Olympic Vật lý học sinh Moscow 2021

42

KVA NT 2021/№6

Olympic Vật lý học sinh Moscow 2021

Giai đoạn cuối

lớp 7

1. Thông thường và “Én” (7 điểm) Trên tuyến đường sắt nối thành phố M với trung tâm khu vực T, có (trong số những điểm khác) điểm dừng ở thị trấn Z và làng P. Từ M đến W có hai đường dành cho tàu chạy theo hướng T và từ W đến P có một đường (Hình 1). Khoảng cách từ M đến W

2. Miếng bọt biển của Menger (10 điểm) Hình 2 mô phỏng bản vẽ máy tính từ Wikipedia (tác giả: Niabot),

Hình 2

Hình 1

là 45 km, từ W đến R là 15 km. Bắt đầu từ 17:00 đến 21:00 từ M theo hướng T, tàu điện tốc độ cao “Lastochka” khởi hành cứ sau mười lăm phút, dừng ở phía W, nhưng không dừng ở P, và tàu điện thông thường khởi hành ít nhất mỗi giờ một lần, dừng cả ở W và P. Lastochkas di chuyển với tốc độ trung bình 120 km h và tàu điện thông thường - với tốc độ trung bình 45 km h. Trên đường từ M đến W, Chim én và tàu điện thông thường di chuyển dọc theo những đường đi khác nhau mà không gây cản trở lẫn nhau. Tàu không khởi hành từ W nếu trên đường tới P có thể bị Én vượt qua, đợi ở W một thời điểm thuận tiện để khởi hành (để có thể đến P mà không cản trở Chim Én). Chúng ta có thể giả định rằng việc lên, xuống và chuyển hành khách từ tàu điện này sang tàu điện khác tại các điểm dừng diễn ra trong thời gian ngắn không đáng kể. A. Trong thời gian tối thiểu bạn có thể đến làng P bằng đường sắt, khởi hành từ M trong khoảng thời gian từ 18:00 đến 19:00, trong trường hợp có lịch trình tàu thuận tiện nhất? (3 điểm) B. Vào lúc mấy giờ (giờ, phút) trong khoảng thời gian từ 18 giờ đến 18 giờ 30 thì phải sắp xếp lịch xuất phát của tàu điện từ M để đến P mà không dừng ở W? Vui lòng cung cấp tất cả các giá trị. (4 điểm) P. Kryukov, A. Bychkov mô tả những lần lặp lại đầu tiên của việc xây dựng một fractal có tên là “Menger Sponge”. Ở lần lặp đầu tiên, ba lỗ xuyên qua có tiết diện hình vuông được tạo thành hình lập phương. Trục của các lỗ vuông góc với nhau, vuông góc với các mặt của hình lập phương và đi qua điểm giữa của các mặt. Độ dài cạnh hình vuông nằm trong tiết diện của lỗ bằng 1 3 chiều dài cạnh mặt hình lập phương. Trong lần lặp thứ hai, các lỗ tương tự được tạo thành các khối nhỏ hình thành trên các mặt của khối lớn, v.v. Giả sử có một phôi ở dạng khối lập phương có chiều dài cạnh 1 m, được làm bằng nhựa có mật độ 1000 kg $м^{3}$, cũng như một thiết bị mà bạn có thể tạo các lỗ vuông có kích thước nhỏ tùy ý trong phôi này. Họ quyết định thực hiện lần lặp thứ n của Miếng bọt biển Menger từ khối lập phương. A. Mật độ trung bình của khối ở lần lặp thứ tư (khối cuối cùng trong hình) là bao nhiêu? (4 điểm) B. Hãy tưởng tượng rằng các khoang hình thành ở lần lặp thứ n được lấp đầy bằng nhựa với mật độ 2000 kg $м^{3}$. Mật độ trung bình của khối ở lần lặp thứ n ( n t 0 ) có thể là bao nhiêu? Trong đáp số chỉ ra ranh giới của phạm vi giá trị mật độ có thể có. (2 điểm) C. Chúng tôi không thích miếng bọt biển có màu trắng. Chúng tôi quyết định sơn tất cả các mặt của miếng bọt biển trong lần lặp thứ hai (bao gồm tất cả các mặt bên trong) bằng sơn màu xanh lam, lượng tiêu thụ là 100 g $м^{2}$. Một can chứa 1 kg sơn có đủ cho việc này không? Còn hai lon thì sao? (4 điểm) P. Kryukov, A. Bychkov

44

KVA NT 2021/№6

và được định hướng như trong Hình 6. A. 1) Nếu không có hạt thứ hai và thứ tư, đồ thị của góc $M_{3} t$, xác định vị trí của hạt thứ ba, trông như thế nào theo thời gian trong hai giây chuyển động đầu tiên? (1 điểm) 2) Vẽ đồ thị góc $M_{2} t$, xác định vị trí của hạt thứ hai, theo thời gian trong hai giây chuyển động đầu tiên (có bốn hạt trên vòng). (3 điểm). B. Hạt đầu tiên sẽ ở vị trí nào sau 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động? Cô ấy sẽ trải qua bao nhiêu vụ va chạm trong thời gian này? (2 điểm) C. Có đúng là các góc đặc trưng cho vị trí của các hạt cũng như tốc độ của chúng sau một thời gian T sẽ bằng thời điểm ban đầu? Nếu có thì tìm thời điểm T. (5 điểm) P. Kryukov

