Случай на олимпиаде

Рис. 2.

Рис. 3.

Значение периода колебаний, полученное путем оценки, примерно на 27% больше истинного. Чем вызвано такое расхождение? В основном, выбранным нами значением средней скорости, замена дуги хордой малосущественна. На рисунке 2 показаны графики зависимости силы от перемещения для двух случаев: гармонического колебания, когда сила $F_2$ линейно уменьшается по мере приближения к положению равновесия, и использованного при оценке равноускоренного движения, когда сила $F_1$ постоянна. Площади под графиками, равные энергии движения, естественно должны быть равны. Попробуем теперь сравнить про-

межутки времени, затрачиваемые в обоих случаях. Воспользуемся для этого зависимостью $v = v(t)$ (рис. 3). При равноускоренном движении график $v = v_1(t)$ — прямая линия. При гармоническом колебании кривая $v = v_2(t)$ вначале идет выше (тангенс угла наклона кривой при $t = 0$ в два раза больше тангенса наклона прямой), в середине пути наклоны кривых примерно одинаковы, а в конце тангенс угла наклона кривой $v_2(t)$ равен нулю. Но площади под обеими кривыми должны быть равны, так как равны пути. Следовательно, $t_1 > t_2$, что соответствует знаку расхождения в значении периода колебаний.

Случай на олимпиаде

Только что закончилась школьная олимпиада. Всегда самой легкой задачей бывает первая, но в этот раз начались споры даже из-за ответа. В условии первой задачи было сказано: Найти все значения параметра a, при которых уравнение $x^2 - |x| + a = 0$ имеет единственный корень.

— Я решал задачу так,— сказал ученик Крестиков. — Известно, что $x^2 = |x|^2$, поэтому вместо дан-

ного уравнения можно написать такое:

$$|x|^2 - |x| + a = 0.$$

Так как оно квадратное относительно $|x|$, то единственный корень может быть только в случае, когда дискриминант равен нулю, то есть при $a = \frac{1}{4}$. Значит, $a = \frac{1}{4}$.

— Вовсе нет,— сказал ученик Нуликов.— Смотри, как решал я. Пусть данное уравнение имеет корень $x_0$. Ясно, что $-x_0$ тоже будет его корнем. А для того чтобы корень был единственный, необходимо, чтобы $x_0 = -x_0$. Это возможно только при

$x_0 = 0$. Подставив это значение $x$ в уравнение, видим, что $a = 0$, а не $\frac{1}{4}$ !

— Вы оба не довели решение примера до конца,— сказал ученик Квадратиков.— Надо было еще…

— Ничего уже не надо,— безапелляционно заявил ученик Треугольников.— Все и так ясно.

Попробуйте ответить на такие вопросы.

1. Чей ответ верен?

2. Что имел в виду Квадратиков?

3. Что ясно Треугольникову?

В. И. Рыжик

23