电力线语言中的静电

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舌头上有静电
电源线

一般来说，静电学是这样研究的：他们写出两个精确电荷$q_1$和$q_2$之间相互作用力的库仑定律：$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$（r是电荷之间的距离）——然后，借助有时简单有时复杂的数学计算，他们获得了该定律的各种结果，考虑到任何物体的电荷都可以表示为正确分布的精确电荷的完美形式。

但对电场和电荷分布进行精确的数学分析通常很困难。然后简单的信息就可以发挥作用——场线的对称性和模式。当然，它们不能像数学计算那样给出完整的图片，但它们是可视化的，有助于“看到”和预测电场将具有哪些特征以及电荷将如何相互作用。

什么是场线

让我们计算准确的费用$q$。这种电荷在周围空间中产生一个电场，如果在空间中的每个点都给出了电场的方向，则该电场是完全确定的 - 如果将其放置在该点，则作用在精确单位正电荷上的力。为了直观地表示整个空间的电场，您可以尝试用各种矢量来表示它，例如，在空间的不同点处，以便每个矢量都显示电场在其出现点处的方向（其大小和方向）。然而，很明显，这种描绘场的方法是不成功的：单独的箭头彼此重叠，形成了一幅令人困惑的图片，这需要理解。

法拉第提出用力线来表示场。这些是线，其每一点的方向与该点的场方向一致。要准确充电，绘制场线非常简单。这些是穿过电荷所在点的直线（射线）。如果电荷是连续的，那么力线是

图 1.

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考虑图3和4，我们可以注意到，对于相反的电荷，漏极线似乎将电荷彼此连接，而在相同电荷的情况下，漏极线似乎被推开。如果我们将梅线沿其长度方向收缩和在横向方向上排斥的特性归因于梅线，那么我们可以说连接不同电荷的梅线将它们彼此束缚，并且不同电荷的汇合线相互排斥、排斥。当然，我们不能假设汇合场线确实存在，但根据这种解释，通常只需看一眼场图就可以预测电荷相互作用的结果。梅花线的这些相同的“属性”，正如不难报道的那样，还可以说明更多的事情——关于场方向的大小。

高斯定理

因此，梅花线图案显示了每个点处的场方向矢量的方向。但这还不是全部。事实证明，这些图片可以谈论更多的事情——关于场方向性的大小。

让我们取一点正电荷$q$。让我们选择一个顶点位于电荷所在点的圆锥体，并沿着穿过面积为 $S_1$ 的区域的梅线，该区域与电荷 (图 5) 的距离为 $r_1$。在距离$r_2$时，这些排水管线将穿过面积较大的$S_2$区域。垫的直径比等于$\frac{r_2}{r_1}$，因此$\frac{S_2}{S_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$。

但这意味着线梅的密度$n = \frac{N}{S}$（通过单位面积的线梅的数量）成反比

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是到电荷距离的平方的国家。从$\frac{n_1}{n_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$开始，然后$n \sim \frac{1}{r^2}$。

精确电荷场的方向性以同样的方式变化：$E = \frac{q}{r^2}$。

因此，场线的密度与场的方向成正比：$n \sim E$。只需要电源线不被任何地方中断即可。对于精确的正电荷，力线必须从电荷开始并趋向无穷大。在负电荷的情况下，力线必须从无穷远延伸到电荷处。

事实证明，总是可以画出场线的图，使其密度与场的方向成正比。为此，力线必须在正电荷上被驱出并在负电荷上结束（或达到无穷大），并且离开电荷或进入电荷的力线数量必须与该电荷的大小成正比。

让我们在心里画一个球体，其中心位于我们找到电荷的点。如果我们同意假设每个正电荷都有$4\pi q$力线出现（并在每个负电荷处结束），那么它们在球面上的密度将等于$\frac{4\pi q}{4\pi r^2} = \frac{q}{r^2}$，也就是说，它将等于场的方向。与球体表面相交的力线总数不取决于球体的半径，等于 $4\pi q$。很明显，无论该表面具有什么形状，从我们在内部发现电荷（或进入该表面）的任何封闭表面发出的力线数量都是相同的。

这个陈述被称为高斯定理。当然，对于任何电荷分布都是如此。可以证明，对于任何收费制度，力的数量

从任意形状的闭合表面出现的线减去进入该表面的力线的数量，等于$4\pi Q$，其中$Q$是位于受该表面限制的体积内的总电荷。如果电荷 $Q$ 为负，则离开由表面包围的体积的线数少于进入该体积的力线数。如果表面所包围的体积中不存在电荷，那么当它们进入时，从该体积中出来的力线数量相同。

势面和等势面

在我们开始运用我们的知识——解决具体问题之前，让我们记住该领域的另一个特征——潜力。事实上，你可以找到与力线图密切相关的几何图。这种联系通常有助于绘制和分析场线图。

让我们首先回顾一下什么是电场势。

如果通过在场中移动电荷，我们返回到起点，那么当将精确电荷从场中的一个点穿过到另一点时所做的总功并不取决于路径的形状。否则，可以先沿着较小的路径走，然后沿着较大的路径返回。总工作量不会为零。由于工作不依赖于路径的形状，因此可以引入势的概念。给定点的场电势等于从场中的给定点穿过单位精确正电荷到无穷大时场所做的功。

