dẫn động. 25. Cơ cấu dẫn hướng theo hình cung tròn.

Trên trang web tcheb.ru, bạn có thể thấy các cơ chế này đang chuyển động.