Решения задач М296—М299; Ф303—Ф311, Ф299

42

Решения задач

Решения задач

М296 — М299; Ф303 — Ф311, Ф299

М296. В таблицу n × n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Рис. 1.

М299.*) При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

Назовем циклическим сдвигом такое преобразование таблицы: 1-й столбец переставляется на место 2-го, 2-й на место 3-го, . . . , наконец, последний, n-й — на место 1-го. Обозначим через $s_0$ сумму чисел, стоящих на диагонали таблицы (в красных клетках на рис. 1), через $s_1$ — сумму чисел, которые попадут на диагональ после циклического сдвига (в голубых клетках), через $s_2$ — сумму чисел, которые попадут на диагональ, если повторить циклический сдвиг еще раз (в желтых клетках), и вообще, через $s_k$ — сумму чисел, которые попадут на диагональ, если проделать циклический сдвиг k раз. Ясно, что сумма всех чисел в таблице равна

$$s = s_0 + s_1 + \ldots + s_{n-1},$$

потому что если проделать циклический сдвиг 0, 1, . . . , n — 1 раз, то за это время каждое число в таблице побывает на диагонали ровно однажды (а если проделать его n раз, то получится первоначальное расположение).

По условию s неотрицательно, следовательно, некоторое $s_k$ должно быть неотрицательно. Проделав циклический сдвиг k раз, мы получим требуемую перестановку столбцов.

◆

Предположим, что правильный n-угольник удалось разместить на линованной бумаге. Пусть O — центр этого многоугольника. Сделаем поворот плоскости на угол $360°/n$ с центром в точке O и нарисуем на одном чертеже и прежние, и новые (получившиеся после поворота) параллельные линии (рис. 2; n-угольник рисовать дважды не нужно, поскольку он совмещается после такого поворота сам с собой). Теперь каждая вершина n-угольника лежит в точке пересечения двух линий сетки, то есть n-угольник удалось разместить так, что все его вершины попали в узлы некоторой решетки; но, как доказано в статье А. А. Егорова «Решетки и правильные многоугольники» («Квант», 1974, № 12), это возможно лишь при n=3,4 или 6.

Таким образом, только при этих n можно разместить правильный n-угольник на линованной бумаге.

Н. Б. Васильев

Рис. 2.

---

*) Решение задачи М297 содержится в заметке В. М. Фишмана «Решение задач с помощью геометрических преобразований», задачи М298 — в заметке В. Н. Вагутена «Близкие дроби», которая будет опубликована в «Кванте» № 8, 1975.

43

Ф303. Точечный источник света находится на некотором расстоянии под тонкой собирающей линзой (рис. 3). Где и как нужно установить плоское зеркало для того, чтобы из линзы выходил параллельный пучок света по направлению, показанному стрелкой? Построить ход лучей.

Пусть $F'F''$ — фокальная плоскость линзы. Проведем побочную оптическую ось $AA'$, параллельную направлению, заданному стрелкой (см. рис. 3). Если источник света расположен в фокальной плоскости линзы в точке $S'$ пересечения ее с осью $AA'$, то линза собирает его лучи в параллельный пучок, направленный вдоль оси $AA'$, то есть из линзы выходит параллельный пучок света в направлении, указанном стрелкой.

В нашем случае источником для линзы будет изображение источника $S$ в плоском зеркале. Чтобы это изображение

Рис. 3.

находилось в точке $S'$, зеркало должно быть расположено посередине отрезка $SS'$ перпендикулярно к нему. Ход лучей показан на рисунке 3.

◆

Ф304. Насос подает массу $m$ воды в час на высоту $H$ по трубе диаметром $d$. Какова должна быть мощность насоса $N$? Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать массу $m$ воды в час на высоту $H$?

Рис. 4.

За время $\Delta t$ насос подает на высоту $H$ массу воды $m\Delta t$, совершая работу $A$, равную изменению механической энергии воды. Так как внизу вода не обладала кинетической энергией, а насос «гонит» ее по трубе с некоторой скоростью $v$, то

$$A = \frac{(m\Delta t)v^2}{2} + (m\Delta t)gH.$$

Следовательно, мощность насоса $N = \dfrac{mv^2}{2} + mgH$.

