Задачи М251—М255; Ф263—Ф267

Квант 1974, №3 с. 34 Тег 7GIM

Задачик кванта

Решения задачи из этого номера можно посылать не позднее 1 мая 1974 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: Задачик «Кванта», М251, М252 «или»… Ф263». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылите в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта”», «новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наиболее трудные отмечены звездочек.

Задачи

M251-M255; Ф263-Ф267

M251. Дано $n$ физек несколько цветов, причем физек каждой цвета не более $\frac{n}{2}$ . Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две физки одинакового цвета не стояли рядом.

Ф. Г. Шлейфер

M252. a) На плоскости лежит правильный восмытогольник со стороны $a$ . Его разрешается «перекатывать» по плоскости, переворочная (симметрично отражая) относительно любои стороны. Докажите, что для любои точки $M$ плоскости и любою $\varepsilon > 0$ можно перекать восмытогольник в такое положение, что центр его будет находиться от точки $M$ на расстоянии меньше $\varepsilon$ (рис. 1).

Решите аналогичную задачу для правильного пятугольника.

в *) Для каких правильных $n$ -угольников верно аналогичное утверждение?

Г. А. Гальперин

M253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответствующими вписанной, описанной и одной из внешисанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстанавливайте треугольник?

(Напомним, что внешисанный окружность треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолженной двух других сторон.)

Б. В. Мартынов

М254. Вычисление значения
$\sqrt{0,11111\ldots11111} \approx 100$ с точностью
a) 100 знаков после запятой;
b) 101 знака после запятой; в *) 200 знаков после запятой.

А. А. Егоров

М255 *. АВ и CD — две различные касательные к двум данным шарам (А и С принадлежат поверхностям одного шара, В и D — другого). Докажите, что проекции отрезков AC и BD на прямую, проходящую через центры шаров, равны.

И. Ф. Шарыцин

Ф263. Матрирование стекло (одна из поверхностей стекагладая, другая шероховатая) прикладывают к чертежу: один глазгла驹 поверхность кверху, другой глаз — книзу. В одном случае чертеж виден хорошего, в другом — разобрать его невозможно. Почему?

Ф264. Две одинаковые круглые плоские металлические пластины, расположенные так, как показано на рисунке 2, врашают с угловой скоростью $\omega$ в противоположные стороны в магнитном поле, перепendlулярном плоскостям пластин. Индукция магнитного поля равна $B$ , расстояние между пластинами $a$ . Оси пластин соединяют проводником. Найти установившееся распределение плотности зарядов на пластинах.

Рис. 2.

Ф265. Мальчик, сидящий на санках, хочет поднять себя к стене с помощью вервки, прикрепленной к санкам и перекинуточей через блоки

Рис. 3.

Рис. 4.

(рис. 3). Каким должен быть для этого коэффициент треня мальчика о санки, если масса санок $m$ , масса мальчика $M$ , коэффициент треня полозьев санок о снег равен $k$ ?

Ф266. U-образная трубка движется с постоянной скоростью $v$ параллельно поверхности жидкости (рис. 4). Сечение нижней части трубки, опущенной в воду, равно $S_1$ , а верхней, находящейся над водой, — $S_2$ . Какая сила приложена к трубке? Плотность жидкости $ρ$ . Треннем и образованем волн на поверхности жидкости пребрежь.

Ф267. Космический корабль сферической формы движется вокруг Солнца по круговой орбите. Какова температура корабля, если энергия, излучаемая единицей площади поверхности Солнца и корабля, пропорциональна четвертой степени их абсолотных температур? Космонавты, которые находятся на корабле, видят Солнце в угле 30°. Термературу поверхности Солнца принять равной 6000 °К.