数字系统

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对实践中遇到的所有数字都做同样的事情是不方便的。此外，如果我们的需求仅限于数以千计，我们就需要记住一千个特殊字符。自然地，很长一段时间以来，人们开始选择一个或另一个系列的“关键”数字，并只用特殊的符号来指定它们。例如，这是基于关键数字的罗马编号系统
1、5、10、50、100、500 和 1000。
罗马数字系统中的这些数字代表字母 I (“i”)、V (“ve”)、X (“ix”)、L (“el”)、C (“ce”)、D (“de”) 和 M (“em”)。

这些名称通常源自图，曾经描绘了相应的数字（I - 手指，V - 手指放置的五，X - 两个五），并且通常是拉丁词的缩写（centum - 一百，demimille - 五百，mille - 千）。

由于我们只需要罗马数字系统作为示例，因此我们将在较旧的简化版本中考虑它，此时数字“四”以 IIII 形式而非 IV 形式书写。在这个古罗马系统中，数字 3477 的写法如下：MMMSSSSCLXXVII=3·1000+4·100+50+2·10+5+2。

收银员也做同样的事情，有100卢布、50卢布、25卢布、10卢布、5卢布、3卢布和1卢布面额的纸币。对于收银员来说，数字是关键

100、50、25、10、5、3 和 1。
比如说，想要支付 499 卢布，他首先发行尽可能多的百元大钞，

放弃太多：
499 = 4·100 + 99.

然后，他发行尽可能多的 50 卢布票，以便发行不超过剩余的 99 卢布：
499 = 4·100 + 1·50 + 49,
有时他可能会得到小于下一个关键数字的余数。在我们的例子中，发行两张十卢布后就是这种情况：
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 4.

下一个关键数字是 5，但是，由于 4 < 5，因此无需给出 5 卢布。但对于这幅画，我们可以假设给出了 0 个五卢布，并在总和中包含了 0·5 项。发行499卢布的整个程序会这样写：
499 = 4·100 + 1·50 + 1·25 + 2·10 + 0·5 + 1·3 + 1·1.

现在让我们尝试概括已经说过的内容，将任何递增数字的序列作为关键数字序列（“基础”）：
$q_0 = 1 < q_1 < q_2 < \dots < q_n < \dots$ (1)
让我们描述如何在以 (1) 为基数的数系中获得任意数 $N$ 的表示法。

在关键数字序列（1）中，有最大的数字$q_n$，不超过$N$。 Delim $N$ 除以 $q_n$，我们得到（不完全）商 $a_n$ 和余数 $r_{n-1}$：
$N = a_nq_n + r_{n-1}$，其中$0 \leqslant r_{n-1} < q_n$。

第一个余数$r_{n-1}$除以下一个关键数字$q_{n-1}$。我们把
$r_{n-1} = a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$,
其中$0 \leqslant r_{n-2} < q_{n-1}$，或
$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + r_{n-2}$.

（请注意，这里我们不排除 $r_{n-1} = 0$ 时的情况 - 在这种情况下，所有后续商

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余数将为零！）Terrier 新余数 $r_{n-2}$ 除以 $q_{n-2}$；我们得到

$$r_{n-2} = a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3},$$

在哪里

$$0 \leqslant r_{n-3} < q_{n-2},$$

或者

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + a_{n-2}q_{n-2} + r_{n-3}$$

ETC。

最后，将倒数第二个余数$r_1$除以$q_1$，我们得到

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + r_0,$$

其中$0 \leqslant r_0 < q_1$。

（因为$q_0 = 1$，那么除以“最后的余数”$r_0$是多余的：显然是$r_0 = a_0q_0 = a_0$。）在实践中，这种多重除法通常写在一起。我们将使用已经讨论过的记录 499 卢布金额的示例来展示如何完成此操作。在“收银系统”中：

$$499 \times 100 + 499 \times 50 + 499 \times 25 + 499 \times 10 + 499 \times 5 + 499 \times 1 + 499$$