Найдем скорость $v$. За время $\Delta t$ через поперечное сечение трубы площади $S = \dfrac{\pi d^2}{4}$ проходит объем воды $V = v\Delta t\dfrac{\pi d^2}{4}$, масса которой равна $v\Delta t\dfrac{\pi d^2}{4}\rho$ ($\rho$— плотность воды). С другой стороны, эта масса равна $m\Delta t$, то есть $v\dfrac{\pi d^2}{4}\rho = m$, откуда $v = \dfrac{4m}{\pi d^2\rho}$.

Таким образом, мощность насоса

$$N = \frac{8m^3}{\pi^2 d^4\rho^2} + mgH.$$

Можно ли с помощью насоса меньшей мощности подавать такую же массу воды в час на ту же высоту $H$? Из выражения для $N$ видно, что чем больше диаметр трубы $d$, тем меньше необходимая мощность насоса.

Но можно уменьшить величину необходимой мощности, не меняя значений параметров, заданных в условии задачи. Отрежем на некоторой высоте $h \ll H$ всю верхнюю часть трубы. Пусть из оставшейся части трубы вода вылетает

44

с некоторой скоростью $u$ (см. рис. 4).

Необходимая для этого мощность насоса $N' = \frac{mu^2}{2}$ (так как $h \ll H$, потенциальной энергии $mgh$ пренебрегаем). Для того чтобы вода поднималась на высоту $H$, необходимо, чтобы ее скорость при вылете из трубы была не меньше, чем $u = \sqrt{2gH}$. Таким образом, можно подавать в час массу воды $m$ на высоту $H$ с помощью насоса мощностью

$$N' = m \frac{u^2}{2} = mgH < N.$$

Ф305. В сосуд с водой опускалом Г-образный стеклянный капилляр радиуса $r$, полностью смачиваемый водой (рис. 5). Зависимость коэффициента поверхностного наяжения воды от температуры показана на рисунке 6. В каком диапазоне температур все вода вымещет из сосуда, если $r=0,1$ мм, $h=14,1$ см $uH=15$ см? Толщиной стеклянка пренебречь.

Для того чтобы вода вытекла из сосуда через капилляр, она должна, прежде всего, поднять по правому колену капилляра до его горизонтального участка. В начальной момент высота поднятия должны быть равна $h$, а в конце, когда почти все вода уже вылетет из сосуда, жидкость должна поднять на высоту $h+l$, где $l$ — высота начального уровня воды в сосуде. Это возможно, если коэффициент поверхностного наяжения $\sigma$ таков, что высота поднятия воды в капилляре радиуса $r$ не меньше $h+l$, то есть

$$\frac{2\sigma}{\rho gr} > h+l,$$ или $\sigma > \frac{1}{2} \rho gr (h+l).$

Поднявшись в правом колене, вода заполнитлевое коленю, на конце которого образуется выпуклый мениск, могут удержать определенный столб воды. Вода в верхней части капилляра (от его горизонтального участка до уровня воды в сосуд) находится в равновесии, поэтому силы добавочного давления под мениском должны удержать столб воды высотой $H+l$ в начальной момент и высотой $H$ — в конечный момент. Радиус мениска не может быть меньше радиуса капилляра $r$, а значит, добавочное давление под мениском не может быть больше $\frac{2\sigma}{r}$. Следовательно, вода будет вытекать из капилляра, если гидрорастание давление оказывается больше добавочного, то есть

$$\rho g (H+l) > \frac{2\sigma}{r},$$ или $\sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H+l).$

