Отношения отрезков, площадей и объёмов

Отношения отрезков, площадей и объемов

Г. В. Дорофеев

Программа школьного курса геометрии построена, как известно, так, что учащиеся девятых и десятых классов решают в основном задачи по стереометрии, а планиметрические задачи появляются в их практике лишь в связи с применением тригонометрии. Это, конечно, совершенно естественно, однако на вступительных экзаменах такое положение вещей сказывается далеко не лучшим образом: поступающие, неплохо справляясь с задачами, поддающимися прямому (иногда весьма громоздкому) тригонометрическому расчету, становятся в тупик перед сравнительно простыми задачами, для решения которых требуется лишь активное владение стандартными и, в общем, хорошо им известными теоремами планиметрии.

Отсюда вытекает очевидный вывод: при подготовке к вступительным экзаменам особое внимание следует уделить активизации геометрических знаний, полученных еще в 6—8-х классах, следует решать больше задач, требующих «чисто геометрических» идей.

Подчеркнем сразу же, что здесь не идет речи о каком-то противопоставлении чисто геометрических и тригонометрических методов решения задач. Напротив, наиболее успешным может быть именно их разумное сочетание, и тогда на экзаменах не будет встречаться стремление с помощью головоломных вычислений решить простую геометрическую задачу или, наоборот, рассматривать многочисленные подобные треугольники в задачах, где введение тригонометрических функций является естественным и оправданным путем к решению. Научиться разумно сочетать эти методы — главная задача при подготовке к вступительным экзаменам.

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с делением отрезков, площадей и объемов в некотором отношении. Мы убедимся, что задачи подобного рода совсем не сложны и, во всяком случае, их объективная сложность не соответствует тем затруднениям, которые они обычно вызывают у поступающих.

Начнем с совсем простой задачи, которую, однако, решили совсем немногие поступающие.

З а д а ч а 1 (МГУ, геологич. ф-т, 1964). Точка K делит медиану AD треугольника ABC в отношении 3 : 1, считая от вершины. В каком отношении прямая BK делит площадь треугольника ABC?

Не составляет труда заметить, что треугольники $BAE$ и $BEC$ (рис. 1) имеют общую вершину, и их основания лежат на одной прямой, так что искомое отношение их площадей равно отношению длин отрезков $AE$ и $EC$, и таким образом, требуется узнать, в каком отношении прямая $BE$ делит сторону $BC$.

Представляется совершенно очевидным, что прямой вычислительный путь (ввести, например, вспомога-

Рис. 1.

55

тельные элементы — длины сторон или величины углов) связан с большими трудностями и вряд ли приведет к успеху. В то же время естественно отыскивается чисто геометрическая идея решения. В самом деле, нам нужно узнать, в каком отношении делится одна сторона угла $DAC$, а известно, что его вторая сторона разделена на 4 равных отрезка. И теперь уже не может не прийти на память теорема о делении сторон угла параллельными прямыми, и уж, конечно, совершенно естественно провести через точки деления медианы прямые, параллельные $BK$. Тогда на стороне $AC$ возникают четыре равных отрезка. Что же касается пятого отрезка $FC$, то ведь еще надо воспользоваться тем, что $AD$ — медиана, так что $DF$ — средняя линия треугольника $BCE$, и следовательно, $FC = EF$.

Таким образом, сторона $AC$ разделена на 5 равных отрезков, и искомое отношение равно $3 : 2$.

Если дополнительно обдумать предложенное решение, то станет ясно, что таким же способом можно решить и более общую задачу: вместо отношения $3 : 1$ можно рассмотреть произвольное деление отрезка $AD$, и более того, в решении существенно не то, что $AD$ — медиана, а лишь то, что точка $D$ делит $BC$ в известном отношении.

Решите самостоятельно эту более общую задачу.

Рис. 2.

56

З а д а ч а 2. На боковых сторонах $AB$ и $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяты точки $K$ и $L$ так, что $AK : KB = 2$, $AL : LC = 1/2$. В каком отношении прямая $KL$ делит высоту $AD$?