2. Xem bài toán F2658 “Bài toán Kvant (8 điểm). 3. Về xe máy điện (6 điểm) Xe máy điện sử dụng pin lithium-ion làm nguồn năng lượng. Với sự trợ giúp của một thiết bị đặc biệt gọi là bộ điều khiển và động cơ, năng lượng điện tích trữ trong pin sẽ chuyển thành công cơ mà không hao hụt. Chúng ta có thể giả sử rằng khi chuyển động với tốc độ không đổi, mọi công cơ học được thực hiện bởi động cơ của xe tay ga chống lại lực cản của không khí tỉ lệ với bình phương tốc độ của xe tay ga. Mức sạc pin tỷ lệ thuận với năng lượng điện tích trong pin. Khi lái xe máy ở tốc độ 15 km/h trên đường nằm ngang, mức sạc pin giảm từ 80% xuống 70% trong 20 phút. Sẽ mất bao lâu để xảy ra hiện tượng giảm mức sạc pin tương tự khi lái xe với tốc độ 18,9 km/h trên cùng một con đường trên cùng một chiếc xe tay ga của cùng một người như trong trường hợp đầu tiên?

3. Xem bài toán F2659 “Bài toán Kvant (10 điểm).

lớp 9

1. Quả cầu disco (10 điểm) Quả cầu disco là một quả cầu có bề mặt gương gồm hàng trăm hoặc hàng nghìn mặt, mỗi mặt là một tấm gương phẳng nhỏ. Nó thường được treo trên trần nhà bằng một thiết bị quay đều quanh một trục thẳng đứng. Khi quả bóng được chiếu sáng bằng đèn sân khấu, người xem sẽ thấy vô số hình ảnh phản chiếu (“những chú thỏ”) chạy dọc theo sàn, tường và trần của căn phòng (ảnh trong Hình 7). Bóng gương

Hình 7

trở nên phổ biến trong thời kỳ hoàng kim của phong cách âm nhạc disco vào cuối những năm 70 của thế kỷ 20, khi chúng bắt đầu được lắp đặt trong hội trường của các vũ trường và hộp đêm. Cho một quả cầu có bán kính R quay quanh một trục thẳng đứng đi qua tâm của nó (điểm A trong Hình 8, nhìn từ trên xuống), với n vòng mỗi giây. Khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường thẳng đứng trùng với trục hoành x bằng H, với H ≫ R. Quả bóng được chiếu sáng bởi một chùm tia song song được tạo thành bởi một đèn chiếu đặt trên tường ở độ cao bằng tâm quả bóng. Tia sáng từ đèn chiếu vuông góc với tường, phương ngang của chùm tia là 2d.

Giải thích. Khi chúng ta nói “công thực hiện chống lại lực cản của không khí”, chúng ta muốn nói rằng công do các lực làm cho xe chuyển động có giá trị tuyệt đối bằng công do lực cản thực hiện.

M. Romashka, P. Kryukov

Hình 8

45

Ô L I M P I A D S

Hãy xem xét những chú thỏ chạy dọc theo bức tường ở độ cao tương đương với ánh đèn sân khấu. A. Giá trị tối đa của tọa độ của chú thỏ $x_{max}$ là bao nhiêu? (2 điểm) B. Xác định vận tốc v x chuyển động của chú thỏ đi qua điểm có tọa độ x. (4 điểm) C. Cho những gương phẳng nhỏ giống nhau phủ trên bề mặt quả bóng có dạng hình vuông có cạnh a ( a ≪ R ). Cho chùm ánh sáng chiếu vào quả bóng có độ phân kỳ nhỏ xác định bởi góc 2M (M ≪ 1). Hãy ước tính giá trị lớn nhất của góc M mà tại đó có thể phân biệt được từng “con thỏ” ít nhất tại một số điểm trên tường. (4 điểm)

Gợi ý. Đối với lời giải, các quan hệ gần đúng sau đây của hàm lượng giác của góc nhỏ D ( D ≪ 1, > D @ rad) có thể hữu ích: sin D | D, cos D | 1, tg D | D.

