Московский инженерно-физический институт

Квант 1975, №1 с. 64-65 Тег YNVD

Московский инженерно-физический институт

Подробно о Московском ордена Трудового Красного Знамени инженерно-физическом институте мы рассказывали в «Кванте» № 1 за 1973 год.
Ниже приводятся варианты письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике в 1974 году. Содержание теоретических вопросов по физике полностью соответствует программе вступительных экзаменов для поступающих в вузы.

Математика

Вариант 1

1. Из пункта $A$ отправилась моторная лодка вверх по Волге, а из пункта $B$ одновременно вышел плот по течению. Через $a$ часов они встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до пункта $B$ , лодка, не задерживаясь, повернула обратно и догнала плот в пункте $A$ . Предполагается, что собственная скорость лодки была все время неизменной. Сколько времени находились в плавании плот и лодка?

2. Радиус основания конуса равен $r$ , а образующая наклонена к плоскости основания под углом $\varphi$ ; около этого конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$ . Определить объем и боковую поверхность пирамиды.

3. Решить неравенство

$\log_{\frac{4}{3}}\left(\sqrt{x+3}-x\right)>0.$

4. Решить уравнение

$\sin^4 x + \cos^4 x + \sin 2x + a = 0.$

Вариант 2

1. В куске сплава массой в 6 кг содержится медь. В куске другого сплава массой 8 кг содержится меди в процентном отношении вдвое меньше, чем в куске первого сплава. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго куска отделили часть, вдвое большую по массе, чем от первого куска. Каждую из отделенных частей сплавили с остатком другого куска, после чего получили два новых сплава с одинаковым процентным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначальных сплавов?

2. Дана окружность радиуса $R$ . Из ее центра проведены два радиуса $OA$ и $OB$ ,

образующие угол $\alpha$ . В меньший сегмент круга, отсекаемого хордой $AB$ , вписан равносторонний треугольник, одна из сторон которого перпендикулярна к хорде $AB$ . Найти сторону этого треугольника.

3. Решить неравенство

$\log_{\frac{1}{3}}(x-1) + \log_{\frac{1}{3}}(x+1) + {} \\ {} + \log_{\sqrt{3}}(5-x) < 1.$

4. Решить уравнение

$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1-\sin x\cos x\right).$

Вариант 3

1. Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно отправляются пешеход и велосипедист. Доехав до $B$ , велосипедист поворачивает обратно и встречает пешехода через 1 час после начала движения. После встречи пешеход продолжает идти в $B$ , а велосипедист поворачивает и тоже едет в $B$ . Доехав до $B$ , велосипедист снова поворачивает обратно и встречает пешехода через 40 минут после первой встречи. Определить, за какое время пешеход пройдет расстояние от $A$ до $B$ .

2. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен $\alpha$ , а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен $r$ .

3. Решить уравнение

$\log_{\frac{1}{\sqrt{1+x}}} 10\cdot\log_{10}(x^2-3x+2) = \\ = -2 + \log_{\frac{1}{\sqrt{1+x}}} 10\cdot\log_{10}(x-3).$

4. Решить уравнение $\sin^2 x = a^2\sin^2 3x$ $(a>0)$ .

Рис. 1.

Физика

1. Рамка площадью $S = 1$ дм² из проволоки с сопротивлением $R = 0{,}45$ ом вращается с угловой скоростью $\omega = 100$ рад/с в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0{,}1$ тл. Ось вращения рамки лежит в ее плоскости и перпендикулярна к вектору магнитной индукции В. Найти количество тепла $Q$ , которое выделится в рамке за $N = 10^3$ оборотов. Самоиндукцией пренебречь.

2. На тележке смонтированы изотропно излучающий точечный источник света и линза в оправе, прикрепленной к одному концу пружинки жесткостью $k = 2$ н/м (рис. 1). Другой конец пружинки прикреплен к тележке под источником света. Оправа с линзой общей массы $m = 200$ г может без трения перемещаться вдоль тележки, движущейся перпендикулярно к вертикальной стенке. Определите ускорение a, с которым должна двигаться тележка, чтобы пучок света, выходящий из линзы, создавал на экране центральное светлое пятно, освещенность которого не изменялась бы во время движения тележки. Источник света находится на главной оптической оси линзы с фокусным расстоянием $F = 8$ см. Длина нерастянутой пружинки $l_0 = 9$ см.

3. Небольшой шарик, заряд которого $q = 1$ мкк, подвешен на невесомой изоли-

Рис. 2

Рис. 3.

рующей пружинке жесткостью $k = 9$ н/м. Из бесконечности медленно приближают другой небольшой шарик с таким же зарядом и помещают его в точку, где первоначально находился шарик на пружинке. Какую работу совершили при этом электростатические силы?

4. Заряженный шарик массы $m = 10$ г, подвешенный на изолирующей нерастяжимой нити, движется с постоянной угловой скоростью $\omega = 10$ рад/с по окружности радиуса $r = 5$ см (рис. 2). Под точкой подвеса $A$ находится другой, неподвижный заряженный шарик $B$ , причем расстояния $AO$ и $BO$ до центра окружности $O$ одинаковы, а угол $\alpha = 45^\circ$ . Заряды обоих шариков одинаковы. Найти их величину $q$ .

5. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, который представляет собой три металлические пластины площадью $S = 10$ см² каждая, разделенные диэлектриком толщиной $d = 1$ мм с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 4$ . Пластины конденсатора подключены к контуру, как показано на рисунке 3. При каком значении индуктивности катушки $L$ контур будет настроен на длину волны $\lambda = 2{,}5$ км?

6. В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими стенками под поршнем с массой $m = 10$ кг и сечением $S = 50$ см² находится газ. При движении сосуда по вертикали с ускорением $a = 1$ м/с² высота столба газа под поршнем уменьшается на $\eta = 5\%$ по сравнению с высотой в покоящемся сосуде. Считая температуру газа в сосуде неизменной, определите наружное давление $p_0$ . Поршень герметично прилегает к стенкам сосуда.

А. И. Забоев, Г. И. Пантюхов,
В. И. Ростокин, Н. В. Шолохов