半正多边形

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半正确

L.M. Lopovok 多边形

根据定义，如果凸多边形是等角且等边的，则该凸多边形称为正多边形。然而，有一类有趣的人物并不同时具备这两种属性。我们将调用半右多边形和以下多边形：

a) 等角的，其中边相等；
b) 等边，其中角度相等。

第一种半直多边形的示例是矩形，第二种半直多边形的示例是菱形。从半直多边形的描述可以清楚地看出，每个多边形都有偶数个顶点；让我们用$2n$来表示它。

半直角等角多边形的性质

1. 等角多边形的对边互相平行。

事实上，当遍历多边形时，我们将每条边相对于前一条边旋转一个外角，即$\frac{180^\circ}{n}$（图1）。因此，边$A_{n+1}A_{n+2}$相对于边$A_1A_2$旋转了$n$外角，即$180^\circ$。

2. 如果将半直角等角多边形的顶点通过一个（全部为奇数或全部偶数顶点）连接，您将得到一个正多边形（图1）。

证明并不困难：根据第一个标准，三角形$A_1A_2A_3$，$A_3A_4A_5$，$A_5A_6A_7$，…相等，这意味着$A_1A_3=A_3A_5=\dots$。另一方面，根据三角形相等，可以得出它们对应的角也相等。让我们用 $\alpha_{2n}$ 表示相等 $2n$ 边形的内角。我们找到最佳多边形的内角：它们相等

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

图 1.

4. 量子3号

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就像常规的 $n$ 边形一样。

3. 圆可以围绕半正等角多边形来描述。

让我们围绕规则 $n$ 边形 $A_1A_3A_5\dots$ (图 2) 描述一个圆。等角$2n$边形的内角是$180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$。容易计算出$\Rightarrow A_1A_2A_3$是弧$A_3A_5A_1$度数的一半，这意味着$A_2$点位于所构造的圆上。这也适用于其他顶点：$A_4$、$A_6$、…

性质3基于两种构造半正等角多边形的方法。

a) 构造一个正则$n$边形$A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$并在其周围画一个圆。然后我们（使用指南针）在圆上找到点 $A_2$、$A_4$、$A_6$、…、$A_{2n}$，它们与 $n$ 边形的对应顶点的距离相同：$A_1A_2=A_3A_4=..$

b) 我们使用两条边（任意长度）和它们之间的已知角度构造一个三角形 $A_1A_2A_3$，并围绕该三角形描述一个圆。然后，在知道所有边的尺寸的情况下，我们使用圆规的凹口依次找到剩余的顶点。

4. 如果半正等角多边形的顶点数是4的倍数，则有多条对角线相交于一点并将其一分为二。

证明用途 2：这些对角线也是边长为 4 的正多边形的对角线，因此它们相交于一点（多边形外接圆的中心），并被该点一分为二。

如果半正等角多边形的顶点数不是4的倍数，那么构造一个例子（图3）并不困难，当更多的对角线在几个点相交时。

5. 半正等角$4n$边外接圆的中心是其对称中心。

从性质 4 可以得出，由于相对于圆中心对称，多边形的顶点变换为顶点；因此，各方也改变立场。

6. 通过半正等角多边形两条平行边中点的直线是其对称轴。

根据圆的平行弦性质，这条直线穿过外接圆的圆心。由直线两侧对应弦相等，对应顶点的对称性如下

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相对于绘制线的多边形（进一步参见 图 6）。

7. 设一个半正等角多边形有2n个顶点，则其外接圆的圆心为其n阶对称中心。

这意味着，当围绕圆心旋转 $\frac{360^\circ}{n}$ 倍数的角度时，多边形会与自身对齐。这是从属性 2 和 3 得出的。

8. 构造半正等角多边形的内点到边（或其延长线）的距离之和。

众所周知，半正多边形具有这种性质。

如果将等边形的内点与顶点连接起来，则所得三角形的面积之和等于多边形的面积。用 $a$ 表示多边形的边，到边的距离为 $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$，我们得到

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

令给定多边形中的边 $A_1A_2$ 大于边 $A_2A_3$。让我们在 $A_1A_2$ 上构造一个正则 2n 边形 (图 4)。那么原多边形的所有边（除了三个）分别与正多边形的边平行，并且三个（$A_1A_2$，有趣的是）位于正多边形的边上。因此，从内部点$M$到正确多边形边的距离为：

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

其中 $b_1, b_2, b_3$ 是常数，所需的总和

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. 如果将等角等边多边形的边串联起来，就会得到半正等边多边形。

事实上，根据性质 2，半正等角多边形的所有小对角线都彼此相等。等边形 (图 5) 的边长是这些对角线大小的一半，因为它是线性三角形 $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$ 的平均值。利用属性7，安装方便