Таким образом, из сосуда через капилляр вытечет вода, если

$$\frac{1}{2} \rho gr (h+l) < \sigma < \frac{1}{2} \rho gr (H+l),$$

или

$$\frac{1}{2} \rho gr h < \sigma < \frac{1}{2} \rho gr H.$$

Для того чтобы перейти от диапазона значений коэффициента поверхностиного наяжения к диапазону температур, воспользуемся графиком, приведенным на рисунке 6. Из графика видно, что зависимость $\sigma$ от $T$ линейная, то есть

$$\sigma = \sigma_0 + \alpha T,$$

где $\sigma_0 = 76 \text{ дин/cм}$. При температуре $T=20^{\circ}\text{C}$ $\sigma = 73 \text{ дин/cм}$, следовательно,

45

$$73 \text{ дин/см} = 76 \text{ дин/см} + \alpha \cdot 20 \text{град},$$
откуда
$$\alpha = -0{,}15 \text{ дин/(см} \cdot \text{град)}.$$

Граничные значения диапазона $\sigma$ равны

$$\sigma_{\min} = \frac{1}{2}\rho g r h = 70{,}5 \text{ дин/см},$$

$$\sigma_{\max} = \frac{1}{2}\rho g r H = 75 \text{ дин/см}.$$

Теперь запишем уравнение (*) для температур $T_{\max}$ и $T_{\min}$, соответствующих значениям $\sigma_{\min}$ и $\sigma_{\max}$:
$$70{,}5 = 76 - 0{,}15\,T_{\max},$$
$$75 = 76 - 0{,}15\,T_{\min}.$$
Отсюда
$$T_{\max}\approx 36{,}7°C \quad \text{и} \quad T_{\min}\approx 6{,}7°C.$$

Итак, вся вода вытечет из сосуда через капилляр, если
$$6{,}7°C < T < 36{,}7°C.$$

Рис. 7.

Ф306. На рисунке 7 изображена схема теплового ваттметра $(r_1 \ll r,\ r_1 \ll R_{\mathrm{н}})$. Тонкая проволока $AB$, накаливаемая током, перекинута через блок, оттягиваемый кверху пружинкой. К блоку прикреплена стрелка, которая поворачивается при повороте блока. Показать, что поворот стрелки прибора прямо пропорционален мощности тока $P$, потребляемой нагрузкой $(R_{\mathrm{н}})$.

Считать, что: 1) количество тепла, которое отдает нагретая проволока окружающей среде, пропорционально разности температур проволоки и среды; 2) изменение сопротивлений участков проволоки $AB$ из-за удлинения и изменения их температуры пренебрежимо мало.

Рис. 8.

◆

Угол поворота стрелки прибора пропорционален разности удлинений участков проволоки $AC$ и $CB$. Эти удлинения определяются токами, идущими по соответствующим участкам.

Обозначим через $I_0$ ток, текущий по нагрузке $R_{\mathrm{н}}$, и свяжем с ним токи $I_1$ и $I_2$, текущие по участкам $CB$ и $AC$. Перерисуем электрическую схему подключения ваттметра, как показано на рисунке 8. Поскольку сопротивление проволоки много меньше сопротивления $r$, будем считать, что сопротивления участков $AC$ и $CB$ этой проволоки включены в значения $r$, так что сопротивления участков цепи $DC$ и $KC$ равны $r$.

Так как напряжения на сопротивлении $R_{\mathrm{н}}$ и на сопротивлении $r$ участка $KC$ равны, то

$$I_0 R_{\mathrm{н}} = I_1 r, \quad \text{или} \quad I_1 = I_0 \frac{R_{\mathrm{н}}}{r}.$$

Ток $I_2 = \dfrac{U_{DC}}{r}$, где $U_{DC}$ — напряжение на участке $DC$. Оно равно $U_{DC} = U_{KC} + I_3 r_1$, где $U_{KC} = I_0 R_{\mathrm{н}}$, а

$$I_3 = I_0 + I_1 = I_0\left(1 + \frac{R_{\mathrm{н}}}{r}\right).$$

Тогда

$$I_2 = I_0\left(\frac{R_{\mathrm{н}} r_1}{r^2} + \frac{r_1}{r} + \frac{R_{\mathrm{н}}}{r}\right).$$

