Исаак Ньютон

4

И. Башмакова

Был этот мир глубокой тьмои окутан. Да будет свет! И вот явился Ньюотон.
А. Поп*)

Ньюотон был величайший генius из всех, когда-либо существовавших, и самый счастливый, либо только однajды дано человеку открыт системе мира.
Ж. Л. Лагранж

Каждай из вас, несомненно, слышал о Ньюотоне. Трудно найти ученого, оказавшего столь же сильное влияние на развитие мировой науки и культуры. Механика Ньюотона — краеугольный камень в фундаменте современного естественного естественного. Опираясь на открытыый им закон всемирного тяготения, Ньюотон создает логичную и строяную систему мироиздания. Большая часть математического аппарата современного естественного основана на разработанном Ньюотом исчисления бесконечно малых.

Несмотря на все значение творчества Ньюотона, серbezное изучение его наследия началось севcem недавно. Дело в том, что после смерти Ньюотона все его бумаги попали к мужу его племянницы — Джону Кондуиту, а затем к дочеги последнего, вышедшей замуж за одного из лордов

*) В XX веке эта эпиграммма XVIII века была продолжена:

Но сатана недолго ждал реванша — Пришел Эйштейн и стало все, как раньше.
(Перевод обихэ эпиграмм С. Я. Маршака.)

Портмутских. В этой семье бумаги Ньюотона хранились до 1936 года, когда все Портмутские коллекции были распроданы на публичном акциионе в Лондоне. Три миллиона оригинальных слов Ньюотона были оценены в 9.030 футов стерлингов 10 шиллингов. Только благодаря геронческим числяям некоторых ученых и общественных деятельности значительной часть бумаг попала в библиотеки Кембриджа и Лондона. Оdnako много бумаг уплело за океан. Некоторые пропали бесследно. Хронология рукописей, которое перед смертью установил сам Ньюотон, была безнадежно нарушена.

Систематическое исследование наследия Ньюотона началось лишь после Второй мировой войны. С 1959 года в Англии стала издаваться переписка Ньюотона (к настоящему времени издано 7 томов), были изданы его работы по динамике, и, наконец, с 1967 года начали выходить его математические рукописи (вышло уже 7 томов). Все это позволяет нам теперь более полно судить о силе и глубине гения Ньюотона. Великый ученый представляет теперь перед нами не только как создатель дифференциального и интегрального исчисления, но и как крупнейший алгебраист, исследователь в области алгебраической геометрии и теории чисел.

Исаак Ньюотон родился 4 января 1643 года в семье небогатого фермера-арендатора в деревне Вулсторп близ

5

города Грантзма. Отец Исаака умер еще до рождения сына. Мальчик посящал сначала сельскую школу, а затем школа в Грантзме. Директор школы образил внимание на способности юноши и уговорил его мать отправить сына учиться в университет. Летом 1661 года Исаак Ньюотон поступил в колледж св. Троицы (Тринити колледж) Кембриджского университета в качестве бедного студента, обязаноного прислуживать бакалаврам, магистрам и студентам старших курсов. В 1665 году он окончил колледж со степенью бакалавра, через три года стал магистром, а еще через год по предложению своего учителя Исаака Барруу занял его кафедру. В университете Ньюотон читал лекции по физике и математике. Ньюотон не был желан — такова была традиция Тринити колледжа, восходящая еще к средневековью.

Жизнь Ньюотона протекала спокойно и размеренно и не была богатата собственными. Оdnako трудно найти жизнь, более насыщенную направленной, полной поисков и вдохновения созидательной работы.

В этой статье мы подробно рассакем о математических достижениях Ньюотона.

Как показывает черновые записи Ньюотона, в области математики он был самоучкой — в колледже читался только курс элементарной математики. Интерес молодого человека к математике был возбуден случайным obstructionным: летом 1663 года он купил на ярмарке книгу по астрологии. Что бы в ней разобраться, ему понадобилось знакомство с трионометрией, которое, в свою очередь, потребовал знания геометрии Евклида. Так Ньюотон приступил к изучению «Начал» Евклида, от которых перешел к сочинениям Виета и Декарта по алгебре и аналитической геометрии, затем познакомился с работами Валиса по исчислению бесконечного малых. Записные книжки показывают, что Ньюотну понадобилось около года, чтобы овладеть современной ему математкой и начать самостоятельные исследования. Именно в это время он записал знаменитую формулу разложения $(1+x)^r$ в ряд, где $r$ — любое рациональное число (о ней мы будем говорить ниже). Уже к 1664—1667 годам относится первыше исследований Ньюотона по анализческой геометрии и исчислению бесконечного малых.

