Функциональные уравнения

Функциональные уравнения

А. М. Лопшиц

Прежде чем начать чтение этой статьи, вам нужно убедиться, что вы хорошо владеете важным математическим понятием «функция». Поэтому мы советуем прочитать статью А. Н. Колмогорова *) и те страницы школьных учебников, в которых это понятие вводится и разъясняется.

Напомним, что для задания функции от вещественного аргумента, значения которой также являются вещественными числами (только такие функции мы будем рассматривать в нашей статье), следует: 1) раньше всего указать «область ее определения», то есть указать то множество вещественных чисел, из которого будут выбираться значения $x$ аргумента, и 2) отчетливо сформулировать правило, по которому для каждого такого значения $x$ будет построено соответствующее ему вещественное число — его называют: значение функции, соответствующее выбранному значению аргумента. Если какая-либо функция обозначена символом, скажем, $Ф$, то значение, которое она принимает для выбранного значения $x$ аргумента, обозначают $Ф(x)$.

Каждой рассматриваемой функции (каждому правилу) полезно присвоить название. Так, например, функцию, область определения которой есть множество всех вещественных чисел, а правило построения значения функций, соответствующего вы-

---

*) «Квант», 1970, №№ 1 и 2.

30

бранному значению $x$ аргумента, состоит в том, что это значение умножается на некоторое фиксированное вещественное число $a$, называют линейной однородной функцией.

Именно такая функция и будет главным действующим лицом нашей статьи.

1. Линейная однородная функция аддитивна

Среди разнообразных функций, изучаемых в математике, читатель несомненно отметил одну, которая выделяется среди остальных своей особой простотой — эта функция $Л_a$ определена для всех вещественных значений аргумента $x$ и ее значения определяются формулой

$$Л_a(x) = ax$$

(в которой $a$ есть некоторое заданное вещественное число). Ее мы и назвали: линейная однородная функция. Она встречается во всех тех задачах физики (и не только физики), в которых изучаются пропорциональные величины.

Наблюдения преподавателей показывают, что одно ее свойство школьники ощущают очень хорошо, настолько хорошо, что часто (даже слишком часто!) приписывают его другим, более сложным функциям. В самом деле, замечал ли читатель-школьник, что некоторые его друзья по классу, начавши изучение тригонометрических функций, считают, что синус суммы двух углов равен сум-

ме синусов этих углов? Суть этой «детской» ошибки в том, что школьник, познакомившись с какой-либо новой функцией — назовем ее $\Phi$,— склонен считать, что она должна обладать следующим «простым» свойством:

$$\Phi(x_1 + x_2) = \Phi(x_1) + \Phi(x_2). \qquad (1)$$

Линейная однородная функция этим свойством действительно (проверьте!) обладает, но, увы, им не обладают другие функции, изучаемые в школе.

Всякую функцию, обладающую свойством, выраженным равенством (1), называют аддитивной функцией. Легко проверить, что линейная неоднородная функция, то есть функция $G$, определенная для любого вещественного значения аргумента формулой

$$G(x) = ax + b \qquad (b \neq 0),$$

уже не является аддитивной; точно так же не обладают свойством аддитивности и функции, определенные для любого значения аргумента $x$, значения которых определяются по следующим правилам:

$$x \to ax^2 + bx + c,$$
$$x \to \frac{1}{x^2 + a^2},$$

и многие, многие другие функции.

Да существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция от вещественного аргумента, отличная от линейной однородной,— спросит читатель.

Ответ на этот вопрос он получит, если не поленится внимательно прочитать эту небольшую статью.

2. Исследования произвольной аддитивной функции

1. Если функция $\Phi$ обладает свойством (1), то, как легко проверить, она обладает и следующим свойством:

$$\Phi(x_1 + x_2 + x_3) =$$
$$= \Phi(x_1) + \Phi(x_2) + \Phi(x_3). \quad (1'),$$

В самом деле, в силу свойства (1)

имеем

$$\Phi(x_1 + x_2 + x_3) = \Phi((x_1 + x_2) + x_3) =$$
$$= \Phi(x_1 + x_2) + \Phi(x_3) =$$
$$= \Phi(x_1) + \Phi(x_2) + \Phi(x_3).$$

Читателя не затруднит доказать, что и

$$\Phi(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) =$$
$$= \Phi(x_1) + \Phi(x_2) + \ldots + \Phi(x_n) \qquad (1'')$$

(придется, конечно, воспользоваться методом математической индукции).

Из формулы $(1'')$ следует равенство

$$\Phi(nx) = n\Phi(x) \qquad (2)$$

($n$ — произвольное целое положительное число).