（这里所有部分$a_n, a_{n-1}$等都用红色数字输入，数字本身$N$和余数$r_{n-1}, r_{n-2}$等用蓝色输入。）

§ 2. 位置数系统

您可能已经同意，在有基础的情况下

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 10,$$

$$q_2 = 10^2, \dots, q_n = 10^n, \dots$$

我们将处理常用的儿童数字系统。但不要写，而是说，

$$4 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 7$$

我们只需写403017。

心烦意乱或过于准时的收银员可以准备一份输出记录，其中不同面额的已发行钞票的数量将记录在单独的列中。按照这种格式，发行 499 卢布将如下所示：

| | 100 | 50 | 25 | 10 | 5 | 3 | 1 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 499 | 4 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 |

我们可以说，在“收银员号码系统”中，数字 499 写为

$$4112011.$$

与最后两个示例中讨论的数字系统（即十进制数字系统和“出纳系统”）相关的数字系统称为位置（我们将在下面讨论该表达式的含义）。代替繁琐的录音

$$N = a_nq_n + a_{n-1}q_{n-1} + \dots + a_2q_2 + a_1q_1 + a_0$$

在以 (1) 为基础的位置数字系统中，使用 $n+1$“数字”的更紧凑的表示法会很方便：

«$a_na_{n-1} \dots a_2a_1a_0$».

假设“数字”$a_k$是以与上述相同的方式（算法）获得的。

从这个描述可以清楚地看出，在给定的基础上，每个自然数 $N$ 都以独特的方式书写。此外，由于“主要数字”$a_n$是由数字$N$除以$q_n$的商获得的，按照惯例，它小于$q_{n+1}$（否则我们将从$N$除以$q_{n+1}$开始，而不是除以$q_n$！），然后是$a_n < q_{n+1}/q_n$。这就是为什么，

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零的存在和特殊指定，就像一只半闭的眼睛：

以下是在玛雅系统中书写数字的一些示例：

$$[1 \cdot 20 + 0 = 20, \quad 19 \cdot 360 + 13 \cdot 20 + 13 = 7113, \quad 10 \cdot 360 + 7 = 3607]$$

瓦里安数字系统和玛雅系统中记录数字的主线源自罗马编号，恰恰在于这些系统的“位置”原则：而在罗马人中，字母I始终表示一，而V表示五，无论这些字母位于何处，而在古巴比伦人和玛雅印第安人中，“数字”的含义取决于其位置或“位置”。这就是为什么这种记录数字的系统（包括 8-9 世纪或更早的印度创建的常用“十进制系统”）被称为位置系统。

练习

1. 在“完整的出纳系统”中记下（其中“关键”数字如下：10000、5000、2500、1000、500、300、100、50、20、15、10、5、3、2和1，对应于所有现有纸币和所有以戈比表示的硬币的价值，金额为233 87 戈比 使用“连续除法”记录将 23387 戈比转入“出纳系统”的交易（参见第 4 页）。

2. 读取瓦里安系统中写入的数字

3. 读取玛雅系统中书写的数字

（这是玛雅遗址中发现的最大数字。）

§ 3. 给定基数的数字系统

这是有基础的数字系统的名称

$$q_0 = d^0 = 1, \quad q_1 = d^1 = d, \quad q_2 = d^2, \quad q_3 = d^3, \quad q_4 = d^4, \dots, (2)$$

其中 $d$ 是任何大于 1 的整数。这个数$d$称为基本数系。

这些系统包括以$d=10$为基数的通用十进制、瓦里安六进制（$d=60$）和双数系统（$d=2$），这些系统最近随着计算机技术的需要而被广泛使用。在任意基数$d$的情况下，我们称之为“d进制”数字系统。

