Ярославский политехнический институт

59

4. При каких значениях $m$ уравнение
   $$\lg mx = 2 \lg (x+3)$$
   имеет два различных действительных корня?
5. Сторона основания правильно четырехугольной прямоды равна $a$, двумя уголами при основании равен $\alpha$. Найти площадь сечения прямоды плоскостью, деляшей пополам двумя уголами при основании.
   B. A. Тонян

Ярославский политехнический институт
О Ярославском политехническом институте рассказываюсь в «Кванте», 1974, № 7.
В этом номере мы публикуем варианты письменных работ по математике и задачи устного экзамена по физике, предлагавшиеся в ЯПИ в 1974 году.

Математика
Вариант 1

1. В основании прямоды лежит прямоугольный треугольник, у которого острый угол равен $\alpha$ и радиус вписанного круга равен $r$. Каждый из боковых границ образует с основанием угол $\alpha$. Найти объем прямоды.
2. Решить уравнение
   $$\frac{1}{\log_6(3+x)} + \frac{2 \log_0,25(4-x)}{\log_2(3+x)} = 1.$$
3. Найти область определения функции
   $$y = \arcsin(4x^2 + 2x - 1) + \sqrt{\frac{(x-2)(x-3)}{x^2}}.$$
4. Решить уравнение
   $$\sin^3x - \cos^3x = \sin^2x - \cos^2x.$$
   Вариант 2
5. В правильной четырехугольной прямиде через сторону основания под углом $\beta$ к нему проведена плоскость. Определить площадь полученного сечения, если апофема прямоды равна $a$, а боковая граница плоскости основания под углом $\alpha$.
6. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{x-y} + \frac{1}{2} \sqrt{x+y} = \frac{26-y}{\sqrt{x-y}}, \\ 10^3 - \lg(x-y) = 250. \end{cases}$$
7. Решить неравенство
   $$\frac{9}{1 - \log_1/2 \sqrt{x}} - \frac{1}{1 \log_2 x - 1} > 2.$$
8. Решить уравнение
   $$2 \sin^4 2x - \sin^2 2x \sin 4x = 2 \sin^2 2x - \sin 4x.$$
   Вариант 3
9. Определить объем и боковую поверхность прямой приизмы, у которого в основании лежит равноведенный треугольник с углом при вершине $\alpha$ и противоположной стороне $b$, если диагональ одной из равных боковых граней наклона к плоскости основания под углом $\beta$.
10. Решить систему уравнений
    $$\begin{cases} x - y + \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} = \frac{20}{x+y}, \\ x^2 + y^2 = 34. \end{cases}$$
11. Найти область определения функции
    $$y = \lg(\sqrt{x^2 - 5x + 6} - x - 2).$$
12. Решить уравнение
    $$\cos \frac{4}{3}x + \sin^2 \frac{3}{2}x + 2 \sin^2 \frac{5}{6}x = \cos^2 \frac{3}{2}x.$$
    Физика
13. Куском стекла падает в воде сускорением $a=5,8$ $m/c^2$. Какова плотность стекла $\rho$? Плотность воды $\rho_1 = 10^3$ $\kappa e/m^3$.
14. Какой мощностью $N$ обладает возможность поток, набегаюший на автоматель «Волга» при скорости движения $v=100$ км/ч, если площадьLOBов поверхности машины $S=2,5$ $m^2$? Плотность воздуха $\rho=1,29$ $\kappa e/m^3$.
15. Трамбовочный каток радиусом $R=0,5$ $m$ перекатывается через лежащий на дороге камень высотой $h=5$ см. Масса катка $m=2.10^3$ $\kappa e$. Определить горизонтальную силу тяги $F$, необходимую для передвижения катка через камень.
16. Камень брошен под углом $\alpha=60^\circ$ к горизонту. Кинетическая энергия камня в начальной момент $T_0=100$ дж. Какова кинетическая ($T$) и потенциальная ($\Pi$) энергия камня в навысшей точке его траектории? Сопротивление воздуха не учитывает.
17. Воздух из магдебургских полушарий откаан до давления $p_1=8$ мм рpm. см. Радиус полушарий $R=50$ см. Какую силу $F$ нужно приложить, чтобы разведить полушария? Атмосферное давление $p=758$ мм рpm. см.
18. Какие силы $F$ надо приложить к концам стальной стержня с плоскью поперечного сечения $S=10$ см², чтобы не дать ему удлинитель при нагревании от $t_1=0^\circ C$ до $t_2=40^\circ C$? Модуль Юнга стали $E=2,1 \times 10^{11}$ н/м². Коэффициент линейного расширения стали $\alpha=12.10^{-6}$ ерад$^{-1}$.
19. Воздух, масса которой $m=4$ $\kappa e$, находится в цилиндре при температуре $t_1=20^\circ C$. Какая будет совершена работа при изобарном нагревании до температуры $t_2=100^\circ C$? Молекулярная масса воздуха