Идея решения этой задачи — та же, что и предыдущей, а само решение очевидно из рисунка 2: искомое отношение равно $2x : (x + y)$, а по условию $\dfrac{2x}{x + 2y} = \dfrac{1}{2}$, откуда $3x = 2y$, и следовательно,

$$\frac{2x}{x + y} = \frac{2}{1 + \dfrac{y}{x}} = \frac{4}{5}.$$

И снова оказывается, что фактически мы решали более общую задачу: равенство сторон треугольника $ABC$ понадобилось нам лишь для того, чтобы считать высоту $AD$ медианой, так что аналогичным способом можно решать задачу для произвольного треугольника, в котором известно, в каком отношении делят его стороны точки $D$, $K$ и $L$.

Очень часто в задачах, предлагаемых поступающим, возникает необходимость вычислить площадь отсекаемой части многоугольника или объем отсекаемой части многогранника, если каким-то образом заданы точки деления сторон или ребер. В этих задачах чрезвычайно полезны следующие утверждения:

(1) Если в треугольнике $ABC$ $AK = \alpha AB$, $AL = \beta AC$, то

$$S_{\triangle AKL} = \alpha\beta S_{\triangle ABC}.$$

(2) Если в треугольной пирамиде $SABC$ $SK = \alpha SA$, $SL = \beta SB$, $SM = \gamma SC$, то $V_{SKLM} = \alpha\beta\gamma V_{SABC}$.

Утверждение (1) наиболее просто доказывается применением формулы площади треугольника $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A$, а утверждение (2) — методом «последовательного отсечения»: от пирамиды $SABC$ надо перейти к пирамиде $SABM$, затем к $SALM$ и к $SKLM$. Эта идея приводит к простому решению следующей задачи.

З а д а ч а 3 (МГУ, геологич. ф-т, 1968). В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CF$ углов $BAC$

Рис. 3.

Рис. 4.

и $ACB$. Найти отношение площадей треугольников $ABC$ и $AFD$, если $AB = 21$, $AC = 28$, $CB = 20$.

Треугольник $AFD$ (рис. 3) может быть получен из $ABC$ следующим образом: сначала отсекается треугольник $ADB$, а от него — треугольник $AFD$. Для подсчета искомого отношения воспользуемся теоремой о том, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположные стороны на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Имеем

$$\frac{BD}{DC} = \frac{BA}{AC} = \frac{3}{4}\ ,\qquad \frac{BF}{FA} = \frac{BC}{CA} = \frac{5}{7}\ ,$$

откуда (с помощью производных пропорций)

$$\frac{BD}{BC} = \frac{3}{7}\ ,\qquad \frac{BF}{BA} = \frac{5}{12}\ .$$

Следовательно,

$$S_{\triangle AFD} = \frac{7}{12}\cdot S_{\triangle ABD} = \frac{7}{12}\cdot\frac{3}{7}\times$$

$$\times S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4}\,S_{\triangle ABC},$$

так что искомое отношение равно 4.

З а д а ч а 4 (МГУ, биологич. ф-т, 1970). Дан треугольник $ABC$ площади 1. На его медианах $AK$, $BL$ и $CM$ взяты соответственно точки $P$, $Q$ и $R$ так, что

$$AP = PK,\ \ BQ = \frac{1}{2}\,QL,\ \ CR = \frac{5}{4}\,RM.$$

Найти площадь треугольника $PQR$.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан (рис. 4); искомую площадь подсчитаем как сумму площадей трех ма-

леньких треугольников с вершиной $O$. Треугольник $OPQ$ получается из треугольника $OAB$ отсечением на его сторонах отрезков $OP$ и $OQ$; при этом

$$AP = \frac{1}{2}\,AK,\quad AO = \frac{3}{2}\,AK,\ \text{так что}$$

$$OP = \frac{1}{6}\,AK = \frac{1}{4}\,AO. \qquad \text{Аналогично,}$$

$$OQ = \frac{1}{2}\,OB,\ \text{поэтому}$$

$$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{8}\,S_{\triangle OAB}\,.$$

С другой стороны, нетрудно видеть, что $S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{3}\,S_{\triangle ABC}$, так что

$$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{24}\,.$$

Подсчитав аналогично площади треугольников $OPR$ и $OQR$, получаем, что $S_{\triangle PQR} = \dfrac{1}{12}$.

