Задачи

Рис. 2.

Аналогично получаем

$$\sphericalangle B_{n+1} = (-2)^n \cdot \left( \sphericalangle B_1 - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3}$$

и

$$\sphericalangle C_{n+1} = (-2)^n \cdot \left( \sphericalangle C_1 - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\pi}{3}.$$

В заключение мы предлагаем читателям несколько задач для самостоятельного решения.

Упражнения

1. Около остроугольного треугольника $A_1B_1C_1$ описан остроугольный треугольник $A_2B_2C_2$, стороны которого являются касательными к окружности, описанной около треугольника $A_1B_1C_1$ в его вершинах. Около треугольника $A_2B_2C_2$ аналогичным образом описан остроугольный треугольник $A_3B_3C_3$ и так далее, вплоть до треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ включительно. Найти углы треугольника $A_{n+1}\,B_{n+1}\,C_{n+1}$.

2. Около треугольника $A_1B_1C_1$ описан треугольник $A_2B_2C_2$, вершины которого совпадают с центрами вневписанных окружностей в треугольник $A_1B_1C_1$. Около треугольника $A_2B_2C_2$ аналогичным образом описан треугольник $A_3B_3C_3$ и так далее. Найти углы треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$. Доказать, что треугольник $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ при неограниченном возрастании $n$ стремится к правильному треугольнику.

3. Биссектрисы треугольника $A_1B_1C_1$ продолжены до пересечения с описанной вокруг треугольника $A_1B_1C_1$ окружностью соответственно в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$. Биссектрисы треугольника $A_2B_2C_2$ пересекают описанную окружность соответственно в точках $A_3$, $B_3$, $C_3$ и так далее. Найти углы треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$.

4. В треугольник $A_1B_1C_1$ вписан треугольник $A_2B_2C_2$, образованный проекциями центра вписанной окружности на его стороны. В треугольник $A_2B_2C_2$ аналогичным образом вписан треугольник $A_3B_3C_3$ и так далее. Найти углы треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$.

Головоломки

В следующих примерах разные цифры зашифрованы разными буквами (в разных примерах, возможно, разными). Расшифруйте!

1. $\text{do} \times \text{do} = \text{sol}$.
2. $\text{la} \times \text{la} = \text{sol}$.
3. $\text{си} \times \text{си} = \text{соль}$.
4. $\text{до} \times \text{до} \times \text{до} = \text{соль}$.
5. $\text{ля} \times \text{ля} \times \text{ля} = \text{соль}$.

В. С. Максимов

Равенства из спичек

В этих равенствах, сложенных из спичек, допущены ошибки. Переложите в каждом из равенств только по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными.

Н. К. Антонович

Задачи

1. Решить уравнение $x^4 - 3x^3 + 3 = 0$.

2. Показать, что при любом действительном $p$ таком, что $|p| \leqslant \sqrt[4]{4q}$, уравнение

$$x^4 + px^3 + q = 0, \quad q > 0$$

действительных решений не имеет.

3. Показать, что при любом действительном $p$ таком, что $|p| \leqslant \sqrt[4]{12}$ уравнение

$$x^4 - px^3 + 3 = 0$$

действительных решений не имеет.

4. Найти действительные решения системы $x^3y = -4$, $x - y = 1{,}5$.

Г. Ю. Зайцев

39