Посмотрим теперь, как связано удлинение проволоки с током, который идет по этой проволоке. При тепловом равновесии количество тепла, выделяющееся в проволоке, равно количеству тепла, которое отдается среде:
$$I^2 R = k\Delta t,$$
где $\Delta t$ — разность температуры проволоки и среды, $R$ — сопротивление половины проволоки и $k$ — коэффициент пропорциональности. С другой стороны, увеличение длины проволоки происходит по закону
$$l = l_0(1 + \alpha\Delta t),$$
где $\alpha$ — коэффициент теплового расширения проволоки. Из последних двух равенств

$$\Delta l = l_0\alpha\Delta t = \frac{I^2 R}{k} l_0 \alpha = k_1 I^2$$

46

$\left(k_1 = l_0 \alpha \frac{R}{k}\right)$, то есть удилиние проводки пропорционально квадрату силы тока. Это означает, что удилиние участка $CB$ проводки $\Delta l_1 \sim I_1^2$, а участка $AC$ проводки $\Delta l_2 \sim I_2^2$.

Таким образом, угол поворота стрелки прибора, связанный с разностью удилиенной участков $AC$ и $CB$, пропорционален величине
$$I_2^2 - I_1^2 = I_0^2 \left( \frac{r_1^2}{r^2} + \frac{r_1^2}{r^2} \frac{R_H^2}{r^2} + 2 \frac{r_1^2}{r^2} \frac{R_H}{r} + 2 \frac{r_1}{r} \frac{R_H^2}{r^2} + 2 \frac{R_H}{r} \frac{r_1}{r} \right).$$

Так как $r_1 \ll r$, то $\frac{r_1}{r} \ll 1$ и можно пренебречь первым, вторым и третьим членами по сравнению с четырьмя и пятым. Кроме того, для того чтобы подключение ваттметра практически не влияло на напряжение на нагрузке, $r$ должно быть много большие $R_H$. Это означает, что $\frac{R_H}{r} \ll 1$ и $\left(\frac{R_H}{r}\right)^2 \ll \frac{R_H}{r}$, так что можно пренебречь четырьмя членом по сравнению с пятым. В результате получим
$$I_2^2 - I_1^2 = 2 I_0^2 R_H \frac{r_1}{r^2} = 2 \frac{r_1}{r^2} P,$$

то есть разность $I_2^2 - I_1^2$ пропорциональна мощности, выделяющей на нагрузке. Следовательно, разность удилиний участки проводки и, соответственно, угол поворота стрелки прибора пропорциональны мощности тока, потребляемой нагрузкой.

$\blacksquare$

Пусть наблюдаете нахождение в точке $O$ (рис. 9), видит самолет в точке $A$ и слышит звук, излученный самолетом в тот момент, когда самолет находился в точке $B$. Обозначим через $t$ время, за которое звук из точки $B$ должен находяться, тогда $BO = ct$ и $BA = vt$. Из прямого углового треугольника $AOK$
$$tg\varphi = \frac{KB + BA}{KO} = tg\alpha + \frac{vt}{ct \cos\alpha}. \tag{1}$$

Возведя равенство (1) в квадрат, обозначив $tg\varphi - tg\alpha$ через $x$ и учтя, что $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2\alpha}}$, получим
$$x^2 - 2 \frac{tg\varphi}{1 - \frac{c^2}{v^2}} x + \frac{1}{\cos^2 \varphi \left(1 - \frac{c^2}{v^2}\right)} = 0. \tag{2}$$

Отсюда
$$x_{1,2} = \frac{tg\varphi}{1 - \frac{c^2}{v^2}} \pm \sqrt{\frac{tg^2\varphi}{\left(1 - \frac{c^2}{v^2}\right)^2} - \frac{i}{\cos^2 \varphi \left(1 - \frac{c^2}{v^2}\right)}} \tag{3}$$

причем уравнение (1) удовлетворяют только положительные значения $x$.