З а д а ч а 5 (МГУ, химич. ф-т, 1970). В прямой треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, у которой $AC = 6$, $AA_1 = 8$, через вершину $A$ проведена плоскость, пересекающая ребра $BB_1$ и $CC_1$ соответственно в точках $M$ и $N$. В каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если $BM = MB_1$, а $AN$ — биссектриса угла $CAC_1$?

Легко видеть, что отношение объемов пирамид $ACBMN$ и $ACBB_1C_1$ равно отношению площадей их оснований, а для нахождения этого отношения следует найти, в каком отношении делит точка $N$ ребро $CC_1$

57

(рис. 5). Последнее отношение легко находится: по теореме Пифагора $AC_1 = 10$ и по теореме о биссектрисе $CN : NC_1 = 3 : 5$.

Теперь нетрудно подсчитать, что $S_{CBMN} : S_{CBB_1C_1} = 7 : 16$, и поэтому
$$V_{ACBMN} = \frac{7}{16}\, V_{ACBB_1C_1}.$$

С другой стороны, пирамида $ACBB_1C_1$ дополняется до всей призмы пирамидой $AA_1B_1C_1$, объем которой составляет $^1/_3$ объема призмы, так что объем пирамиды $ACBB_1C_1$ равен $^2/_3$ объема призмы. Следовательно, объем пирамиды $ACBMN$ составляет $^7/_{24}$ объема призмы, и искомое отношение равно $7 : 17$.

З а д а ч а 6 (МГУ, ф-т вычислительной математики и кибернетики, 1973). Сфера проходит через точки A, B, C, D и пересекает отрезки SA, SB, SC и SD в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Известно, что $SD_1 = 9/4$, $DD_1 = 47/36$, отношение площадей треугольников $SA_1B_1$ и $SAB$ равно $15 : 32$, отношение объемов пирамид $SB_1C_1D_1$ и $SBCD$ равно $1701 : 4096$, а отношение объемов пирамид $SA_1B_1C_1$ и $SABC$ равно $105 : 256$. Найти отрезки $SA_1$, $SB_1$, $SC_1$.

Легко понять, что в задаче речь идет о четырехугольной пирамиде

$SABCD$, на ребрах которой взяты точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ (рис. 6). Для решения задачи запутанные данные об отношениях площадей и объемов сведем к отношениям соответствующих отрезков.

Составив систему равенств
$$\frac{SA_1}{SA}\cdot\frac{SB_1}{SB} = \frac{15}{32}, \qquad \frac{SB_1}{SB}\cdot\frac{SC_1}{SC}\cdot\frac{SD_1}{SD} = \frac{1701}{4096},$$
$$\frac{SA_1}{SA}\cdot\frac{SB_1}{SB}\cdot\frac{SC_1}{SC} = \frac{105}{256}$$

и учитывая, что $SD_1 : SD = 81 : 128$, находим
$$\frac{SA_1}{SA} = \frac{5}{8}, \qquad \frac{SB_1}{SB} = \frac{3}{4}, \qquad \frac{SC_1}{SC} = \frac{7}{8}.$$

С другой стороны, отрезки $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ являются секущими к сфере, о которой идет речь в условии задачи, и поэтому произведения этих секущих на их внешние части равны все квадрату касательной к сфере, проведенной из точки $S$ (здесь мы пользуемся очевидным, но не доказанным утверждением о касательной и секущей для сферы, аналогия его с соответствующим утверждением для окружности не является, разумеется, доказательством; докажите это утверждение самостоятельно). Таким образом, $SA_1\cdot SA = SB_1\cdot SB =$
$$= SC_1\cdot SC = SD_1\cdot SD = \frac{9}{4}\cdot\frac{128}{36} = 8.$$

Рис. 5.

Рис. 6.

58