发展空间想象力

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发展
空间
想像力

NG·费丁

考试中经常会出现立体测量问题，其中最重要的是想象图形在空间中的位置。国外消息提出了解决平面问题的想法。在这篇文章中，我们将讨论一些问题和任务，这些问题和任务应该在某种程度上引起高中生的兴趣，并帮助他们扩大空间想象力的​​视野。

杂交初次

1. 让我们画两个交叉的原色$a$和$b$。在 图 1 上给出了他们的图像。
   您对素数平行显示感到惊讶吗？徒然。这是正确的绘图，尽管不是视觉上的。已知交叉素数$a$和$b$可以放置在平行平面$a$和$b$中，使得素数$a$位于平面$\alpha$，直线$b$位于$\beta$，然后将它们投影到平面$\gamma$，与$\alpha$ 和 $\beta$ (图 2) 飞机。在这个平面上，我们将获得直线$a$和$b$的图像$a_1$和$b_1$。

2. 令给定的交叉素数 $a$ 和 $b$ 以及点 $A_1, A_2$ 位于直线 $a$ 上，$B_1, B_2$ 位于直线 $b$ (图 3) 上。我们来进行接待$A_1B_1$和$A_2B_2$吧。

图 1
图 2

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这些线可以相交吗？

当然，绘画可能会让我们脱轨。但如果我们假设直线$A_1B_1$和$A_2B_2$相交，则$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$四个点位于同一平面，因此原来的直线也将位于同一平面，但事实并非如此。我们得出的结论是，直线$A_1B_1$和$A_2B_2$不能相交。

3. 由两条相交线组成的图形有对称中心吗？

两条交叉线的对称中心似乎存在，并且与其公共垂线 (图 4) 的中点 $M$ 重合。然而，事实并非如此。事实上，如果这两个对称中心是直的，那么与中心对称的直线$a$就会变成平行直线$b$，但$b$并不平行​​于$a$。因此，相交线不可能有对称中心。

4. 两条相交的直线有对称轴吗？

这道题比求相贯线对称中心的问题要困难得多。事实证明，两条交叉线具有三个对称轴：$l_1$、$l_2$ 和$l_3$。然而，其中之一是与原始直线$a$和$b$的共同垂直线。另外两条相互垂直，相交于线段$KP$的中间$M$，并且是直线$a_1$和$b_1$形成的相邻角的平分线，对应平行线$a$和$b$（图4）。尝试自己证明这个事实。

使用立体测量方法解决行星问题

显然，平面测量问题是在平面上解决的，而立体测量问题则与平面绘图上的空间图形的图像相关。这种直接解决问题或证明定理的方法并不奇怪。它们通常是可以接受的。但以立体、空间、三维的方式解决平面问题已经是不寻常且有趣的了。当然，并不是所有的问题都能用这种方法解决，只能解决某一类问题。

5. 平面上有 3 条射线，从一点（图 5，$a$）发出，将平面分为三个角，每个角都小于 $180^\circ$。在三个角度中的每一个中，给出一个点：$A_1$、$B_1$ 和 $C_1$ - 因此这些点不会位于同一条直线上。需要构造一个三角形

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图 5，a。

ABC，其顶点位于给定的射线上，边经过给定的点。

计划以一种困难的方式解决这个问题，但从立体角度来看，它可以很容易地解决。让我们想象 (图 5, b) 光线在空间中形成以点 O 为顶点的三面角的边缘。让我们想象位于三面角的面中的点 A₁、B₁、C₁。这些点定义了一个特定的平面。让我们用 β 表示这个平面；它将沿着所需的边 BC、CA 和 AB 与三面角的面相交。剩下的就是构造三面角的面的平面与平面β的交线。

为此，我们将这些点投影到与 Oz 平行的 xOy 平面上。点A₁、B₁、C₁将分别移动到点A₀、B₀、C₁（点C₁将保持原位）。

因此，我们将问题简化为投影问题，这在学校中通常称为多面体角与平面相切的问题。我们找到直线 A₁B₁ 与平面 xOy 的交点 x₀，这就是直线 A₁B₁ 和 A₀B₀ 的交点。点x0和C1均位于β平面和xOy平面内，因此，切割平面β沿直线x0C1与xOy平面相交。

然后我们找到交点

图5，b．

直线 x₀C₁ 与射线（边）Ox、Oy，我们得到点 A 和 B。线 BA₁ 和 AB₁，我们得到与轴（射线 Oz）相交的第三个点 - 所需三角形 ABC 的顶点 C。空间表示帮助我们找到了解决平面问题的想法。

6. 在平面上给出两个三角形ABC和A₁B₁C₁；另外，线AA 1 、BB 1 和CC 1 相交于一点S，线AB 和A 1 B 1 、BC 和B 1 C 1 、AC 和A 1 C 1 相交于点x、y和z。证明 x、y、z 点位于同一条直线 l 上。

这个问题在几何学中被称为笛沙格定理*)。

这是其证明的思路。我们假设点 S 是一个以 ABC 为底、剖切面为 A₁B₁C₁ (图 6) 的 Paramid 的顶点。那么直线AB、BC和AC位于平面ABC内，并且直线A 1 B 1 、B 1 C 1 和A 1 C 1 位于平面A 1 B 1 C 1 内。因此，点x、y、z既位于三角形ABC的平面内，又位于三角形A₁B₁C₁的平面内，也就是说，它们位于这些平面的交线上，即直线l上。

自行对笛沙格定理进行严格证明。

*) Gerard Desargues - 法国数学家和工程师 (1593-1662)。

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图 6.