Так как равенство (2) справедливо при любом значении $x$, положим в нем $x$ равным $\frac{m}{n} y$ ($m$ и $n$ — целые положительные). Получим

$$\Phi(my) = n\Phi\left(\frac{m}{n} y\right).$$

Вновь используя равенство (2), получим

$$m\Phi(y) = n\Phi\left(\frac{m}{n} y\right),$$

то есть

$$\Phi\left(\frac{m}{n} y\right) = \frac{m}{n} \Phi(y). \qquad (2')$$

Итак, мы убедились в том, что если функция $\Phi$ аддитивна, то для любого положительного рационального числа $\alpha = \frac{m}{n}$ имеет место равенство

$$\Phi(\alpha x) = \alpha\Phi(x) \qquad (3)$$

(каково бы ни было вещественное число $x$!).

Это замечательное соотношение дает нам возможность вычислить для любой аддитивной функции $\Phi$ ее значение для любого положительного рационального значения $x$ аргумента, если задано только одно ее значение — а именно то, которое она принимает, когда аргумент равен единице.

В самом деле, положив в (3) $x$ равным единице, мы получим

$$\Phi(\alpha) = \alpha\Phi(1). \qquad (4)$$

31

32

2. Не менее удивительным является то, что формула (4) для вычисления значений любой аддитивной функции Ф применима для всех рациональных значений аргумента (а не только для положительных его значений).

а) Прежде всего убедимся в том, что

$$\Phi(0) = 0\Phi(1),$$

то есть что

$$\Phi(0) = 0.$$

В самом деле, в силу аддитивности функции $\Phi$, имеет место равенство

$$\Phi(x + 0) = \Phi(x) + \Phi(0),$$

то есть

$$\Phi(x) = \Phi(x) + \Phi(0)$$

и, следовательно

$$\Phi(0) = 0. \qquad (5)$$

б) Далее, в силу аддитивности функции $\Phi$, имеем

$$\Phi(x) + \Phi(-x) =$$
$$= \Phi(x + (-x)) = \Phi(0)$$

откуда (в силу (5))

$$\Phi(-x) = -\Phi(x) \qquad (6)$$

(каково бы ни было вещественное значение $x$!).

Итак, мы убедились, что любая аддитивная функция есть нечетная функция.

Теперь мы уже можем доказать, что формула (4) годится для вычисления значений аддитивной функции и для отрицательных рациональных значений аргумента.

Пусть $\beta$ — какое-либо отрицательное рациональное число; тогда, в силу (6),

$$\Phi(\beta) = -\Phi(-\beta). \qquad (7)$$

Здесь $(-\beta)$ уже положительное рациональное число, поэтому мы можем использовать формулу (4)

$$\Phi(-\beta) = (-\beta)\,\Phi(1).$$

Подставляя последнее соотношение в (7), получим

$$\Phi(\beta) = \beta\Phi(1),$$

что мы и хотели доказать.

3. Функции, не ограниченные сверху

«Вот и ответ на вопрос, поставленный в конце первого пункта этой

статьи — скажет читатель: никаких аддитивных функций, кроме однородных линейных, не существует!»

Нет, это не так!

Ведь мы доказали формулу (4) только для рациональных значений $x$. Применять же ее для вычисления значений нашей аддитивной функции $\Phi$ для $x$, скажем, равного $\sqrt{2}$, у нас нет никаких оснований.

Неудивительно поэтому, что математики настойчиво продолжали искать аддитивную функцию, которая отличалась бы от линейной однородной.

Найти такую функцию действительно нелегко! Ведь мы уже убедились, что ее значения (если она существует!) должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции $x \to xa$, грубо говоря, «п о ч т и» д л я в с е х $x$: хотя рациональные числа и не исчерпывают множества всех вещественных чисел, но их п р а к т и ч е с к и д о с т а т о ч н о для приближенного решения задач с любой степенью точности.

Построил пример такой функции в 1905 году немецкий математик Гамель (Hamel) *).

Но в этой статье, к сожалению, мы не сможем познакомить читателя с этим примером — даже если пойдем на отступления от строго математического изложения. Рассуждения Гамеля настолько своеобразны, что полностью разобраться в них можно, лишь обладая математическими навыками и культурой, приобретающимися в результате длительного изучения математики. Поэтому мы отметим здесь только одно важное свойство функции, построенной Гамелем: среди значений, которые она принимает на произвольно выбранном

---

*) Статья Гамеля напечатана в журнале Matematiche Annalen в томе 60, с. 454—462, 1905 г.

Нам не известно ни одного изложения этого результата Гамеля на русском языке.

интервале $(p,\ q)$ (то есть при $p \leqslant x \leqslant q$), имеется такое, которое больше любого произвольно взятого положительного числа.

