Bài toán M2654—M2657; F2661—F2664

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2654, M2655, M2657 đã được đưa ra ở giai đoạn cuối của Olympic toàn Nga XLVII dành cho học sinh môn toán. Bài toán M2656 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XLII.

Bài toán M2654–M2657, F2661–F2664 M2654. Trên cạnh BC của hình bình hành ABCD đánh dấu các điểm E và F, trong đó E nằm giữa B và F (Hình 1). Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Các đường thẳng AE và DF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $треу-^{Рис.} 1$ của AOD. Chứng minh rằng chúng cũng chạm vào đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF. A. Kuznetsov

M2656. Dãy số tự nhiên tăng dần $a_{1} a_{2}$ … sao cho mọi n! 100 số $a_{n}$ bằng số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n} 1$ và không chia hết cho bất kỳ số nào $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Chứng minh rằng dãy số này chỉ có hữu hạn số hợp số. P.Kozhevnikov

M2655. Cho một mặt phẳng ca rô vô hạn. Một giáo viên và một lớp gồm 30 học sinh chơi một trò chơi, lần lượt thay phiên nhau - đầu tiên là giáo viên, sau đó lần lượt là tất cả học sinh, sau đó lại là giáo viên, v.v. Trong một động tác, bạn có thể vẽ một đoạn duy nhất, đó là đường viền giữa hai ô liền kề. Bạn không thể vẽ các phần hai lần. Giáo viên thắng nếu sau khi di chuyển một trong 31 người chơi, có một hình chữ nhật ca rô 1 u 2 hoặc 2 u 1 sao cho toàn bộ đường viền của nó được tô màu nhưng đoạn đơn vị bên trong nó không được tô màu. Chứng minh rằng giáo viên có thể giành chiến thắng. M. Didin, A. Kuznetsov

F2661. Để thay đổi mức độ vị trí của bộ phận phía trên mặt bàn một cách trơn tru, chúng tôi đã xây dựng hệ thống lắp đặt như trong Hình 2, bao gồm một số thanh bản lề. Các góc tạo bởi các thanh là 120q và 60q. Thanh được đánh dấu màu đỏ trong hình là thép, có chiều dài L là 10 cm. Nó được làm nóng với tốc độ 10 K q phút. Phần này tăng lên với tốc độ bao nhiêu? đồng-

M2657*. Số tự nhiên n! 20 và k! 1 sao cho n chia hết cho $k^{2}$. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c sao cho n ab bc ca. A. Khrabrov

Hình 2

12

KVAN T 2021/Số 6

Vì vậy, $x^{2} n y^{2} n$. Nhưng rồi 0! $x^{2} n y^{2} n$! x là mâu thuẫn. N. Agakhanov

M2643. Vòng tròn: và Z chạm vào nhau bên trong tại điểm A (Hình 1). Hãy vẽ một vòng tròn lớn hơn

Hình 1

: dây CD tiếp xúc với Z tại điểm B (dây AB không phải là đường kính của Z). Điểm M là trung điểm của đoạn AB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD đi qua tâm Z.

Chúng ta hãy biểu thị tâm đường tròn Z bằng O (Hình 2). Hãy vẽ một điểm chung qua điểm A

Hình 2

tiếp tuyến với vòng tròn của chúng tôi; để nó cắt đường thẳng CD tại điểm P. Vì PA PB nên điểm P nằm trên đường trung trực của đoạn AB cũng đi qua hai điểm M và O. Vì AM là đường cao trong tam giác vuông PAO nên ta có PM $PO PA^{2}$. Mặt khác, theo tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ta có $PA^{2} PC$ PD. Vậy PM PO PC PD. Điều này có nghĩa là các điểm C, D, O và M nằm trên cùng một đường tròn. P. Bibikov

M2644. Petya và Vasya chơi trên bảng 100 ¥ 100. Ban đầu, tất cả các ô vuông trên bảng đều có màu trắng. Với mỗi nước đi của mình, Petya sơn một hoặc nhiều ô vuông màu trắng thành một hàng theo đường chéo màu đen. Với mỗi bước di chuyển của mình, Vasya sơn một hoặc nhiều ô vuông màu trắng đứng thành một hàng màu đen. Petya thực hiện bước đầu tiên. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Ai thắng khi chơi đúng?

Đáp số: Petya thắng. Hãy đưa ra một trong những chiến lược giành chiến thắng khả thi cho Petya. Anh ta sẽ luôn thực hiện các nước đi song song với một trong các đường chéo của bàn cờ, hãy gọi đó là nước đi chính. Với nước đi đầu tiên của mình, Petya sẽ vẽ tất cả các ô vuông trên đường chéo chính, sau đó bảng được chia thành hai “thang” giống hệt nhau (Hình 1). Chúng ta hãy tưởng tượng làm cho mỗi bậc thang đối xứng với đường thẳng đứng bằng cách di chuyển từng hàng ngang trong đó, ngoại trừ hàng đầu tiên, một nửa ô so với hàng trước đó. 1 của hàng trước (Hình 2).

Hình 2

Kết quả của sự dịch chuyển, cả đường thẳng đứng và đường chéo trước đây song song với đường chính đều trở thành các hàng nghiêng. Trong trường hợp này, “đường thẳng đứng” của một thang đối xứng với “đường chéo” của thang kia. Điều này có nghĩa là đối với mỗi bước di chuyển của Vasya, Petya có thể đáp lại bằng một bước di chuyển đối xứng sang một bậc thang khác (hai bước đáp số như vậy được hiển thị trong Hình 2). Sau đó, sau mỗi nước đi của Petya, tình huống trên bức tranh “đã dịch chuyển” sẽ giữ nguyên đối xứng, nghĩa là Petya sẽ luôn có thể thực hiện nước đi theo mô tả.