Проективная плоскость

Квант 1974, №3 с. 9-14 Тег FRBS

Рисунки и планы

Недавно, переписывая учебник природедения для 3-го класса, я обращил внимание на две картины: класс, нарисованный художником (рис. 1), и план того же класса (рис. 2). Взгляните на них. Класс на рисунке 1 изображен таким, каким вы его видите, стоя у доски. А план? Takим вы свой класс наверняка не видели, даже забравшись на стул, поставленный на пары.

Однако сделать хороший рисунок класса, комнаты, двора — задача гораздо более трудная, чем нарисовать соответствующий план. Действительно, чтобы нарисовать план, достаточно набраться терпения и изменить размеры предметов и расстояния между ними, а затем в соответствиицем масштабе переести на лист бумаги. Задча, волне посильная любому третьекласснику.

А рисунок? «Для этого нужен талант», — скажете вы. Что же, несомненно, Галя Мисевич из Киева — талантливая девочка, рисунок, сделанный его в семилетнем возрасте (рис. 3), украшал обложку журнала «Мурзилка». Оdnako что-то в нем не так. В нем… отсутствует персонка!

Впервые правильным изображением персонтуры сервисно занитересовались художники эпохи Возрождения, в особенности Альбреxt Дюер (1471—1528) и Леонардо да Винчи (1452—1519). Затем к решению этой задачи присутствили математики и создали красивую науку — проектныйную геометрию, ее основы были заложены Жераром Дезартом (1593—1661) и Блезом Паскалем (1623—1662).

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

Взгляните в окно. Вы увидите пейзаж. А теперь представьте себе, что это не окно, а картина. «Автору» этой картины, очевидно, невозможно поставить в упрек плохую перспективу. Попробуем повторить эту картину, например, мелом прямо на оконном стекле. Встановим и подем к окну. И тут же «картина» начинает изменяться — на ней появятся новые предметы, а те, которые были прежнее, станут перемешаться и менять свою форму. Однако doit до okна и попытаться изобразить то, что мы видим. Наскетет неудача: маленьшее движение головой, и картина меняется, изобразения передвигаются на другие места. Что же делать?

Взгляните на гравюру А. Дюрера (рис. 4). С помощью остроумного приспособления художник рисует базу так, как она видна из точки, в которой ввервка прикреплена к стене. Пользовесь этим инструментом и вы сможете правильно изобразить перспективу пейзажа в вашем окне. Однако не думайте, что вы уже стали художником. Еще точнее эту картину воспроизведет фотоаппарат, а для того, чтобы картина стала действительным художственным произведением, нужно талант.

Но оставим на время живопись и перейдем к геометрии. Расссмотрим схему метода Дюрера (рис. 5). Зададим в пространстве плоскость P и точку O. Для того чтобы построить изображение точки N на плоскости P, проведем прямую через точки N и O. Точка N₁, в которой эта прямая пересечет плоскость P, и будет изображением точки N на плоскости P. Такой метод построения изображения называется центральной проекцией на плоскость P из точки O.

Расссмотрим центральную проекцию из некоторой точки O фигур, ле-

Жаших в горизонтальной плоскости $Q$ , на вертикальной плоскость $P$ (рис. 6). Заметим, что при этом приемые будут переходить в прямые. Действительно, проведем плоскость через прямую на плоскости $Q$ и точку $O$ . Линия ее пересечения с плоскостью $P$ и будет изображением выбранной прямой. Ясно, что если две прямые пересекаются (не на прямой $l_2$ , см. далее рис. 8), то их изображения тоже пересекаются. Могут пересекаться даже изображения параллельных прямых (рис. 7), причем точка $N_1$ пересечения этих прямых лежит на прямой $l$ , проходящей через точку $O$ и параллельной плоскости $Q$ (так «пересекаются» на горизонтте рельсы железной дороги).

