Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

60

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Мы помещаем ниже образцы вариантов письменного экзамена по математике и билетов устного экзамена по физике, предназначенных в 1973 году поступающим на естественные факультеты Московского университета.

Математика

Химический факультет

1. Алик, Боря и Вася покупали трехопециальные карандаши и блокноты. Алик купил 4 карандаша и 2 блокнота, Боря — 6 карандашей и блокнот, Вася — 3 карандаша и блокнот. Окзапось, что суммы, которые уплатили Алик, Боря и Вася, образуют геометрическую прогрессию. Сколько стоит блокнот?

2. Решить неравенство

$$\log_4 (5 - 3^x) \cdot \log_2 \left( \frac{5 - 3^x}{8} \right) \geq -1.$$

3. Найти все действительные $x$, удовлетворяющие

$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = (1 - x^2)^{-\frac{\sin^2 x}{\sin x + 1}}.$$

4. Плоскость основания правильно четырехугольной прямоды проходит через центр шара, причем получаются в сечени большей круг шара вписан в основание прямоды. Внутрь прямоды помещен еще один шар, касающийся боковых граней прямоды и первого шара. Известно, что радиус второго шара равен 2, а точка касания шаров отстотит от основания прямоды на расстояние, равное одной тремя высотами прямоды. Найти объем прямоды и величины дугранного угла при боковом ребре прямоды.

5. В прямогольный треугольник ACB высан квадрат CEKM так, что его вершина K лежит на гипotenuse AB, а вершины E и M — на катетах. Сторона этого квадрата относится к радиусу круга, высанного в треугольник ACB, как $(2 + \sqrt{2}) : 2$. Найти углы треугольника ACB.

Факультет биологии

1. Три каменщика (разной квалификации) выложили кирпичную стенку, причем первый каменщик работал 6 часов, второй 4 часа и третий 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй 2 часа и третий 5 часов, то было бы выполнено лишь $2/3$ всей работы. За сколько часов каменщика закончили бы классу, если бы они работали все вместе одно и то же время?

2. Решить уравнение

$$2 \cos 2x - 1 = (2 \cos 2x + 1) \mathrm{tg} x.$$

3. Решить уравнение

$$\log_{\sin 2x} (tg x + \ctg x) = 1 - \log_{\sin 2x}^2 2.$$

4. Через середину $M$ стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$, площадь которого равна 1, и вершину $A$ проведена прямая, пересекающая диagonаль $BD$ в точке $Q$. Найти площадь четырехугольника $QMCD$.

5. Найти все значения действительного параметра $a$, для которых неравенство

$$4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \leq 0$$

имеет хотя бы одно решение.

Геологический факультет

1. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} x + \sin (x + y) = \frac{3}{2}, \\ 3x - \sin (x + y) = \frac{5}{2}. \end{cases}$$

2. Решить неравенство

$$4^{-x} + \frac{1}{2} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0.$$

3. Два величины выхали из пункта $A$ одновременно и в одном направлении. Первый величины детет со скоростью $7 \text{ km/ч}$, второй — со скоростью $10 \text{ km/ч}$. Через 30 минут из пункта $A$ в том же направлении выхал третий величины, который через некоторое время догнал вершиной величины, а еще через полтора часа после этого догнал и второго величины. Определить скорость третього величины.

4. Решить неравенство

$$\log_2 (2x - x^2) \left(x - \frac{3}{2}\right)^4 > 0.$$

5. На плоскости данных прямой угла, касается одной стороны угла, пересекает другую его сторону в точках $A$ и $B$ и пересекает биссертису прямого угла в точках $C$ и $D$. Известно, что $AB = \sqrt{6} \text{ cm}$, $CD = \sqrt{7} \text{ cm}$. Найти радиус окружности.

Факультет почтовения

1. Общий вес снаряжения туристской группы 202 кг. Если распределить его так, чтобы каждому юноше пришлось нести по 16 кг, а каждой девушке — по 9 кг, то 4 кг останутся нераспределенными. Поэтому все

61

юношн берут себе еще по 2 кг каждый, в результате чего удается облегчить рюкзак каждой девушки на 1 кг, а одну из них освободить от груза вовсе; при этом все снаряжение оказывается распределенным. Сколько юношей и сколько девушки участуют в похде?

2. Что больше:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \log_{81} \left( \frac{1}{27} \right)$$

или

$$\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \mathrm{tg}^3 \left( -\frac{8\pi}{3} \right) \cdot \mathrm{ctg} \frac{4\pi}{3}$$?

