Список читателей, приславших правильные решения

Квант 1974, №3 с. 41, 42, 43, 44, 47 Тег AWUS

подпоследовательности $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ соответствено. Отсюда вытекают равенства (1).

Достаточно. Нам надо доказать, что если последовательности $\alpha$ и $\beta$ длины $3n$ удовлетворяют условиям (1), то эти последовательности эквивалентны. Удобнее доказать более общее утверждение: если последовательности $\alpha$ и $\beta$ длины $k$ удовлетворяют условиям (1), то эти последовательности $\alpha$ и $\beta$ просто совпадают.

Предположим, что в случае, когда $k = p$ , утверждение уже доказано. Докажем его при $k = p + 1$ . Итак, пусть $\alpha$ и $\beta$ — последовательности длины $p + 1$ и пусть выполнен соответствие (1). Пусть, далее, последовательность $\alpha$ состоит из цифр $\{a_1, a_2, \dots, a_{p+1}\}$ , а последовательность $\beta$ — из цифр $\{b_1, b_2, \dots, b_{p+1}\}$ .

a) если $a_1 = b_1$ , то рассмотрим последовательности $\alpha' = \{a_2, a_3, \dots, a_{p+1}\}$ и $\beta' = \{b_2, b_3, \dots, b_{p+1}\}$ . Ясно, что последовательности $\alpha'$ и $\beta'$ удовлетворяют условиям (1). А так как длины этих последовательностей равны $p$ , то можно воспользоваться индуктивным предположением. Таким образом, последовательности $\alpha'$ и $\beta'$ эквивалентны, то есть последовательность $\alpha'$ несколькими перестановками можно перевести в последовательность $\beta'$ . Эти же перестановки переводят $\alpha$ в $\beta$ . Значит, последовательности $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны.

Пусть $a_1 \neq b_1$ , и пусть для определения $a_1 = 1, a_2 = 2$ . Так как $a_1 = 1$ , то $|\alpha_1| > 0$ . Тогда в силу (1) и $|\beta_1| > 0$ . Следовательно, найдется число $q$ такое, что $b_{3q+1} = 1$ . В последовательности $\beta$ помещаем местами соседние точки цифр $b_{3q+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}$ и $b_{3(q-1)+1}, b_{3(q-1)+2}, b_{3(q-1)+3}$ . В результате этой перестановки точки цифр в $b_{3q+1}, b_{3q+2}, b_{3q+3}$ сдинится на 3 цифры влево. Затем помещаем местами эту тройку с рядом стоящей тройкой цифр $b_{3(q-2)+1}, b_{3(q-2)+2}, b_{3(q-2)+3}$ и так далее, после $q$ перестановок получим последовательность $\beta''$ , первый цифр которого будет $b_{3q+1}$ , то есть 1. Последовательности $\beta$ и $\beta''$ эквивалентны и поэтому, как было доказано выше, удовлетворяют условиям (1). Значит, последовательности $\alpha$ и $\beta''$ удовлетворяют условиям (1). Но первые элементы этих последовательностей совпадают. Таким образом, случай 6) свелся к уже разобраному случай a). Теорема доказана.

Желающие могут попытаться решить задачу в еще более общем виде:

В последовательностях, состоящих из цифр 1 и 2, разрезается менять местами любые две рядом стоянце подпоследовательности длины $k$ . Сколько существует неквивалентных последовательностей, состоящих из цифр $(n \geq k)$ ?

