令人惊叹的溜冰场

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板在圆形滚轮上移动。同时，它保持水平位置并保持相同的高度。为什么会发生这种情况？是的，因为无论怎样旋转，圆的宽度都是相同的。

如果使用非圆形滚轮，坞站也会以同样的方式移动吗？乍一看，这似乎是不可能的。不过，我们不要着急。事实证明，存在一些曲线，就像圆一样，在所有方向上都具有相同的宽度。它们被称为相同宽度的线。

这种最简单的曲线之一如图 1所示。它由两个半径为$r$的$A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$和两个半径为$R$的$B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$组成，其中心位于正三角形$O_1O_2O_3$的顶点。容易看出，这条曲线的宽度在各个方向上都是相同的，等于$R+r$。因此，轮廓沿着此类曲线连续的滚子的工作效果并不比圆形滚子差 (图 2)。

图1处所示的曲线可以如下获得。让我们将线段 $A_1B_3$ 绕点 $O_1$ 旋转 $60^\circ$ 并将其移动到位置 $B_1A_2$。然后，将线段$B_1A_2$绕点$O_2$旋转$60^\circ$，得到线段$A_3B_2$，最后将线段$A_3B_2$绕点$O_3$旋转$60^\circ$，又得到线段$A_1B_3$。在这些转弯的过程中，考虑线段的一端，弧 $A_1B_1A_3B_3$，另一端 - 弧 $B_3A_2B_2A_1$。因此，图1所示的曲线可以被认为是由某些端点描述的轨迹

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图 3.

所有这些曲线的宽度均已构造，并且等于旋转线段的长度。您可以围绕线段的一端旋转线段。这样我们就得到了最简单的等宽曲线，不同于圆（图 4）。在这种情况下，线段$AB$首先绕点$A$旋转，移动到位置$AB'$，然后绕点$B'$，进入线段$B'B$，最后绕点$B$，闭合曲线。

现在让我们考虑非演员部分$AB$。让它滚动而不沿着SS曲线滑动。然后在每个

图 4.

在单独的时刻，这种运动可以被认为是线段相对于接触点的旋转。当前旋转所围绕的切点称为瞬时旋转中心（例如，图 5 上的点$C$）。

瞬时旋转中心的思想可以很容易地计算线段$AB$上各个点的速度。例如，对于点 $A$ 和 $B$ 的速度，我们有

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

其中$\omega$是线段$AB$绕中心$C$“瞬时”旋转的角速度。在这种情况下，所考虑的点的速度将垂直于相应的旋转半径，即线段$CA$和$CB$。这样，您就可以计算出位于该线段上或与该线段刚性连接的任意点的速度。例如，如果一个非演员人物刚性连接到线段$AB$，则任意点$P$的速度等于乘积$\omega \cdot CP$。

现在让我们回到构造的宽度曲线。让线段$AB$沿着曲线SS滚动。由于速度 $v_A$ 和 $v_B$ 垂直于半径 $CA$ 和 $CB$，因此它们彼此平行。但速度$v_A$是有方向性的

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图 6.

直线与点$A$的轨迹相切，速度$v_B$与点$B$的轨迹相切。因此，这些切线彼此平行，并且它们之间的距离始终等于 $AB$。但这意味着轨迹 $A_1A_2$ 和 $B_1B_2$ 可以被视为常数 cyrin 的某些曲线的一部分。

然而，我们需要构建的不是两个部分，而是这条曲线。如果我们想使用所描述的操作来做到这一点，我们必须选择线$SS$，以便通过绘制它，线段$AB$旋转到$180^\circ$，也就是说，使点$A$到达位置$B$，点$B$到达位置$A$。然而，此类行中的$PQRP$ - 显示在图 6 上。让我们更详细地追踪$AB$ 段如何描述它。

首先它沿着区域$PQ$滚动并到达位置$A'B'$。此外，它的末端描述了弧$AA'$和$BB'$。然后它沿着截面$QR$滚动，其末端描绘出弧线$A'A''$和$B'B''$。最后，它标记了部分$RP$，其末端沿着圆弧$A''B$和$B''A$移动。结果，点$A$到达位置$B$，点$B$到达位置$A$，构造的cirina曲线闭合。在这种情况下，弧$PQ$，$QR$

和 $RP$ 可以具有任何形状，并且不必相同。对它们唯一的要求是它们是凸的并且相互接触，如图所示。至于线段$AP$和$PB$，它们的长度不能是任意的，否则点$A$所描述的弧将不会“加入”点$B$所描述的弧。在这里您可以按如下方式构建。让我们通过点 $P$ 画一条与圆弧 $PQ$ 相切的直线，并将点 $A$ 放置在其上。现在让我们迫使这条直线到达线 $PQRP$。然后，将覆盖点 $A$ 的圆弧末端确定点 $B$ 的位置。

线$PQRP$（如图 6 所示）由三个圆弧组成。但弧的数量可能会更多。例如，在 图 7 上显示了构造的 tsirina 曲线，该曲线是通过绘制由弧尾组成的线 $PQRSTP$ 获得的。

构造出的 cirina 曲线还有一项特性使它们与圆形相似。它们由以下定理表示：

构造的 cirina 曲线的周长为 $l=\pi D$，其中 $D$ 是该曲线的宽度。

我们来证明一下这个定理。

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图 8.

使用恒定宽度 (图 8) 的滚轮移动水平直线$PQ$。远处是这些溜冰场之一，例如左边的那个。设其宽度为$D$，周长为$l$。当直线 $PQ$ 移动太多，使滚轮转一圈时，它相对于直线 $MN$ 向右移动距离 $l$。但由于它不仅沿着直线$MN$滚动，而且还沿着直线$PQ$滚动，那么转一圈后，它就会相对于直线$PQ$向左折叠距离$l$。因此，直线$PQ$相对于直线$MN$的位移将等于$2l$。

但由于同样的混合等于$vt$，其中$t$是滚筒转一圈的时间，那么

$$2l = vt. \tag{1}$$

（我们假设直线$PQ$匀速运动。）滚轮的瞬时旋转中心在$A$点，即运动速度

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

其中$\omega$是滚子的角速度。将这个表达式代入等式(1)，我们得到

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

但$\omega t$是滚筒每转一圈的旋转角度。因此，

$$\omega t = 2\pi,$$

等式 (2) 的形式为

$$2l = 2\pi D,$$

在哪里

$$l = \pi D.$$

因此，等宽曲线的周长的计算方式与圆的周长相同。等宽曲线围成的面积是多少？可以和圆的面积一样计算吗？事实证明并非如此。然而，恒定宽度的肩胛骨面积可以计算为两个同心圆之间的肩胛骨面积。更准确地说，这意味着以下内容。

考虑一条恒定宽度的曲线 (图 9)。通过任意点$C$，我们在其上绘制一条法线（通常称为垂直于切线的直线），并沿其绘制给定长度$d$的线段$CC'$。通过从给定曲线的每个点留出这样的线段，我们获得一条新曲线，它是延迟线段末端的几何轨迹。显然，它也将具有恒定的宽度。如果我们现在用 $S$ 表示这些曲线之间封闭的面积，那么等式将为真

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

其中 $D_1$ 是内曲线的宽度，$D_2$ 是外曲线的宽度。

尝试自己证明一下。