Про такую функцию говорят, что на интервале $(p,\ q)$ она не ограничена сверху.

Примером функции, не ограниченной сверху, например, на интервале $(-1,\ 1)$, может служить функция $H$, определяемая формулой $H(x) = \dfrac{1}{x}$ для значений аргумента, не равных нулю, и принимающая значение нуль для $x = 0$ (рис. 1). Другим примером может быть функция, определяемая формулой

$$P(x) = \frac{1}{(x-p)(x-q)}$$

при $x \neq p$ и $x \neq q$, и принимающая значение нуль для $x = p$ и $x = q$.

Эта функция не ограничена сверху на любом интервале, содержащем либо точку $p$, либо точку $q$ (см., например, рисунок 2).

Однако в обоих этих примерах существует такой интервал, в котором эти функции все же ограничены сверху (функция называется ограниченной сверху на данном интервале, если значения, которые она принимает на этом интервале, остаются меньше некоторого наперед заданного числа). А вот функция Гамеля, как мы уже сказали, не ограничена сверху на любом (сколь угод-

но малом!) интервале. Это и делает открытие Гамеля еще более интересным: он не только построил пример аддитивной функции, не являющейся линейной, но и ввел в математику функции, обладающие «странным» (для наглядного восприятия) свойством: они не ограничены сверху в любом интервале.

Откажемся теперь от рассмотрения таких «странных» функций и поищем аддитивную функцию, ограниченную сверху хотя бы в каком-нибудь одном интервале.

4. Аддитивная функция, ограниченная сверху хотя бы на одном интервале

1. Пусть аддитивная функция $\Phi$ ограничена сверху на интервале $(p,\ p+s)$, где $s$ — некоторое положительное число. Легко убедиться, что тогда $\Phi$ ограничена сверху и на интервале $(0,\ s)$.

В самом деле, пусть $x$ — любое положительное число, не большее чем $s$, тогда число $p + x$ лежит в интервале $(p,\ p+s)$ и, следовательно, $\Phi(p+x)$ меньше, чем некоторое заданное число $M$; в силу аддитивности $\Phi$,

$$\Phi(p) + \Phi(x) < M$$

и, следовательно,

$$\Phi(x) < M - \Phi(p)$$

для любого значения $x$, лежащего в интервале $(0,\ s)$.

Рис. 1.

Рис. 2.

3 Квант № 1

33

34

2. Рассмотрим теперь новую функцию $G$, значение которой для произвольного значения $x$ аргумента будем вычислять по формуле

$$G\,(x) = \Phi\,(x) - \frac{\Phi\,(s)}{s}\,x. \qquad (8)$$

Функция $G\,(x)$ тоже ограничена сверху на интервале $(0,\ s)$: ее значение на этом интервале меньше чем $M' = M - \Phi(p) + |\,\Phi\,(s)\,|$.

3. Очевидно (см. (8)), что функция $G$ аддитивна и что $G\,(s) = 0$. Поэтому

$$G\,(x + s) = G\,(x) + G(s) = G\,(x)$$

и, следовательно, число $s$ период функции $G$!

Таким образом, значение, которое принимает функция $G$ для какого-либо значения аргумента $x$, равно значению, которое она принимает для некоторого значения аргумента из интервала $(0,\ s)$, и, следовательно, оно меньше, чем $M'$, то есть $G(x) < M'$ для любого значения $x$.

4. Теперь мы уже можем доказать утверждение — быть может, и неожиданное для читателя:

Любое значение функции $G$ равно нулю.

Это мы сделаем «методом от противного». Пусть для какого-либо положительного значения $x_0$ аргумента $x$, меньшего чем $s$, соответствующее ему значение $G(x_0)$ отлично от нуля, $G(x_0) \neq 0$.

Тогда, в силу аддитивности функции $G$, имеем (см. формулу (4))

$$G\,(\alpha x_0) = \alpha\,G(x_0).$$

Подобрав $\alpha$ так, чтобы

$$\alpha G\,(x_0) > M',$$

мы получим

$$G\,(\alpha x_0) > M'.$$

А это противоречит тому, что $G(x) < M'$ при всех $x$. Следовательно, наше предположение было неверно, и $G\,(x_0) = 0$ для любого значения $x_0$, лежащего в интервале $(0,\ s)$. Приняв же во внимание, что функция $G\,(x)$ имеет период $s$, придем к выводу, что

$$G\,(x) = 0 \qquad (9)$$

для любого значения $x$.

5. Возвращаясь теперь к определению (8) функции $G$, получим, в силу (9), что

$$\Phi\,(x) = ax \quad \left(\text{где } a = \frac{\Phi\,(s)}{s}\right).$$

Вероятно, читатель предчувствовал этот результат. Вот его словесная формулировка: если аддитивная функция ограничена сверху хотя бы на одном (даже сколь угодно малом) интервале, то она линейная однородная функция!