Рассмотрим сначала случай, когда скорость самолета $v$ меньше скорости звука $c$. Так как $c^2/v^2 > 1$, то $x_1 > 0$ и $x_2 < 0$, то есть подходит только одно значение $x = x_1$. «Сыщимый» самолет просто отстает от видимого.

47

Интересное решение в случае сверхзвукового самолета ($v > c$). Действительные корни уравнения (2) есть только при $\cos \phi < \frac{c}{v}$, причем положительные сразу оба корня ($tg\phi > 0$). Что это означает? Разберемся в этом более подробно.

Рис. 11.

Какая точка траектории самолета является источником сферической звуковой волны. Огнобающая волновых фронтов представляют собой конечную поверхность (рис. 10), которая движется вперед со скоростью самолета $v$. Впервые наблюдаемый услышит звук в тот момент, когда в точку $O$ придет один

Рис. 12.

из волновых фронтов. Если самолет в этот момент будет находиться в точке $A_0$, то наблюдаемый будет слышать звук, идиший к нему из точки $B_0$ (рис. 11). Из рисунка 11 видно, что $\sin \alpha_0 = \cos \phi_0 = \frac{ct}{vt} = \frac{c}{v}$. При удалении самолета угол $\phi$ увеличивается, а $\cos \phi$ — уменьшается (так что, действительно, самолет слышен при углах $\phi$ таких, что $\cos \phi \leq \frac{c}{v}$).

Начиная с этого момента, в точку $O$ будет приходит фронты звуковых волн, излученных самолетом в двух разных точках его траектории (рис. 12). В тот момент, когда самолет находится в точке $A$, наблюдаемый будет слышать звук, который был излучен самолетом в точках $B_1$ и $B_2$ (углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ определяются из формулы (3)), то есть теперь уже два волновых фронта проходят через точку $O$. Таким образом, при удалении самолета от точки $A_0$ наблюдаемый будет казаться, что из точки $B_0$ движется в разные стороны два источника звука.

48

Ф308. Фомометр представляем собой лист бумаги с жирным пяном. Этом лист устманавливают между двумя мочечными источниками света. Сила света одного источника $I_1 = 20$ св, сили света другого источника $I_2$ пребутся определять. Для этого вначале подбирают расстояния $l_1$ и $l_2$ источников от листа маск, чтобы пяном не выделилось на фоне бумаги, если смотреть на него со стороны первого источника. ОказаLOB, что $l_2 = 2l_1$. Затем подбирают расстояния $l_1$ и $l_2$ маск, чтобы пяном не выделилось на фоне бумаги, если смотреть со стороны второго источника. ОказаLOB, что $l_1' = l_2' = l$. Определить силу света второго источника.

Лист ставится перенедикулярно лини, соединяющей источники.

Подд с казка. Каждый участок бумаги можно охарактеризовать коэффициентом пропускания и коэффициентом отражения света.

Пятно не выделяется на фоне бумаги, если световые потоки $\Phi_\pi$ и $\Phi_6$, душие соответствен с единицами площади пяна и чистой бумаги и попадание в глаз наблюдаются, одинаковы. Бумага и пяно отражают и пропускают падооший на них свет диффузно, то есть равномерно во все стороны. Поэтому оченьчно, что световые потоки $\Phi_\pi$ и $\Phi_6$ пропорциональны освещенности пяна $E_\pi$ и освещенности бумаги $E_6$ соответствен.

Если смотреть на пяно со стороны первого источника, то освещенность пяна складывается из освещенности за счет лучей, душих от первого источника и пропедших через пяно $-E_2 = \alpha_\pi \frac{I_2}{l_2^2}$ ($\alpha_\pi$ — коэффициент пропускания пяна):

$$E_\pi = E_1 + E_2 = r_\pi \frac{I_1}{l_1^2} + \alpha_\pi \frac{I_2}{l_2^2}.$$

Аналогично, если коэффициент отражения света истыми участками бумаги равен $r_6$, а коэффициент пропускания этих участками равен $\alpha_6$, то освещенность чистых участков бумаги равна

$$E_6 = r_6 \frac{I_1}{l_1^2} + \alpha_6 \frac{I_2}{l_2^2}.$$

Приравнивая $E_\pi$ и $E_6$, получим уравнение

$$r_\pi \frac{I_1}{l_1^2} + \alpha_\pi \frac{I_2}{l_2^2} = r_6 \frac{I_1}{l_1^2} + \alpha_6 \frac{I_2}{l_2^2},$$