Аналитическая геометрия и изучение кривых треугольного порядка

Кривые второго порядка (эллипс, гипербола и парабола) были весоронние изучены еще Аполлонем (III в. до н. э.). Во время Аполлоня не было еще буквенной алгебры, поэтому Аполлоний записьвал уравнения кривых геометрических, с помощью равенства некоторых площадей.

Аnalитическая геометрия, основанная на буквенной алгебре, была создана только в новое время Пьером Ферма (1636) и Рене Декартом (1637), причем последний придал буквенноу исчисленную современный вид. Вводя систему координат, оба математика рисовали одну координату ось (горизонтальную) с помещенным началом отчета, для второй оси задавалось только направление. Гораздо важнее то обстоятельство, что ни Декарт, ни Ферма не выводили свойств кривых из определения их уравнений. Они довольствовали тем, что приводили уравнение к одному из канонечских видов, встречалось у Аполлоня, а затем просто пользовались его результатами. Таким образом, специфика метода анализческого геометрии остался нераскрытым.

Молодой Ньюотон сразу же начал рисовать на чертеже об оси координат (под произвольным углом друг к другу). Все четыре квадраты были для него равнопривыны, тогда как предыдущие исследовательские старились сдиниуты кривую так, чтобы рассмотреннее велось, в основном, в первом и четвертом квадратах. Ньюотон ответил центральное место преобразования координат и выписал формулы параллельного перемена и поворота.

Наконец, Ньюотон начал исследование кривых треугольника, лишь отделные примеры которых были известны. Это исследование он провел с той же исчерпываю-

6

Внутренний вид школы в Грантэме (современная фотографика)

шей полhotой, с которой были изучены кривые второго порядка. Ньюотон обобщил на кривые третьего порядка понятия диаметра, оси, вершины, центра, касательной. Он разбил эти кривые на виды, которые оказалось 72. Эти результаты вскоре стали известны английским математикам, но опубликованы они были только в 1704 году в приложении к книге «Оптика». Это приложение — «Перечисление кривых третьего порядка» — написано весьма скатно, без всяких доказательств. Теперь, благодаря черновикам, мы можем узнать, как Ньюотон пришел к своим результатам, а это для математков часто бывают важнее самих результатов.

«Перечисление кривых» положило начало новой области математики — алгебраической геометрии. Это сочинение было вполне понято и оценено только в конце X1X — начале XX века.

Метод флюоксией

В это же время Ньюотон приступает к созданию нового исчисления.

В XVII века в связи с успехами механики земных и небесных тел (напомним, что в это время Галилеем были открыты законы падения тел и Кеплером — законы движения планет) учены образили к изучению трудов Архимеда, страясь извлечь из них обще методы определения касательных, экстремумов, скоростей, центров тяжестей, площадей и объемов.

Ньюотон первый понял, что все это множество задач распадается на два класса взаимно образных задач, которые могут быть сформированы в общем виде, причем для их решения можно дать единый алгоритм. Для этого Ньюотонводит прежде всего понятие флюенты (от латинского слова fluere — течь) — величины, меняющейся при изменении времени или другой величины (которую он называл обобщенным временем). Таким образом, флюента — это первое название для функции. Ньюотон обозначал флюенты последними буквами латинского алфавита: x, y, z. Скорость изменения флюенты, т. е. производную, он называл флюксей и обозначаал, соответственно, x, y, z. (В физике эти обозначения сохранили до сих пор.) После этого Ньюотон сформировал две основные задачи:

I. Дано соответствие между флюентами: $f(x, y, z) = 0$. Найти соответствие между их флюсиями: $\Phi(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z) = 0$.

7

II. Дано соответствие между флюксями: $f(x, y, z, x, y, z) = 0$.
Найти соответствие между флюксами: $\Psi(x, y, z) = 0$.

Частными случаями первой задачи являются нахождение скорости движения по пути, заданному как функция времени, нахождение экстремумов и касательных. Ныотон дает алгоритм решения этой задачи для случая, когда соответствие между флюксами задается с помощью многочлена $F(x, y)$ или $F(x, y, z)$.