Москва) 11, 14; И. Кирова (Болгария) 13; И. Клевчук (с. Ставчаны Черновицкой обл.) 11; М. Кобозев (Киев) 14; В. Кобилецкий (Баку) 11—13; Е. Ковкрак (д. Рудня-Журавлева Гомельской обл.) 13; А. Колодин (Коломья Ивано-Франковской обл.) 12, 13; В. Конев (Ангарск) 13; А. Корлам (с. Чугленны МССР) 13, 14; С. Коршунов (Монино Московской обл.) 06, 09, 11—14; В. Костманян (Москва) 13; А. Костмонин (Люберцы Московской обл.) 12; А. Команов (п. Цалка ГССР) 13; А. Коменко (с. Березовая Рудка Полтавской обл.) 13; А. Кошутин (Челябинск) 14; А. Кукуш (Киев) 09, 12—14; А. Кумахов (с. Лесен КБАССР) 11—13; М. Левин (Витебск) 12, 13; А. Леосстев (Москва) 11; С. Лифцц (Харьков) 11, 12; М. Любич (Харьков) 06, 07, 10, 11, 13, 14; Е. Мазур (Дербенг) 07; А. Макарцев (Львов) 06, 12—14; С. Макаров (Саратов) 11, 13, 14; С. Малинский (Полтава) 14; В. Мацукамов (п. Цалка ГССР) 13; С. Мельник (Харьков) 06, 07, 09; А. Мехович (Владивосток) 13; В. Мильман (Минск) 11, 12, 14, 15; А. Мирошинченko (Харьков) 13, 14; А. Михеев (Шаxtы) 13; А. Михлин (Курск) 11, 12; Ю. Муранов (Москва) 11—14; Р. Мусин (с. Никитино Оренбургской обл.) 13; Г. Мустафаев (Сназань Аз. СССР) 06, 11, 13, 14; И. Муха (Тернополь) 12, 13; А. Навасардян (Ереван) 13; Ю. Неремин (Москва) 06, 08, 11, 13—15; А. Николаев (Москва) 06, 11, 12; Б. Ниязбеков (Алмальк Ташкентской обл.) 13; И. Новиков (Куйбышев) 06, 11; С. Нужный (Куйбышев) 11—14; С. Охимин (Оренбург) 11—13; И. Панин (Апатиты) 11, 12; П. Парамонов (Москва) 09, 11—13; Е. Пасике (Харьков) 06, 11, 13, 14; Ю. Пинелис (Кзыл-Орда) 12—15; А. Поносов (Пермь) 06, 08; Р. Пормной (Черновцы) 12; Д. Пошцишили (Тбилиси) 11; Ю. Промас (Кагул МССР) 13, 14; С. Путинцев (Кемерово) 06, 11—15; А. Разгулев (Клин Московской обл.) 06, 12; А. Рашковский (Харьков) 06, 12, 13; А. Резников (Киев) 11, 12, 14; С. Родинов (Саратов) 13, 14; Р. Рожков (Москва) 08, 11—14; Ф. Рожков (Рязань) 08, 11—14; Б. Розенштейн (Каменец-Подольский) 06; Д. Ромашов (с. Галкино Курганской обл.) 13, 14; А. Рубашевский (Киев) 12; Л. Рубинштейн (Калининград) 13, 14; А. Рязанов (Новокузнецк) 06, 11, 12; Ш. Сайнаров (ст. Нурская ЧИАССР) 13; П. Самовол (Гайворон Кировогradской обл.) 12, 13; М. Canир (Свердловск) 11—14; С. Самовоский (Харьков) 11, 13; В. Сац (Киев) 13, 14; Т. Сельбирак (Полша) 11—14; В. Семененко (Ставрополь) 13; В. Семенов (Чебоксары) 13; А. Симонян (Фрунзе) 13; Г. Скляр (Харьков) 06, 10—15; С. Скоков (д. Соковни, г. Слободской) 14; В. Слеопой (Фрунзе) 13; А. Слеаренко (Рубцовск Алтайского края) 09, 11—14; Ф. Смирнов (Ленинград) 06; Г. Сорокин (Актюбинск) 12—14; С. Табачников (Москва) 06, 08, 09, 11—13; Т. Талько (п/o Олеяня губа Мурманской обл.) 13; С. Тауури (п. Ле

поэд со стороны воды действует сила, равная по абсолотной величины

$F = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = \mu v.$

Следовательно, чтобы скорость поэд не изменилась, именно на величины силы $F$ и должны возрасти сила тягги локотива во время дждя. А его мощность должна возрасти на

$\Delta N = Fv = \mu v^2 = 4 \cdot 10^4 (\text{вт}).$

Ф219. В верхкальном цилиндре имеется п модель идеального одноатомного газа. Цилиндр закрыт сверху поршнем массы $M$ и плочади $S$ . Вначале поршень удерживается неподвижным, газ в цилиндре занимает $V_0$ и имел температуру $T_0$ . Затем поршень освободили, и после нескольких колбаций он пршел в состоянии покоя. Пренебрегая в расчемах всему силами претеня, а также мелюмокстую поршня и цилиндра, найти температуру и объем газа при новом положении поршня.