线$AA_1$、$BB_1$和$CC_1$相交于一点$S$的条件用于以下位置：线$AB$和$A_1B_1$（以及其他线）在空间中不相交，但相交于点$x$。在进一步的推理中，只涉及三角形的平面；你可以忘记大自然。

我想知道这个定理对于四边形$ABCD$和$A_1B_1C_1D_1$是否有效，其中直线$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$和$DD_1$相交于一点$S$？连续边$AB$和$A_1B_1$、$BC$和$B_1C_1$、$CD$和$C_1D_1$、$DA$和$D_1A_1$的四边形交点的条件是否在同一条直线上？一般来说，情况并非如此。对于两个四边形，在一些附加条件下，类似的定理将成立。

尝试自己找到这些条件。

指出和e。考虑连接四边形对角线交点的直线。

有趣的是，线段的长度和角度的大小都没有出现在任务条件中。在这些问题中，解决的只是直线和平面的交点，这些点是否属于直线。我们将平面图形视为某些空间图形在平面上的投影。这种投影或投影的方法

图 7.

几何学一个特殊分支的特征，称为射影几何。

图形的交集和图像

让我们考虑几个问题。

7. 给定一个三角形pairida $ABCD$，顶点为$D$。在延续侧$CA$和$CB$，取点$K$和$P$以及$AC = 2AK$和$BC = 2BP$； $M$是边$CD$的中间。通过点 $K$、$P$、$M$ 绘制切割平面。该平面将按什么比例划分 paramid 的体积？

为了解决这个问题，我们来看看平面$KPM$对于paramida来说代表什么，即由三个点$K$、$M$和$P$（图7）定义的平面。

三角形$ABC$和$KCP$相似，因此$KP \parallel AB$。那么$KP$平行于平面$ABD$、$KP = \frac{3}{2} AB$。切割平面将沿线段 $A_1B_1$ 与面 $ABD$ 相交，平行于 $KP$，因此平行于 $AB$。我们来画三角形$BCD$、$CE = EB = BP$、$ME \parallel BD$的中线$ME$。请注意，$BB_1$ 是三角形$MPE$ 的中线，$BD = 2ME = 4BB_1$ 从中线出发，因此$A_1B_1 = \frac{3}{4} AB$（三角形$ABD$ 和$A_1B_1D$ 相似）。类似领域

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图 8.

数字作为相似边的正方形相关，因此

$$S_{\triangle A_1B_1D_1} = \frac{9}{16} S_{\triangle ABD}.$$

令 $V$ 为金字塔$ABCD$ 的体积。计算金字塔$A_1B_1MD$的体积$V_1$时，建议以面$A_1B_1D$为底。那么高度 $H_M$ 将是高度 $H_C$ 的一半，因为 $M$ 是线段 $CD$ 的中点。我们有：

$$V_1 = \frac{1}{3} S_{\triangle A_1B_1D} H_M = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} S_{\triangle ABD} \times \frac{H_C}{2} = \frac{9}{32} \left( \frac{1}{3} S_{\triangle ABD} H_C \right) = \frac{9}{32} V.$$

金字塔底部的体积$V''$将是金字塔体积$ABCD$的$\frac{23}{32}$。现在金字塔的顶部和底部都有物体：$V' : V'' = 9:23$。

8. 在桌子平面上有四个半径为$R$的球，彼此接触（球的中心形成一个正方形）。然后，进入这些球形成的“洞”中，

练习

1. 在桌子平面上有三个相互接触的球，半径为$R$。然后将四个相同半径的球放入这些球形成的“洞”中。 Naty 是从第四个球的顶点到桌子平面的距离**)。

2. 给定一个具有轴 $OO_1 = h$ 和底半径 $r$ 和 $R$ 的截锥体。在底圆上，我们取所有可能的点$A$和$B$，使得$A$和$B$位于不同的圆上，并且$OO_1$和$AB$是相交线段。 Naty 边界改变了 $OO_1$ 和 $AB$ 之间的距离。

3. 正三棱锥$ABCS$的顶点$S$沿高度$OS$移动至无穷远，然后在高度上逼近底面平面。边$AS$处二面角的直线角会在什么限度内变化？

*）物理学中一个有趣的问题：球之间以及球与桌子之间的摩擦力应该是多少，这样整个结构才不会散架？
**）关于物理的同样问题。