или, учитывая, что $l_2 = 2l_1$,

$$4r_\pi I_1 + \alpha_\pi I_2 = 4r_6 I_1 + \alpha_6 I_2.$$

Таким же образом можно получить условие освещенности пяна и чистой бумаги для второго случая, когда на пяно смотреть со стороны второго источника:

$$\alpha_\pi \frac{I_1}{l_1^2} + r_\pi \frac{I_2}{l_2^2} = \alpha_6 \frac{I_1}{l_1^2} + r_6 \frac{I_2}{l_2^2}.$$

Так как в этом случае $l'_1 = l'_2$, то

$$\alpha_\pi I_1 + r_\pi I_2 = \alpha_6 I_1 + r_6 I_2.$$

В два уравнения (2) и (4) входят пять неизвестных, определять их все невозможно. Однако можно найти одно из них, а именно $I_2$. Для этого пересечем в уравнения (2) члены, содержащие $I_1$, в левую часть уравнения, а члены, содержащие $I_2$, — в правую часть. Получим

$$4I_1(r_\pi - r_6) = I_2(\alpha_6 - \alpha_\pi).$$

Аналогично построим с уравнения (4):

$$I_1(\alpha_6 - \alpha_\pi) = I_2(r_\pi - r_6).$$

Определив теперь из уравнения (5) отношение $\frac{\alpha_6 - \alpha_\pi}{r_\pi - r_6}$ и подставив его в уравнение (6), получим

$$\frac{4I_1}{I_2} = \frac{I_2}{I_1},$$ или $I_2 = 2I_1 = 40$ св.

49

Ф309. Змея заползла наполовину в неподвижную узку трубку, лежащую на плоскости. Вморяя половина змеи извивается произвольно по плоскости. Считая змею монким однородным цинром длины $l$, найти, в какой области может оказаться центр мяжести всей змеи.

Рис. 13.

Центр тяжесте той половины змеи, которая находится в трубе, расположен на расстоянии $\frac{l}{4}$ от края трубы. Его координаты $(x_1, y_1)$ равны (рис. 13)

$$x_1 = -\frac{l}{4} \text{ и } y_1 = 0.$$

Центр тяжесте второй половины змеи, произвольно извивающейся по плоскости, может находиться в любой точке внутри круга радиуса $\frac{l}{4}$ с центром в начале координат, то есть его координаты $(x_2, y_2)$ удовлетворяют неравенству

$$x_2^2 + y_2^2 \leq \left(\frac{l}{4}\right)^2.$$

Так как массы обеих частей змеи одинаковы, то координаты центра тяжесте всей змеи определяются следующими соотношениями:

$$x_\mu = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_2}{2} - \frac{l}{8}, \quad y_\mu = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{y_2}{2}.$$

Выразим из этих равенств $x_2$ и $y_2$ через $x_\mu$ и $y_\mu$:

$$x_2 = 2x_\mu + \frac{l}{4}, \quad y_2 = 2y_\mu.$$

Подставив эти значения в неравенство (*), получим

$$\left(2x_\mu + \frac{l}{4}\right)^2 + 4y_\mu^2 \leq \left(\frac{l}{4}\right)^2, \quad \text{или} \quad \left(x_\mu + \frac{l}{8}\right)^2 + y_\mu^2 \leq \left(\frac{l}{8}\right)^2.$$

Это означает, что центр тяжесте всей змеи может находиться в любой точке круга радиуса $\frac{l}{8}$ с центром, координаты которого $x = -\frac{l}{8}$ и $y = 0$ (на рис. 13 этот круг защищен).