3. Решить уравнение

$$\cos x (\sqrt{3} + \cos x) - 1 = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} - \sin x (\sqrt{3} + \sin x).$$

4. Две окружности радиуса 32 с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, пересекаясь, делят отрезок $O_1O_2$ на три равные части. Найти радиус окружности, которая касается изнутри обенных данных окружностей и касается отрезка $O_1O_2$.

5. Найти все действительные решения уравнения

$$\log_2 (x^2 + 7) = 5 + \log_2 x - \frac{6}{\log_2 \left( x + \frac{7}{x} \right)}.$$

Географический факультет

1. На прокладке двух параллельных трубопроводов работали два эскаватора. Первый из них наcal работу на 30 минут раныше второго. Когда второй эскаватор прокопал 27 м, оказалось, что он отстает от первого на 1 м. Сколько метров в час прохит каждый из эскаваторов, если известно, что второй прокопывает в час на 4 м больше, чем первый?

2. Упростить выражение

$$5^{\log_{1/5} (1/2)} + \log \sqrt{2} \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \log_{1/2} \frac{1}{10 + 2\sqrt{21}}.$$

3. Сторона $AB$ квадрата $ABCD$ является хордой некоторой окружности, а все остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина отрезка касательной, проведенной из вершины $C$ к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности, если сторона квадрата равна 1?

4. Найти решения уравнения

$$3^{x^2 + 4x} = \frac{1}{25},$$

удовлетворяющие неравенству $x > -3$.

5. Решить уравнение

$$\sqrt{3} \sin 2x - 2 \cos^2 x = 2 \sqrt{2} + 2 \cos 2x.$$

Физика

Билет 1

1. Точчные заряды $q_1 = -1,7 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ и $q_2 = 2 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ находятся от точного заряда $q_0 = 3 \cdot 10^{-8} \text{ к}$ на расстояниях $l_1 = 2 \text{ cm}$ и $l_2 = 5 \text{ cm}$ соответственно. Какую работу $A$ надо совершить, чтобы поменять местами заряды $q_1$ и $q_2$?

2. Переменное движение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. График скорости равнопеременного движения с начальной скоростью. Свободное падение тел.

3. Законы отражения света. Построение изобравжения в плоском зеркале. Построение изобравжения в сферических зерках.

Билет 2

1. Самолет массы $m = 2,5 \text{ m}$ с выключенным motorом спускается, планируя, с постоянной скоростью $v = 144 \text{ km/ч}$ с высоты $h_1 = 2 \text{ km}$ до высоты $h_2 = 1 \text{ km}$, проелев при этом расстояние $l = 10 \text{ km}$. Какую мощность $W$ должен развивать motor самолета, чтобы он мог подняться до высоты $h_1$, проелев расстояние $l$ с той же скоростью?

2. Магнитное взаимодействие токов. Магнитное поле. Сила, действующего на проводник с током в магнитном поле. Индукция магнитного поля. Амперметр. Вольтметр.

3. Собирание и рассевающие линзы. Формула линзы. Построение изобравжения.

Билет 3

1. В бассейн с водой погружен опрокинутный вверх дом тонкостенный цилиндрический сосуд с высотой $h = 1 \text{ m}$ и площадью дна $S = 0,1 \text{ m}^2$. Сосуд заполен жидким маслом плотностью $\rho = 800 \text{ к/м}^3$. От дна сосуда до поверхности воды расстояние $H = 2 \text{ m}$. Найти силу $F$, действующего изнутри сосуда на его дно. Атмосферное давление $p_0 = 10^5 \text{ к/м}^2$.

2. Два рода электричства. Взаимодействие электричских зарядов. Закон Кулона. Влияние среды на силу взаимодействия зарядов. Диэлектрическая проницаемость.

3. Проекционный аппарат. Фотоаппарат. Лупа. Ход луче в этих приборах.

Билет 4

1. Точка лежит на главной оптической оси рассевающей линзы с фокусным расстоянием $f = 25 \text{ cm}$. Расстояние от линзы до изобравнения этой точки $b = 15 \text{ cm}$. На какое расстояние $l$ переместится изобравнение точки, если саму линну подвинуть на расстояние $L = 2 \text{ cm}$ в направлении, перpendикулярном главной оптической оси?

2. Понятие о потенциале. Потенциаль поля для точного заряда (без вывода). Работа перемещения заряда в электричском поле. Разность потенциалов. Связь потенциала с направлением для однородного поля.

3. Явления, подтверждающие сложное строение atom. Способы наблюдания частиц. Строение atom. Излучение и поглощение энергии atomом.