Уральский государственный университет им. А. М. Горького

55

Вступительные
экзамены вузы

В этом номере, как обычно, мы помещаем варианты вступительных экзаменов по математике и физике 1974 года в университеты, педагогические институты и вузы. Мы рекомендуем вам вначале поprobовать самим решить эти задачи, и если что-нибудь вам будет неясно, то посмотреть ответы.

Уральский
государственный
университет
им. А. М. Горького

В «Кванте», 1973, № 7 мы уже рассkaзывали об Уральском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. А. М. Горького. В этом номере мы приводим образцы вариантов письменного экзамена по математике и билетов устного экзамена по физике на математикомеханическом и физическом факультетах в 1974 году.

Математика
Математiko-механический факультет
Вариант 1

1. Существуют ли такие значения параметра $a$, при которых всякое решение неравенства
   $$\sqrt{x^2 + 4x + 3} \geq -1 - x$$
   является решением уравнения
   $$|x - a| - |x + 1| = 2$$
   и, наоборот, всякое решение уравнения является решением неравенства?

2. Прямы $l_1$ и $l_2$ пересекаются в вершине $B$ треугольника $ABC$. Построить треугольник $ABC$, если кроме этих прямых на плоскости отмещено место нахождения вершины $A$ и известно, что медиана треугольника лежит на $l_1$, а высота — на $l_2$.

3. Решить неравенство
   $$\frac{1}{\log x^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} x - x^2 \right)} \leq \log_x x^2.$$

4. Дано, что $\alpha = \beta + \gamma$. Доказать, что $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = 2$.

Вариант 2

1. Существуют ли такие значения параметра $a$, при которых каждое решение неравенства
   $$\sqrt{x^2 + 4x + 7} \leq x + 3$$
   является решением уравнения
   $$2^{x+2} - |2^{x+1} - a| = 2^{x+1} + 1$$
   и, наоборот, каждое решение уравнения является решением неравенства?

2. На плоскости отмещены три точки, две из которых являются серединами сторона треугольника, а третья — точкой пересечения его медиан. Остальные элементы треугольника стерли. С помощью циркуля и линейки восстановить треугольник.

3. Решить неравенство
   $$|\log|x|(4 + 3x - x^2) - 1| \leq \frac{1}{2} \log \sqrt{x-1}(x-1).$$

4. Дано, что $\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы некоторого треугольника, а $tg\alpha, tg\beta, tg\gamma$ образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что
   $$2\cos \beta = \cos(\alpha - \gamma).$$

Физический факультет
Вариант 3

1. Решить неравенство
   $$ax^2 - 2ax - 3 < 0.$$

2. В основании параметры, высота которой равна $H$, лежит прямой треугольник с катетами $a$ и $b$. Вершины основания и середины боковых ребер параметры лежат на одной сфере. Доказать, что углы наклона боковых ребер к основанию равны между собой. Найти углы наклона боковых границ параметры к основанию.

3. Решить неравенство
   $$\log_1 - x^2(x + 1)^4 \leq \log \sqrt{2x-1}|1 - 2x|.$$

56

Рис. 1.

4. Решить уравнение
   $$2 \sin 2x - m^2 \sin x + \sin 3x = 0.$$
   Вариант 4
5. Решить неравенство
   $$-\frac{x}{a} > \frac{1}{x^3}.$$
6. В большем основании усеченной приамиды лежит прямогольник, диагональ которого равна $d$; площадь меньше основания приамиды равна $S$. Известно, что около этой приамиды можно описать сферу. Доказать, что все боковые ребра приамиды равны между собой. Найти объем приамиды, если длина бокового ребра равна $l$, а угол наклона этого ребра к плоскости основания равен $\alpha$.
7. Решить неравенство
   $$\log \left| x - \frac{1}{2} \right| (2x + 3 - x^2) \leq \log | 1 - 2x | (2x - 1).$$
8. Решить уравнение
   $$4 \sin 2x + m \cos x = \cos 3x.$$

Физика
Математiko-механический факультет
Билет 1

1. Основные положения молекулярно-kineticской теории, ее опытное обоснование. Броуновское движение.
2. Получение переменного тока. Генератор переменного тока. Действующие значения напряжения и силы тока.

Рис. 2

Рис. 3:

3. Определить работу, совершаемую при перемещении точного заряда $e$ из точки $A$ в точку $B$ в поле, созданным двумя разноменными точными зарядами $+q_1$ и $-q_2$, расстояние между которых $R$. Расстояние точки $A$ от первого заряда равно $r_1$, а точки $B$ от второго заряда — $r_2$ (рис. 1).

Билет 2

1. Равномерное движение по окружности. Линейная и угловая скорости. Связь между ними. Единица угловой скорости. Центрстремительное ускорение.
2. Электролиз. Законы Фарадей для электролиз.
3. На деревянном клине с углом $30^\circ$ лежит груз (рис. 2). Козффициент треня между деревом и грузом $k=0,8$. Какое ускорение $a$ в горизонтальной плоскости следует сообщить клину, чтобы груз мог с него сокольнуть?

Билет 3

1. Закон всемирного тяготения. Гравиитационная постоянная. Сила тягости.
2. Сопротивление проводников. Удельное сопротивление. Зависимость удельного сопротивления от температуры. Реостаты.
3. В воде на глубине $1$ м находится шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине этот пузырек имеет вдвое меньший радиус? Атмосферное давление нормальное ($760$ мм $pm$). cm.).

Физическая факультет
Билет 4

1. Переменное движение. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение. График скорости равнопеременного движения с начальной скоростью.
2. Магнитное взаимодействие токов. Магнитное поле. Сила, действующая на проводники с током в магнитном поле.
3. На неевесом стержне украплены два шарика с массами $m_1$ и $m_2$ (рис. 3). $OA=AB=l$, начальный угол отклонения стержня от вертикали равен $\alpha_0$, начальная уг