Ф310. Концы пружины закреплены. Как, не освобождая концов пружины, деформировать ее mak, чтобы пружина после макой обработки стремилась a) сокращиться?

Рассмотрим вначале незакрепленную пружину и будем ее деформировать, то есть растягивать или скимать. Колчествено деформацию можно охарактеризовать величины абсцилтной деформации $\Delta l = |l - l_0|$ ($l_0$ — длина пружины в недеформированном состоянии) или величины относительной деформации $\frac{\Delta l}{l_0}$. Что произойдет с пружиной после прекращения действия внешних сил? Оказывается, возможно два случая: или деформация полностью исчезает (пружина восстанавливает свою длину), или она частично остается, то есть получается остаточная деформация (длина пружины не восстанавливается). В первом случае деформацию называют упругой, а во втором — пластничной. От чего же зависит, будет деформация упругой или пластничной? Опыт показывает, что характер деформации зависит, прежде всего, от величины самой деформации (а также от материала пружины и от состояния этого материала — от его температуры, предшествующей обработки и т.п.). При малых относительных деформациях пружина является упругой, то есть целиком восстанавливает свою форму и размер после освобождения ее концов. Если же относительные деформации велики, пружина становится пластничной, возникнет остаточная деформация. Длина пружины становится большей, чем $l_0$, если пружину растягивается, и меньше, чем $l_0$, если ее скимали. Воспользовемся этим свойствам пружины для решения задачи.

50

Возьемем закрепленную на концах пружину за виток, который находится близке к одному концу пружины, чем к другому, и сдиним этот виток к дальнейму концу пружины. Однако часть пружины оказывается растянутой, а другая — скатой. При этом их абсолотные деформации $\Delta l$ будут одинаковыми, а относительные деформации — разными. Относительная деформация $\frac{\Delta l}{l_{01}}$ короткой части пружины будет больше, чем относительная деформация $\frac{\Delta l}{l_{02}}$ длиной части пружины:

$$\frac{\Delta l}{l_{01}} > \frac{\Delta l}{l_{02}}.$$

Это означает, что можно подобраться также $\Delta l, l_{01}$ и $l_{02}$, что деформация длиной части пружины будет еще упругой, а короткой части — уже пластующей. После такой «обработки» длина длиной части (которая была ската) остается прежней, а длина короткой части (которая была растянута) увеличится. Увеличится и длина всея пружины внедформированном состоянии. Следовательно, закрепленная на концах пружина будет стремиться удлиниться.

Аналогично, если рассматривается виток пружины свинить к близнему концу пружины и приложить внешние усилия также, чтобы деформация длиной (растянутой) части пружины была упругой, а деформация короткой (скатой) части пластующей, то пружина после обработки будет стремиться сократиться.

♦

Так как магнитное поле изменяется со временем, в контуре появляется Э. д. с. индукции $E$. Индукционный ток в контуре равен

$$I = \frac{E}{R},$$

где $R$ — сопротивление контура. Сопротивление контура $R = \rho \frac{l}{s}$. Очевидно, что $m = dls$. Отсюда

$$s = \frac{m}{ld} \text{ и } R = \rho \frac{d}{m} l^2,$$

то есть сопротивление контура пропорционально квадрату длины контура.

Э. д. с. индукции, возбуждаемая в контуре, равна

$$E = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Delta B}{\Delta t} S = kS,$$

где $S$ — площадь, охватываемая контуром. Э. д. с. $E$ тем больше, чем больше площадь $S$. При заданной длине контура наиболее площадь имеет круговая площадка, охватываемая контуром. Следовательно, Э. д. с. максимальная, если контур представляется собой окружность. Обозначим радиус этой окружности через $r$, тогда

$$S = \pi r^2 \text{ и } E = k\pi r^2.$$

В этом случае

$$l = 2\pi r \text{ и } R = \rho \frac{4\pi^2 r^2}{m}.$$

Позному окончательно

$$I = \frac{E}{R} = \frac{km}{4\pi\rho d}.$$

Это и есть максимальный ток в контуре.

И. Ш. Слободецкий