Phân đoạn bàn đạp: mức tối đa ở đâu?

18

KVAN T 2021/Số 6

Phân đoạn bàn đạp: mức tối đa ở đâu?

M.DIDIN, P.KOZHEVNIKOV

Cho tam giác ABC và một điểm X trên mặt phẳng. Chúng ta ký hiệu hình chiếu của điểm X lên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là $X_{a}, X_{b}, X_{c}$. Như đã biết, các điểm $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ sẽ nằm trên cùng một đường thẳng khi và chỉ khi X nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (trong trường hợp này, đường thẳng $X_{a} X_{b} X_{c}$ được gọi là đường thẳng Simson). Tiếp theo, giả sử X không nằm trên đường tròn (ABC), sau đó vẽ đường tròn đi qua các điểm $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ - gọi là đường tròn bàn đạp của điểm X (Hình 1). Chúng ta biểu thị giao điểm thứ hai của đường tròn $X_{a} X_{b} X_{c}$ với các cạnh của tam giác là $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$. Chúng ta gọi các đoạn bàn đạp của một điểm X là các đoạn $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$. Trong bài viết ngắn này chúng ta sẽ nghiên cứu xem đoạn bàn đạp nào sẽ đạt hiệu suất tối đa

Hình 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210603

chiều dài nhỏ hoặc tối thiểu, tùy thuộc vào vị trí của điểm X. Dựa trên kết quả của nghiên cứu nhỏ này, chúng tôi sẽ xem xét một số trường hợp đặc biệt thú vị và đưa ra lời giải bài toán M2621 từ “Bài toán Kvant (xem «Kvant» số 9 cho năm 2020). Kết quả lời giải của tác giả về bài toán này dựa trên việc tính toán độ dài của các đoạn bàn đạp. Chúng tôi sẽ sử dụng như sau một thực tế nổi tiếng (ví dụ, xem bài viết của P. Kozhevnikov “Điểm liên hợp đẳng giác” trong «Kvant» Số 1 năm 2016): vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB, lần lượt vẽ tại các điểm $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$, sẽ luôn giao nhau tại một điểm Y, điểm X liên hợp đẳng giác, tức là tại điểm Y sao cho các đường thẳng AX và AY đối xứng với phân giác của góc BAC, các đường thẳng BX và BY đối xứng qua các phân giác của góc ABC, các đường thẳng CX và CY đối xứng với các phân giác của góc ACB. Nói cách khác, các điểm X và Y trong xét của chúng ta bằng nhau; chúng có một đường tròn bàn đạp chung. Chúng ta cũng sẽ cấm điểm Y nằm trên đường tròn (ABC) (trong trường hợp này X không được xác định, hoặc như người ta nói “đi đến vô cùng”), ngoại trừ trường hợp X nằm trên một trong các đường thẳng AB, BC, CA. - khi đó đường tròn bàn đạp của điểm X được xác định và đi qua đỉnh của tam giác ABC, và Y trùng với đỉnh này. Ý tưởng chính sẽ như sau. Chúng ta sẽ tìm quỹ tích của các điểm X có hai đoạn bàn đạp bằng nhau; trong trường hợp này, độ dài của các đoạn bàn đạp sẽ chia mặt phẳng thành các vùng. có nghĩa là miễn là X nằm trong một trong các vùng được xác định ở trên thì thứ tự dọc theo chiều dài của các đoạn bàn đạp $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$ sẽ giữ nguyên. Tiếp theo, chúng ta vẽ các đường phân giác trong và ngoài của tam giác để chúng hướng vào;