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最大、最小和平均定理

Савин А. П.

Kvant 1970 年第 11 期第 24 页标签 B5MV

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最大、最小和平均定理

A.P.萨文

在数学中，通常将这样的陈述称为定理，这些陈述可以重复用于推导其他陈述，特别是在解决问题时。我想谈谈以下定理的应用：

几个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，并且只有当所有给定的数字都相等时才满足这些平均值的相等性：

a1+a2+⋯+ann≥a1a2…ann\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}

或者

(a1+a2+⋯+ann)n≥a1a2…an.\left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^n \geq a_1 a_2 \dots a_n.

这一说法有许多不同的证明，您可以在 S. T. Berkolaiko 和 S. B. Katok 的文章中阅读其中之一 *)。这个定理适用于哪里？

当然知道了，想要平均值更接近的话可以用算术平均值，想要更小的可以用几何平均值。例如，计算班级的平均成绩。这当然是一个笑话。如果它是基于服务器的怎么办？

事实证明，利用这个定理你可以找到多代数表达式的最多或最多的值。让我们从最简单的开始。

*) S. T. Berkolaiko，S. B. Katok，关于证明不等式的一种归纳方法，«Kvant»，第 8 期，第 11 页。 33.

示例 1. 多项式 2x−x22x - x^2 的最高有效值是多少？

解决方案。让我们将多项式变换如下：2x−x2=x(2−x)2x - x^2 = x (2 - x)并用yy表示2−x2 - x。

由定理

2x−x2=xy≤(x+y2)2=(x+2−x2)2=1.2x - x^2 = xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \left(\frac{x + 2 - x}{2}\right)^2 = 1.

由此可见，多项式的最大值为 1，并且在x=2−xx = 2 - x，即x=1x = 1处达到最大值（很容易检查xx和2−x2 - x不能同时为负；因为我们正在寻找最大值，所以只有当它们都是正数时才考虑它们就足够了）。

示例 2. 对于正值xx，表达式 x+1xx + \frac{1}{x} 的最高有效值是多少？

解决方案。让我们用 yy 表示 1x\frac{1}{x}。由定理

x+1x=2(x+y2)≥2xy=2xx=2.x + \frac{1}{x} = 2 \left(\frac{x + y}{2}\right) \geq 2 \sqrt{xy} = 2 \sqrt{\frac{x}{x}} = 2.

因此，最大值为 2，在 x=1x=1∗x = \frac{1}{x} = 1^* 处实现。

*）在学校里，他们教授隔离完整正方形的方法，这两个例子都可以解决这个问题：

  1. 2x−x2=1−(1−x)2≤12x - x^2 = 1 - (1 - x)^2 \leq 1;
  2. x+1x=(x−1x)2+2≥2x + \frac{1}{x} = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2 \geq 2.

但例 3 不能通过选择一个完整的正方形来解决。