P. Kryukov

2. Xem bài toán F2657 “Bài toán Kvant (10 điểm) 3. Xem bài toán F2660 “Bài toán Kvant (8 điểm). 4. Mật độ của lớp phủ (6 điểm) Theo các quan điểm hiện có về cấu trúc của Trái đất, dưới lớp vỏ trái đất có độ dày nhỏ có lớp phủ bao gồm đá silicat và kéo dài đến độ sâu khoảng 2900 km, lớp phủ bao quanh lõi ngoài lỏng. Từ độ sâu nông, do áp suất cao, chất rắn của lớp phủ bắt đầu biểu hiện tính chất dẻo nên trong tính toán có thể coi là chất lỏng. Dựa trên việc phân tích dữ liệu về tốc độ lan truyền của sóng địa chấn, các ý tưởng mô hình về sự phân bố áp suất bên trong Trái đất đã xuất hiện. Theo phép tính gần đúng đầu tiên, đồ thị biểu thị sự phụ thuộc của áp suất p vào độ sâu h (tại h Ш 3500 km) bao gồm hai phần tuyến tính (Hình 9), trong khi lực hấp dẫn tác dụng lên một vật thể có khối lượng m tính từ Trái đất ở độ sâu lên tới 3000 km được xác định theo cùng công thức như trên bề mặt: F mg. Chúng ta có thể giả sử rằng gia tốc trọng trường g là 10 m $с^{2}$. Mô tả bằng đồ họa sự phụ thuộc của mật độ vật chất của Trái đất vào độ sâu, tương ứng với phần tỉ lệ thuận trên biểu đồ áp suất. Bao lâu

Hình 9

mật độ có thay đổi tại điểm dừng của biểu đồ áp suất không? A. Bychkov, P. Kryukov

5. Lập kế hoạch (9 điểm) Trên cánh máy bay, từ phía luồng không khí chảy vào nó, chuyển động với tốc độ v (so với cánh), các lực phụ thuộc vào tốc độ v: lực nâng L v, trực giao với tốc độ và lực kéo D v, cùng hướng với tốc độ (Hình 10). Thái độ

Hình 10

L v được gọi là chất lượng khí động học. Trong bài toán này, K v được coi là chuyến bay của tàu lượn (máy bay không có động cơ), trong đó chất lượng khí động học có thể được coi là không đổi, không phụ thuộc vào hướng và độ lớn của tốc độ v. Người ta biết rằng trong không khí đứng yên (so với mặt đất), tàu lượn có thể bay, hạ độ cao, với tốc độ không đổi, do đó độ cao giảm đi sẽ là 20 mét cho mỗi km chuyển động ngang (Hình 11).

Hình 11

47

Ô L I M P I A D S

2. Một cơn gió ngược (đối với bể) thổi, sao cho thành phần nằm ngang của vận tốc của những giọt nước gần mặt đất hóa ra bằng w, và thành phần thẳng đứng bằng u. Khoảng cách $L_{2}$ bồn sẽ di chuyển trước khi dừng lại nếu thời gian chuyển động bằng t? (2 điểm) B. Ở phần này bài toán giả sử bồn không có lỗ, toàn bộ nước mưa rơi vào bồn đều đọng lại trong đó. Trong thời gian xét, nước không tràn đầy bể và không tràn. Không có gió, tốc độ của giọt nước là thẳng đứng. 1) Xác định sự phụ thuộc của vận tốc khung chậu vào thời gian v t trong trường hợp này. (2 điểm) 2) Nếu một bể đi được quãng đường s cho đến khi khối lượng nước trong bể bằng khối lượng bể M thì nó sẽ đi được quãng đường bao nhiêu tính đến thời điểm khối lượng nước trong bể bằng 3M? (3 điểm) Văn học dân gian

2. Vẽ đặc điểm (7 điểm) Trong mạch điện của nguồn điện áp đặc biệt như hình 14, các điốt là -

công suất 3C không được tích điện, dòng điện trong mạch bằng không. Các thông số khác của mạch là $R_{1} 10$ MOhm, $R_{2} 10$ Ohm, E 12 V. Có thể bỏ qua điện trở trong của nguồn và điện trở của dây dẫn. Chìa khóa đã được đóng lại. Xác định dòng điện $i_{1}$ và $i_{2}$ chạy qua các điện trở có điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ tương ứng, một giây sau khi đóng công tắc. M.Romashka

4. Nhìn vào một đồng xu (9 điểm) Ở đáy một bình có độ sâu h, chứa đầy chất lỏng có chiết suất n, tại một điểm có tọa độ (0, h) (hướng của các trục như hình 16) có

Hình 16

Hình 14

lý tưởng (mở ở điện áp gần bằng 0), giá trị emf và điện trở trong lần lượt bằng E 1,5 V và r 1,0 Ohm. Mô tả bằng đồ thị sự phụ thuộc i U (đặc tính điện áp của nguồn), trong đó i là dòng điện phát sinh khi nối với nguồn tải và U là hiệu điện thế giữa cực A và $B: U M_{A} M_{B}$. Dựa trên bài toán A. Zilberman F753

3. Dòng điện trên giây (8 điểm) Trong mạch như hình 15, công tắc K ban đầu mở, tụ C 100 µF được tích điện, và tụ điện

Hình 15

Hình 17

đồng xu S. Người quan sát nhìn thấy ảnh của đồng xu $S_{1}$ tại một điểm có tọa độ (x, y). Tập hợp các giá trị (x, y) cho các góc nhìn khác nhau được hiển thị trên biểu đồ (Hình 17). Sử dụng đồ thị, hãy tìm chiết suất của chất lỏng n và độ sâu của thùng chứa h. P. Kryukov

5. Về giọt nước (12 điểm) bài toán này xem xét tác động của việc giảm nhiệt độ của một giọt nước do sự bay hơi khỏi bề mặt của nó ở áp suất và nhiệt độ gần như phòng.