А какой прямой на плоскости $Q$ соответствует «горизонтальная» прямая $l_1$ на плоскости $P$ — «линия горизонтала»? Такой прямой нет. В то же время для любой другой прямой плоскости $P$ найдется прямая на плоскости $Q$ , которая ей соответствует (проверьте). С другой стороны, для прямой $l_2$ пересечения плоскости $Q$ с плоскостью $R$ (R параллельна плоскости $P$ и проходит через точку $O$ , см. рис. 8) и только для этой прямой не найдется изображения на плоскости $P$ ни для одной из ее точек, да и образы прямых, параллельных $l_2$ и лежащих в $Q$ , на $P$ не пересекаются. Стремление устранить такую «дискриминацию» привело к созданию понятия проективной плоскости.

рис. 5.
рис. 7.

рис. 6.
рис. 8.

Проектная плоскость

Мышленно дополним общную плоскость точками еще одной «прямой», который будем называть «бесконечно удаленной» (ее точки также будем называть «бесконечно удаленными»). Связжем элементы плоскости с новым введенными элементами.

Во-первых, будем считать, что любая прямая плоскости пересекается с бесконечно удаленной прямой и притом в единственной точке (эта точка, естественно, будет бесконечно удаленной, поскольку она принадлежит бесконечно удаленной прямой).

Во-вторых, будем считать, что любая прямая, параллельная данной, пересекается с бесконечно удаленной прямой в той же точке, что и данной. тогда эта точка является точкой пересечения всех прямых, параллельных данной (в смысле параллельности на общий плоскости).

Тепер при центральном проектировании прямую $l_1$ можно считать образом «бесконечно удаленной прямой» плоскости $Q$ , а образом прямой $l_2$ — «бесконечно удаленную прямую» плоскости $P$ , при этом лишь для точки пересечения «бесконечно удаленной прямой» плоскости $Q$ с прямой $l_2$ не найдется места на прямой $l_1$ , то есть эта точка остanetся «бесконечно удаленной» (и аналогично для «бесконечно удаленной прямой» плоскости $P$ и прямой $l_1$ ).

Каковы же свойства полученной проективной плоскости? А это зависит от того, с какой точки зрения их расматривать. Наболее естественного расматривать те свойства проективной плоскости, которые не меняются при центральном проектировании. Действительно, при этом страется разница между прямыми на первоначальной плоскости и бесконечно удаленной прямой, поскольку свойства бесконечно удаленной прямой плоскости $Q$ будут в таком случае полностью соответствовать свойствам прямой $l_1$ плоскости $P$ .

Перечислим основные из этих свойств:

Для любых двух точек существуют одна и только одна прямая, который они одновременно принадлежат.
Любые две прямые пересекаются в одной и только в одной точке.

При этом придается и обуглах между прямыми, плосккими их величины не сохраняются при центральном проектировании, и о расстояниях между точками. Каждый это обстоятельство обедняет геометрию проективной плоскости. Тем не менее получается больше и содержательная теория, которая носит название проективной геометрии и отличается чрезвычайным изящностью своих теорем. Вот одна из них.

Теорема Дезагра. Пусть данные при прямые, пересекающиеся в точке $O$ . Пусть на одной прямой лежат точки $A$ и $A_1$ , на другой — $B$ и $B_1$ , на третьей $C$ и $C_1$ . Тогда точки пересечения прямых $AB$ и $A_1B_1$ ,

Рис. 9.

Рис. 10.

AC и A₁C₁, BC и B₁C₁ лежат на одной прямой (рис. 9).

На общий плоскости в этой теореме приходит отделно отоваривать ряд случаев, когда какие-либо прямые параллельны. А вот еще одна теорема.

Теорема Паппа. Пусть на одной прямой даны точки A, B и C, а на другой — точки A₁, B₁ и C₁, мода точки пересечения прямых AB₁ и A₁B, AC₁ и A₁C, BC₁ и B₁C лежат на одной прямой (рис. 10).

И эта теорема на общий плоскости нуждается в уточнениях в случае параллельности тех или иных прямых.

Одним из самых замечательных свойств проектной геометрии является «приицп двойственности»: на проектной плоскости какая теорема остается справедливо, если в ней всё слоо «мочика» заменить на слоо «прямая», слоо «прямая» на слоо «мочика» и помещать местами выражения: «лежим на…» и «проходим через…». Примером такой двойственности могут служить указанные выше свойства проектной плоскости.

