Оценка физической величины

Оценка физической величины

Б.С. Ратнер

В физике, как, впрочем, и в других науках, значения различных величин, получаемые в результате расчетов или экспериментов, определяются с неодинаковой точностью. В одних случаях значение физической величины важно знать с наибольшей точностью, в других случаях достаточно оценить ее примерное значение. Точность подобных оценок может изменяться от порядка величины до нескольких процентов.

В качестве примера оценочного, неточного расчета найдем период колебаний $T$ математического маятника несколько необычным способом. Из школьного курса физики известно, что для малых углов отклонения нити маятника от вертикали величина $T$ находится с большой точностью из формулы $T = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$, где $l$ — длина нити маятника и $g$ — ускорение свободного падения. Наш пример поэтому носит характер чисто

Рис. 1.

22

иллюстративный — никто в реальных условиях не станет приблизительно оценивать величину, уже известную точно. Зато мы сразу будем знать, насколько близка к истине полученная оценка.

Пусть в начальный момент маятник находится в точке $A$ — точке максимального удаления от положения равновесия $B$, при этом нить составляет с вертикалью малый угол $\alpha$ (рис. 1). Период колебаний $T$ — это учетверенный промежуток времени $t$, за который маятник опишет дугу $AB$:

$$T = 4t = 4\,\frac{\smile AB}{v_{\mathrm{ср}}},$$

где $v_{\mathrm{ср}}$ — средняя скорость на этом участке.

Так как угол $\alpha$ мал, дугу $\smile AB$ можно заменить хордой $AB$. Из прямоугольных треугольников $ACO$ и $ACB$

$$AC^2 = l^2 - (l-h)^2$$

и

$$AC^2 = AB^2 - h^2,$$

следовательно,

$$AB = \sqrt{2lh}.$$

Предположим, что

$$v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_0 + v_t}{2} = \frac{0 + \sqrt{2gh}}{2}.$$

Здесь $v_0$ — скорость в начальный момент времени, а $v_t$ — скорость маятника при прохождении положения равновесия. Неточность такого предположения очевидна, так как оно соответствует равноускоренному движению, то есть движению под действием постоянной силы. В нашем же случае на шарик действует переменная по времени сила — тангенциальная составляющая силы тяжести. К сожалению, более близкое к истинному значение $v_{\mathrm{ор}}$ с помощью элементарной математики получить нельзя.

Подставим значения для $\smile AB$ и $v_{\mathrm{ср}}$ в выражение для периода колебаний $T$ и получим

$$T = 8 \sqrt{\frac{l}{g}}.$$