Вся система теплозоливана. Атмосферное давление равно $p_a$ .

В начальной момент (сразу после того, как поршень освободили) на поршень действуют три силы: сила тяжестеи и сила атмосферного давления, направленные вниз, и сила давления газа в цилиндре, направленная вверх. Если равноведействующая всех сил направлена вниз, то поршень начинает двигаться вниз, если же равноведействующая направлена вверх, поршень будет подниматься вверх.

Для определения будем считать, что поршень смешается вниз. Запишем уравнение состояния газа в цилиндре при равновесном положении поршня:

$pV = nRT.$

Из условия равновесия поршня

$p = p_a + \frac{Mg}{S}.$

Позетом

$\left( p_a + \frac{Mg}{S} \right) V = nRT.$

Мы получили уравнение, связывающее $V$ и $T$ . Оdnako для того чтобы найти $V$ и $T$ , необходимо иметь еще одно уравнение. Его можно получить, воспользовавшись законом сохранения энергии. Так как сосуд теплозоливан, а силы претеня и теплоемкость поршня и цилиндра пребрежимо мылы, то работа, совершенная над газом, равна изменению его внутренней энергии:

$A = \Delta U.$

Как известно, внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа равна

$U = \frac{3}{2} RT,$

где $R$ — универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия $n$ молей равна $\frac{3}{2} nRT$ , а изменение внутренней энергии газа при изменении его температуры от $T_0$ до $T$ равно

$\Delta U = \frac{3}{2} nR(T - T_0).$

Теперь найдем работу по скатною газа. Эта работа совершается силой атмосферного давления и силой тяжестеи. Поэтому она равна

$A = \left( p_a S + Mg \right) h,$

где $h = \frac{V_0 - V}{S}$ — расстояние, на которой сметчился поршень. Таким образом,

$\frac{3}{2} nR(T - T_0) = \left( p_a + \frac{Mg}{S} \right)(V_0 - V).$

Заметим, что если поршень движется вверх, газ сам совершает работу против атмосферного давления и веса поршня, при этом его внутренняя энергия уменьшается. Равенство (2) остается справедливым и в этом случае.

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем

$T = \frac{3}{5} T_0 + \frac{2}{5} \left( p_a + \frac{Mg}{S} \right) V_0,$

$V = \frac{2}{5} V_0 + \frac{3}{5} \frac{nRT_0}{p_a + \frac{Mg}{S}}.$

Ф220. Экран освещается паралельным лучем, перpendикулярным плоскостям экрана. Как изменяется освещенность экрана, если на пути света посмываем признам ABC с малым углом расстояния α и показателем преломления n, причем граны AB паралельна экрану (рис. 11, а)? Отражением света om признам пребрежень.

Световые лучи, попавшие на призму, преломляются на ее грани BC и попадают на участок экрана DF (рис. 11, б). При этом на участок света лучи совсем не попадают, поэтому его освещность равна нулю, а участок EF освещается как прямым лучом, так и лучами, прошедшими через призму.

Найдем сначала освещность участка DE, куда попадают только преломленные признам лучи. Если освещность признам и экрана прямыми лучами обозначит $E_0$ , то через признам проходит световой поток $\Phi = E_0 \cdot AB \cdot d$ (AB $\cdot d$ — площадь грани AB). Попадая на участок экрана DF, этот световой поток распределяется по нему равномерно (так как лучи и после признам идут паралельным лучом). и создает освещность

$E = \frac{\Phi}{DF \cdot d} = E_0 \frac{AB}{DF}$

Рис. 11.

(DF·d — площь соответствующего участка экрана).