Упражнение
Сформируйте теоремы, двойственные теорем Дезарга и Паппа.

Тем, кого заинтересовала проектная геометрия, рекомендуем прочитать книги, указанные в конце статьи. А сейчас вернемся к самой проектной плоскости, как к геометрическому объекту.

Модели проектной плоскости

Мы получили проективную плоскость, введя «бесконечно удаленные точки» и «бесконечно удаленную прямую». Можно ли посмотреть, что же из этого получилось? «Бесконечно удаленную прямую» (без одной точки) мы увидели, когда спроектировали проективную плоскость Q на плоскость P. Но при этом «ушли на бесконечноность» другие точки — прямая l₂. Хотелось бы получить такую модель проектной плоскости, в котором были «видны» все точки.

Одна такая модель уже почти построена. А именно, зафиксируем точку O в пространстве и назовем «точками» прямые, проходящие через точку O, а «прямыми» — плоскости, проходящие через точку O. Посмотрите еще раз на рисунки 6—8. Каждый точке.projectивной плоскости действительно соответствует единственной «точка» модели — прямая, проходящая через точку и точку O, а каждой прямой — прямая — плоскость, проходящая через точку и точку O. При этом бесконечно удаля-

Рис. 13.
ленной прямой будет соответствовать горизонтальной плоскость — «прямая», а бесконечно удаленным точкам — лежащие в горизонтальной плоскости прямые (например, $ON_1$ на рисунке 7) — «точки». В этой модели наболее ярко видно равноправие всех точек и прямых проективой плоскости.

Полученная модель очень хорошо для исследования свойств проектной плоскости, однако хотеть бы иметь такую модель, в которой точки были бы точками, а прямые — линиими. Оказывается, такую модель не трудно получить из предыдущего. Добавим еще полусферу с центром в точке $O$ , касающийся плоскости $Q$ (основание полусферы параллельно плоскости $Q$ ). Тогда каждой прямой, соединяющей точку $O$ с точкой на плоскости $Q$ , будет соответствовать точка на полусфере — та самая, в которой эта прямая пересекается с полусферой. Примым обичной плоскости при этом будет соответствовать полукружности на полусфере, проходящие через диаметрально проектированные точки границы полусферы. Семейству параллельных прямых на плоскости $Q$ будет соответствовать две диаметрально проектированные точки на границе полусферы (рис. 11), а бесконечно удаленной прямой — граница полусферы.

К сожалению, каждой «бесконечно удаленной точке» (точке «бесконечно удаленной прямой») соответствует две диаметрально проектированные точки границы полусферы. Чтобы избежать от этого недостатка модели, надо лишь склить между собой две полукружности границы полусферы, но так, чтобы при этом склENVALISHЬ диаметрально проектированные точки. Это сделать, оказываться, совсем не просто. Мало того, что полусферу придает изгибать, придает еще и разрешить ей пересекать саму себя. То, что получится в результате, можно увидеть на рисунке 12 — поверхность сама себя пересекает по линии $AB$ .

В этой модели, естественно, уже трудно хорошего изобразить прямые. Поэтому чаще всего пользоваться другой моделью: круг, диаметрально проектированные точки которого мысленно считаются склеенными. Такая модель получается из модели на полусфере (рис. 11), если эту полусферу проектировать на плоскость $Q$ .

На проектной плоскости можно нарисовать шесть страны, каждые две из которых граничат друг с другом (рис. 13). Заметим, что на обычной плоскости таких странах может быть не больше четырех. Было доказано, что шести красок достаточно для правильной раскраски любой карты на проектной плоскости ( раскраска называется правильной, если любые две страны, имеющие общую границу, раскрашения в разные цвета), а для обычной плоскости до них пор не найдено карты, для правильной раскраски которой не хватило бы четырех красок, но и не доказано, что любую карту можно правильно раскрасти четырьмя красками.

Литература

П. С. Александров, Лекции по аналитической геометрии, «Наука», М., 1968.
Дж. В. Юнг, Проектная геометрия, ИЛ, М., 1949.
Г. С. М. Кокстер, Введение в геометрия, «Наука», М., 1966.