潜力可以是正的，也可以是负的。正电荷的场电位为正，负电荷的场电位为负。在第一种情况下，作用力

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从场一侧转移的电荷，被引导到与电荷移动相同的方向，以及第二个方向 - 与移动相反的方向（场做负功）。势是在空间中没有方向的标量。距离 $r$ 处的确切电荷 $q$ 的电势等于 $\frac{q}{r}$。如果我们需要找到多个电荷的场势，那么我们必须将各个电荷产生的场势相加，并考虑它们的符号。电势与场线模式有何关系？让我们检查一下电位是否到处都是恒定的。这种概率称为等势。对于精确的电荷，等势是以电荷所在点为中心的球体。很容易看出，磁力线必须始终垂直于等势线。如果不是这样，那么就会存在方向准确性的成分，因此当沿着它移动电荷时就会做功。电势会随着真实性的变化而变化，而且不可能是等电势。人们可以看到等电位测试和磁力线之间的另一个重要联系。如果进行两次接近的等电位检查，则它们的电位差等于将精确单位正电荷从一个检查转移到另一个检查的功。由于作用在此类电荷上的力等于场的方向，因此 $\Delta \varphi = E \Delta r$ 或 $E = \frac{\Delta \varphi}{\Delta r}$。这意味着，场较强的地方，等势概率更密集，而场较弱的地方，等势概率的频率较低：在相同的电位差下，场较弱的概率之间的距离 $\Delta r$ 较大，反之亦然。

现在我们可以继续解决具体问题。

均匀带电空心球的场

我们可以立即断言，由于场的对称性，场线沿着半径指向任何地方，并且场线的密度在所有方向上都是相同的。在球体内部，场强为零。否则，球体内部的场线指向球体的中心或远离球体的中心。这意味着球体中心有一个精确的电荷。

为了使电子场位于球体之外，请记住场的方向等于场线的密度，除非从电荷$Q$出现的场线总数等于$4\pi Q$。让我们画一个半径为 $R$ 的球体，其中心位于带电球体的中心。穿过我们测试的球体的力线数量等于场的方向乘以被测试球体的面积：$N = E \cdot S = E \cdot 4\pi R^2$。根据高斯定理

$$N = 4\pi Q,$$ 从这里$E = \frac{Q}{R^2}$。

球体外部的场强与位于球体中心的精确电荷的场强相同。很明显，球体外部场中任何点的电势将与精确电荷的场的电势相同。球体表面上所有点的电势相同，等于 $\frac{Q}{r}$，其中 $r$ 是球体的半径。球体内任何点的电势都相同：当将电荷从球体表面移动到该点时，我们不做任何功（在球体内，定向场，因此作用在电荷上的力等于零）。均匀带电球体的电子场方向与球心距离的关系如图 6, 6 所示。

当然，可以证明带电球体内部不存在场

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以及库仑定律中的非预定论。
让我们在球体内部取任意点 $A$ (图 7)。让我们想象一个从点 $A$ 出发的狭窄圆锥体，在球体表面切出两个小球形区域 $\Delta S_1$ 和 $\Delta S_2$。如果$r_1$和$r_2$是从点$A$到这些路段的距离，则$\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$。

由于球体均匀带电，因此区域的电荷与其面积成正比。因此，$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$和这些部分在点$A$创建的字段相互抵消：

$$\frac{E_1}{E_2} = \frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}} = 1.$$

这样，整个球体就可以被分成几对部分。因此，点$A$处的场为零。

梅花线的想法使得可以更容易、更快地获得相同的结果。

均匀充电平面和平行板电容器

现在让我们考虑一个无限（更准确地说，非常大）均匀带电平面的场，每单位面积有一个电荷$σ$。

很明显，平面产生的场的梅线垂直于平面，并且它们的密度相同（图8）：如果梅线向一个方向倾斜，则意味着沿平面的一个方向与其他方向不同；如果飞机进近的不同点上的管道密度不同，那么这将意味着某个点（当然不可能）在某种程度上与其他点不同。

让我们画一个圆柱面，其底边与平面平行且面积等于一。漏极场线不与侧面相交

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圆柱体，根据高斯定理，穿过圆柱体底面的力线数量等于 4lσ。这意味着在每个方向（平面的左侧和右侧）都有 2σ 力线穿过单位面积 (图 8)。因此，均匀带电的无限平板的场方向在各处都是相同的，不依赖于到平板的距离，并且等于

$$E = 2\pi\sigma.$$

如果我们现在采用两个带相反电荷的平面（图9），那么在这些平面形成的电容器的两侧，场相互抵消。在内部，在板之间，场的方向相等，并且相加，给出场的方向

$$E = 4\pi\sigma.$$

虽然电容器边缘的场会发生扭曲，但在中间部分我们可以认为它的大小和方向都是相同的。这样的场称为齐次场。

电场中的导体

六年来，我们一直在考虑所给电荷的位置，我们所要做的就是找到这些电荷产生的电场。当电荷可以在导体中自由移动时，问题会变得更加复杂。例如，如果您给导体带来电荷 (图 10)，则导体中的电子在该电荷场的影响下开始移动。在这种情况下，导体表面会出现电荷，导体内部的场方向与外部场相反。这将持续到导体内部的磁场变为零。在这种情况下，导体表面出现的电荷当然会改变导体外部的场。

导体内部的场总是