在 $d$ 进制中，符号 $N = \langle a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rangle$ 具有以下含义：

$$N = a_n d^n + a_{n-1} d^{n-1} + \dots + a_2 d^2 + a_1 d + a_0.$$

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1、不同或相同。
在这样的数字系统中，数字被写成

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil$$

倒数第一个数字 $a_0$ 可以取 $d_0$ 值 0, 1, 2, …, $d_0$ - 1。下一个数字 $a_1$ 可以取 $d_1$ 值从 0 到 $d_1$ - 1；数字$a_2$可以取0到$d_2$ - 1等值。

此外，在以 (3) 为基数的数系中，以及在 $d$ 进制数系中（其中我们的系统在 $d_0 = d_1 = d_2 = d_3 = \dots = d$ 的情况下是相反的），任何条目都是有意义的

$$N = \lceil a_n a_{n-1} \dots a_2 a_1 a_0 \rceil,$$

其中$a_0, a_1, a_2, \dots, a_n$是自然数，例如$a_0 < d_0, a_1 < d_1, a_2 < d_2$等。事实上，很容易检查到，当使用“连除”方法将数字$N = a_n q_n + a_{n-1} q_{n-1} + \dots + a_2 q_2 + a_1 q_1 + a_0$转换到我们的数字系统时（参见上面的第4页），得到以下数字：

$$a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_1, a_0.$$

我们将用一个非常简单的“数字系统”的例子来证明这种有利的情况不是一般规律。

2°“偶”数系统。

以所有偶数（以及数字$q_0 = 1$）作为数系的基础：

$$q_0 = 1, \quad q_1 = 2, \quad q_2 = 4, \quad q_3 = 6,$$

$$q_4 = 8, \quad q_5 = 10, \quad q_6 = 12,$$

自从这里

$$\frac{q_1}{q_0} = q_1 = 2$$

和

$$\frac{q_{n+1}}{q_n} = \frac{2(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} < 2$$ 对于所有$n > 1$，

那么这个数字系统就像双数字系统一样，只知道两个“数字”：0和1。条件是将这个“偶数”数字系统中写的数字指定为红色。然后，非常印度，

$$2 = 10, \quad 3 = 11, \quad 4 = 100, \quad 5 = 101, \quad 6 = 1000, \quad 7 = 1001, \quad 8 = 10000, \quad 9 = 10001$$等

一般来说，所有数字要么被描述为末尾有一个或另一个零的数字（偶数），要么绝大多数零和一序列不表示“偶”数字系统中的任何数字，因为在“偶”数字系统中，一个只能出现在第一位，有时甚至出现在最后一位。

最后，再举一个例子。

3°“业务员制度”。商店中杯秤的一套标准砝码通常包括：10e、20e(2)、50e、100e、200e(2)、500e、1ke、2ke(2)和5ke。

卖家像钞票出纳员一样使用这组权重，可在收银机处使用。也就是说，在回答产品时，他首先将不悬在货物上方的最重的重量放在秤上，然后将剩余重量中最大的重量放在秤上，依此类推。

因此，例如，当称量一块重 3 ke 460 e 的肉时，他使用 图 所示的重量。

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概括这个众所周知的数字（权重）系统“使用给定的权重系统由数字（权重）表示”，为所有销售员工和所有企业主所熟知，我们得出一个具有基础的数字系统
1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, …
其中3大卡460克会这样写
11020101000.

在这个数字系统中记录
$$N \ll a_n a_{n-1} \quad a_2 a_1 a_0$$
最后一位数字$a_0$只能等于0或1（因为$q_1 = 2$）；倒数第二位$a_1$可以取值0、1或2（从$2 < q_2/q_1 < 3$开始）；倒数第三个数字$a_2$再次只能取值0和1（从$q_3/q_2 = 2$开始）；数字$a_3$也只能取值0和1，但是数字$a_4$又可以取值0、1和2（因为$2 < q_5/q_4 < 3$）。

一般来说，在这个数字系统中所有的数字
$$a_1, a_4, a_7, a_{10}, \dots, a_{3k+1}$$
可以取值 0、1 和 2，所有其他数字只能取值 0 和 1（对于店员来说，有两个 2 克的砝码就足够了，1 大卡和 5 大卡各一个。）