Правило Ньютона такое: расположки многочлен по степеням каждойубуд из флюент, например $x$; умножь каждый член на $x/x$ и на соответствующее степень $x$; сделай то же самое по отношению к другой флюенте; возьмыми сумму полученных членов и приравняй ее к нулю.

Приименим, для примера, это правило к многочлену $y - x^n$. Получаем $y \cdot \frac{y}{y} - x^n \cdot n \cdot \frac{x}{x} = 0$ или $y = nx^{n-1}x$.

Свое правило Ньютон обосновывал следующим образом: увеличиваем время на «неопределенно малую часть» — момент $o$, тогда флюенты возраструт на $ox$ и $oy$; подставим новые значения флюент в первоначальное выражение и сократим все члены на $o$. Центральное место своего обоснования он излагает так: «Не так как мы предположили $o$ бесконечно малой величины…, то те члены, которые на нее умножены, можно считать за ничего по сравнению с другими. Поэтому я ими пренебрегаю».

Для рассмотрения примера имеем

$$y + oy = (x + ox)^n,$$

$$y + oy = x^n + nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x.$$

Ответ правильный! Однако обоснование его весма неубедительное.

Ныотон и сам был не удовлетворен изложенным обоснованием и необходимого пытается подвести под свое исчисление более прочный базис. Воведении к «Математическим началом натуральной флюософии» (1687) Ньютон изложил теорию пределов (она называлась у него «теория первых и последних отношений»), однако обоснования и систематического построения дифференциального исчисления он ее не применил. Это было сделано примерно 150 лет спустя в работах O. Коши (1789—1857) и некоторых других математических прошлого века.

Вторая задача в обшем виде является задачей интегрирования дифференциальных уравнений, т. е. уравнения, связывающихся неокторые функции и их произвольные. В частном случае — для уравнения $y = f(x)$ — эта задача сводится к отысканию первого образных.

Ныотон показывает, что problema «Определить площадь, ограниченную какой-либо заданной кривой» свойства к определению флюкции, так как флюксия (произвольная) площади $z = ADB$ равна ordinate $y = BD$ (см. рис. 1; см. также равенство (2) в п. 100 учебника «Алгебра и начала анализа 10»).

В обшем же случае для решения второй задачи Ньютон применил новый аналитический аппarat, который позволяет ему распространить свой алгоритм на очень широкий класс функций. Это был принципиальный шаг. Остановимся на нем подробнее.

8

Степенные ряды

Первоначально метод флюксией применлялся к многочленам. А как бы с другими функциями? Как, на пример, находить флюксиотот функций
$$\frac{x}{a^2+x^2}, \sqrt{ax+b}, \sin x$$ Как решать уравнение $\dot{y}=\sin x, \dot{y}=\sqrt{ax+b}$?
И вот Ньюотон пришел к мысли, что все известные ему функции можно записать в полне единобразно с помощью степенных рядов
$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots,$$
которые представляют собой как бы бесконечные многочлены. Примером такой записи может служить (при $|x|<1$) равенство
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\dots+x^n+\dots.$$
Ньюотон пишет, что пришел к своей идее, руководствуясь аналогией с представлением чисел десятичных дробями: «… учение о буквенных выражениях находится в таком же отношении к алгебре, как учение о десятичных дробях к объкновеннойарифметике… И так же, как десятичные дроби обладают тем преимущестями, что выраженные в них объIkновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту полезную, что вскоре сложные выражения (дроби с составным знаменателем, корни составных величины или неявных уравнений и т. д.) можно с их помощью привести к ряду простых колчеств…»

Ньюотон получил разложение в степенные ряды для функций $a^x$, $\log_a(1+x)$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, а также для дробных и irrationalных функций. Именно для разложения последних Ньюотон обобщил известную для целого положительного $n$ формулу бинома
$$(a+x)^n = a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}x^2 + \dots + x^n$$
на случай, когда показатель есть любое рациональное число $r$:
$$(a+x)^r = a^r + ra^{r-1}x + \frac{r(r-1)}{1.2}a^{r-2}x^2 + \dots$$
При нецелом $r$ число членов суммы