5. Функциональные уравнения

Этот результат можно сформулировать еще и так:

Задача — найти функцию $\Phi$, определенную для любого вещественного значения аргумента и обладающую тем свойством, что для любых значений $x$ и $y$ аргумента имеет место равенство

$$\Phi(x + y) = \Phi(x) + \Phi(y) \qquad (10)$$

имеет много решений. И если даже искать только те решения $\Phi$ этого уравнения, которые ограничены сверху — хотя бы на каком-нибудь одном интервале,— то все же решений будет много. Но любое такое решение есть линейная однородная функция, то есть функция вида

$$x \to ax$$

($a$ — некоторое вещественное число).

Следует сказать, что эту задачу принято формулировать следующим образом:

Найти функцию $\Phi$, удовлетворяющую функциональному уравнению (10).

Задачи, в которых требуется найти функцию, обладающую некоторым указанным свойством, редко встречаются в школе, но часто рассматриваются в математике и играют в ней важную роль. Вот еще одна такая задача:

Найти функцию $G$, обладающую тем свойством, что для любых значений $x$ и $y$ аргумента (принадлежащих, конечно, области определения искомой функции $G$ имеет место

35

равенство
$$G(x + y) = G(x) + G(y) + p, \qquad (11)$$
в котором $p$ — заданное число.

Читатель легко проверит; что функция
$$x \to ax - p$$
является ее решением. Заманчиво узнать, существуют ли какие-либо другие решения?

Интересна и такая задача: решить функциональное уравнение
$$H(x + 2y) + H(x) = 2H(x + y). \qquad (12)$$
Легко убедиться, что функция
$$x \to ax + b$$
($a$ и $b$ — произвольные числа) является решением уравнения (12). Существуют ли другие решения?

Выдающиеся математики прошлого времени — и среди них такие, как Э й л е р, Г а у с, К о ш и, А б е л ь, Л о б а ч е в с к и й, В е й е р ш т р а с, Д а р б у, Г и л ь - б е р т,— часто обращались к функциональным уравнениям и использовали их для решения многих важных вопросов. Систематическое изучение функциональных уравнений начал еще К о ш и — в 1821 году он издал свой Курс Анализа *) (этот курс он читал в Парижском политехническом институте). В нем он подробно (но все же недостаточно полно) изучил рассмотренное в нашей статье функциональное уравнение (10)— его называют теперь «функциональное уравнение Коши»; это уравнение особенно часто используется в различных математических теориях. Вместе с ним Коши рассматривает и следующие функциональные уравнения:
$$\Phi(x + y) = \Phi(x)\Phi(y),$$
$$G(xy) = G(x)G(y),$$
$$H(xy) = H(x) + H(y).$$

«Частные» решения этих уравнений читатель несомненно сумеет найти. Значительно более трудно найти для каждого из них все решения. Мы надеемся поговорить об этом в другой статье.

---

*) A. C a u c h y, Cours d’analyse de l’Ecole polytechnique 1. Analyse algebreque, V (Paris, 1821).

3*

С чего начинается логика?

(Окончание. Начало см. с. 24)

4. Импликация высказываний $A$ и $B$ (символически $A \supset B$, читается как «$A$ влечет $B$», или «Из $A$ следует $B$», или «Если $A$, то $B$») ложна, если посылка $A$ истинна, а заключение $B$ ложно, и истинна во всех остальных случаях:

| $A$ | $B$ | $A \supset B$ |
|—|—|—|
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | и |
| л | л | и |

5. Эквиваленция высказываний $A$ и $B$ ($A \sim B$ читается как «$A$ равносильно $B$») истинна, если $A$ и $B$ имеют одинаковые истинностные значения, и ложна, если значения истинности $A$ и $B$ различны:

| $A$ | $B$ | $A \sim B$ |
|—|—|—|
| и | и | и |
| и | л | л |
| л | и | л |
| л | л | и |

Конечно, определения эти сами по себе достаточно просты и запомнить их нетрудно. Но они вызывают ряд вопросов, без ответа на которые дальнейшее обсуждение темы было бы совершенно беспредметным. Например, почему мы именно так, а не иначе определили и назвали эти операции? Иными словами, какая связь между всеми этими таблицами и «обычным» смыслом таких всем известных слов, как «не», «и», «или», «следует»? Каковы основания считать эти операции «основными»? Какие еще (не «основные») бывают и могут быть логические операции? Да и что в них, собственно говоря, «логического»? Ограничимся пока советом: подумайте над всеми этими вопросами сами.