Из рисунка 11, 6: DF=NC=MC-MN. Но MC=AB, а MN=BM tg γ=AB tg α tg γ. Позмоту DF=AB—AB tg α tg γ=AB (1−tg α tg γ) и

$\frac{AB}{DF} = \frac{1}{1−tg α tg γ}.$

Углы α и γ не независимы: γ = β−α, где β−γ угол преломления лучей. Из закона преломления света sin β = n sin α, то есть β = arcsin (n sin α). Так как угол α мал, а величины n обычно порядка 1, то можно считать, что β = arcsin (nα) = n α. Тогда

$\gamma = nα−α = α(n−1).$

Следовательно,

$\frac{AB}{DF} = \frac{1}{1−tg α tg γ} = \frac{1}{1−αγ} = \frac{1}{1−(n−1)α^2}$

$E = E_0 \frac{AB}{DF} = E_0 \frac{1}{1−(n−1)α^2}.$

Таким образом, на участке DE освещенность увеличился в

$\frac{E}{E_0} = \frac{1}{1−(n−1)α^2}$ раз,

а на участке EF — в

$\frac{E_0+E}{E_0} = 1 + \frac{1}{1−(n−1)α^2}$ раз.

Ф221. На неподвижном круглом цилиндре радиуса R лежит дока, как показано на рисунке 12, а. Толщина дока равна h. При каком соотношения между h и R равновесие доки будем установить? Треннее между докой и цилиндром велико.

Чтобы выяснить, каким является равновесие доки, надо повернуть ее относительно цилиндра на небольшой угол α и посмотреть, что будет дальней.

Так как трение между докой и цилиндром велико, то при повороте доки она не скользит по цилиндру, но высота ее центра также изменяется. При этом положение равновесия доки будет устойчивым, если при повороте центр тяжести доки поднимается. Поэтому для того чтобы решить задачу, нужно найти положение центра тяжести доки в горизонтальном положении, затем найти положение центра тяжести доки, повернуть на малый угол α, и записать условие, что в этом новом положении центр тяжести доки находится выше, чем в преднем.

Будем все высоты отсчитывать от горизонтальной плоскости, проходящей через середину цилиндра.

Когда дока горизонтальная, ее центра тяжести — точка C — находится на высоте (см. рис. 12, 6)

$H_1 = OC = R + \frac{h}{2},$

а в новом положении — на высоте

$H_2 = C'M.$

Свяжем высоту H₂ с R, h и α, для чего сделаем некоторые дополнительные построения. Опустим из точки C’ перpendикуляр на сторону доки, опирающийся на цилиндр, то есть на основание доки, до пересечения с этой стороной в точке B’. Затем из точки O проведем радиус в точку касания A и продолжим его до прямой, проходящей через точки C’ и параллельной основанию доки; получим точку D. Телерь из точки D опустим перpendикуляр DF на горизонтальном плоскость и перpendикуляр DE на прямую C’M.

Высота

$H_2 = C'M = C'E + EM.$

Конфуз с «Обратной теоремой»
(Окончание, нацало см. на c. 25)

Если ты всю жизнь считаешь, что в деньх счастье . . . Если ты, наконец, крадя их, добиваешь . . . «Дети, если верна прямая теорема», если в деньх счастье . . . Прямая, может быть, верна.Собратной вышел конфуз. Крадные деньги не дали Назарову счастья . . . «Дети, если верна прямая теорема, это еще не значит, что верна и обратная ей». Как решить эту теорему?>

Оставим в стороне страны обороты речи вроде «теоремой мы называем такие рассудения» или «как решить эту теорему». Разберемся лишь в том, какую же теорему имеет в виду автор, тем более, что приведенный пассаж ему, видимо, так понравился, что послужил даже поводом для названия повести.

Насколько можно понять, «прямой теоремой» автор называет утверждение «если есть деньги, то есть счастье». И свой повестью он достаточно убедительно показывает, что эта «теорема», верна в справедливость которой составляла жизнь кредо Назарова, не верна — добиться нечесным путем деньги счастья не приносит. Автор направил пшет: «Прямая (теорема), может быть, верна». Она не верна: выражаясь математическим языком, история Назарова — контрпример, опровергающий ее справедливость.

А при чем же здесь обратная теорема? Увы, совершенно ни при чем (хотя, кстати, и она не верна). Видимо, автор, увлекшись внешней «красивостью» своих рассудений, не удосяжился разобраться по существу в том, что же такое прямая теоремы.

Н. Х.