Olympic Toán học LXXXIV Moscow dành cho học sinh

Ô L I P I A D S

Olympic Toán học LXXXIV Moscow dành cho học sinh

Vào ngày 28 tháng 3 năm 2021, Kỳ thi Olympic Toán học Moscow tiếp theo được tổ chức (đồng thời với phiên bản phức tạp của vòng mùa xuân Giải đấu các thành phố, nhiều bài toán đã được phổ biến). Dưới đây là một số bài toán Olympic (lớp mà nó được tổ chức được ghi trong ngoặc đơn sau số bài toán). Tất cả các điều kiện và lời giải có thể được tìm thấy trên trang web olympiads.mccme.ru mmo.

giao thông một chiều. Bộ trưởng Bộ Đường sắt, một nhân vật phản diện bí mật, đã quyết định tổ chức phong trào theo cách mà khi rời khỏi bất kỳ thành phố nào thì sẽ không thể quay lại đó. Để làm được điều này, hàng ngày, bắt đầu từ ngày 1 tháng 6 năm 2021, anh thay đổi hướng di chuyển trên một trong các con đường. Chứng minh rằng anh ấy có thể đạt được mục tiêu của mình vào năm 2022 (tức là trong 214 ngày). A. Zaslavsky

Đã chọn bài toán 1.(8) Nam tước Munchausen tuyên bố rằng với bất kỳ số có hai chữ số nào, bạn có thể thêm hai chữ số nữa vào bên phải để có được một hình vuông hoàn chỉnh (ví dụ: nếu cho số 10 thì cộng 24 và nhận được $1024 32^{2} ).$ Nam tước có đúng không? M. Evdokimov

6.(9) Các số dương a và b thỏa mãn a b a b. Cái nào lớn hơn: a b hay ab? V. Kleptsyn, A. Gusev

2.(8) Mitya đã mua một chiếc bánh tròn có đường kính 36 cm và 13 ngọn nến mỏng cho ngày sinh nhật của mình. Mitya không thích đặt nến quá gần nên anh muốn đặt chúng cách nhau ít nhất 10 cm. Liệu tất cả những ngọn nến có vừa với chiếc bánh không? D. Mukhin

3.(8) Trong hình ngũ giác đều ABCDE, điểm F được đánh dấu - chính giữa CD. Đường trung trực của AF cắt CE tại điểm H. Chứng minh rằng đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng CE. A. Blinkov

4.(8) Mỗi ​​ngăn trong số 16 ngăn của hộp 4 u 4 chứa một đồng tiền vàng. Người sưu tập nhớ rằng có hai đồng xu nằm cạnh nhau (nằm cạnh nhau) nặng 9 gam, còn lại - 10 gam. Có thể xác định được tổng trọng lượng tính bằng gam của hai đồng tiền này bằng bao nhiêu lần cân trên một chiếc cân cho thấy tổng trọng lượng? M. Evdokimov

5.(8) Ở một bang nọ có 32 thành phố, mỗi thành phố được nối với nhau bằng một con đường với

7.(9) Các ô của tờ giấy hình vuông 8 và 8 được sơn hai màu. Chứng minh rằng Arseny có thể cắt từ nó dọc theo đường lưới hai hình vuông 2 u 2 không có các ô chung cùng màu. (Các màu khác nhau khi xoay được coi là khác nhau.) L. Popov, A. Gusev

8.(10) Viết một số tự nhiên lên bảng. Nếu bạn xóa chữ số cuối cùng (ở vị trí đơn vị), thì vẫn còn một số khác 0, số này sẽ chia hết cho 20 và nếu chữ số đầu tiên chia hết cho 21. Số nhỏ nhất có thể viết được trên bảng là bao nhiêu nếu chữ số thứ hai của nó không bằng 0? M. Evdokimov

9.(10) Cho một hình thang cân, tổng các cạnh của nó bằng cạnh đáy lớn. Chứng minh góc nhọn giữa hai đường chéo không lớn hơn 60q. A. Blinkov

10.(10) Có một dải ca rô vô tận về một hướng, các ô được đánh số bằng số tự nhiên và một túi đựng mười viên đá. Ban đầu không có dải đá nào trong các tế bào. Bạn có thể làm như sau: – di chuyển viên đá từ túi đến ô đầu tiên của dải hoặc quay lại; – nếu có viên đá ở ô số i thì bạn có thể di chuyển viên đá từ túi sang ô số i 1 hoặc ngược lại.