Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

78

Варианты
вступительных
экзаменов вузы
в 1976 году

Ленинградский
государственный университет
им. А. А. Жданова

О Ленинградском государственном университете подробно было рассказано в «Кванте» № 6 за 1975 год и № 4 за 1976 год. В этом номере мы приводим варианты письменного вступительного экзамена по математике на различных факультет ЛГУ в 1976 году.

Математiko-mеханический факультет и факультет прикладной математики - процессов управления

1. В кибернетическое устройство сначала вводится $p$ бим неокоторой информации ($6um$ — единица количества информации), затем эта информация перерабатывается кибернетическим устройством по заданной программе, а потом полученная новая информация выдается на печатающее устройство. Определить наименьшую из возможных продолжительностей работы кибернетического устройства по примеру, переработке и выдаче информации, если известно, что скорость переработки информации равна $c$ бим/сек и в 3 раза меньше суммы скоростей вводя и выдачи информации, а количество информации на входе и выходе одинаковы.

2. Решить неравенство
   $$\sqrt{2(x - \sqrt{x^2 - a^2})} > \frac{x + a}{5\sqrt{x - a}}$$
   при всех значениях параметра $a$.

3. Решить уравнение
   $$\sin x + \sqrt{\sin x + \sin 2x - \cos x} = \cos x.$$

4. Дан равносторонний треугольник $ABC$ со сторонами длины $a$. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ отложены равной длины отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ по направлениям $AB$, $BC$ и $CA$ так, что площадь треугольника $A'B'C'$ в $k$ раз меньше площади треугольника $ABC$. Найти длины указанных отрезков.

5. Дана окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ и ее diameter $AB$. Через точку $P$, лежащую между $O$ и $A$, проведена хорда $CD$, перpendикулярная diameter $AB$. Известно, что сумма площадей поверхности, полученной вращением радиуса $OC$ вокруг diameter, и шарового сегмента, полученной вращением дуги $AC$, равна площади шарового сегмента, полученного вращением дуги $CB$. Найти $|OP|$.

Физическая факультет

1. Лунная тележка приближается к обрыву, причем в начальной момент времени ее скорость равна $v$, ускорение $a$ ($a \geqslant 0$), расстояние до объема $S$ (считая по прямой, по которая движется тележка). Через какое время, считая от начального момента, надо подать команду с Земли на включение тормозов (при этом ускорение тележки становится равным $a_1$), чтобы тележка остановилась на краю объема? Расстояние от Земли до Луны равно $L$, скорость распространения радиосигнала $c$.

2. В правильной четырехугольной парамide $ABCDH$,лина стороны основания которой равна $a$, бокового ребра $b$, проведена плоскость параллельно диагонали основания $AC$ и ребру $DH$. Найти максимальную из возможных площадей фигуры, получающихся в течение примады этой плоскостью.

3. Найти корни уравнения
   $$2(\sin x - \cos x + 1) \times \times \left(2\cos^2 \frac{x}{2} + \sin x \cdot \mathrm{tg} x - 1\right) + \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2} = 0,$$
   лежащие в интервале $|x| < 10$.

4. Решить неравенство
   $$\log_{x+2}(x^2 - 2x + p) \geqslant 2$$
   при всех значениях параметра $p$.

5. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} x + \frac{1}{y} = 1, \\ xy^2 + \frac{1}{x^2y} = 1 + \frac{y}{x}. \end{cases}$$

Химический, психологический и экономический факультеты

1. В начальной момент использования галванческого элемента один из внутренних электродов содержал 20 e чистой рутини. В результате восстановления в течение первых сутки было на 5% меньше по сравнению с процентным увеличением в течение вторых суток. Определить процентное увеличение чистой рутини в течение первых суток, если известно, что в течение вторых суток количество чистой рутини составляет 1,648 e.

2. Решить неравенство
   $$\log_a(x - 1) + \log_a x > 2.$$

3. Решить уравнение
   $$\frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin^3 x + 3\cos^3 x}{\sin x + 3\cos x}.$$

4. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $|BC| = a$, $|AC| = b$, $|AB| = c$. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведены прямые, параллельные сторонам $BC$ и $AC$; $E$ и $F$ — точки пересечения этих прямых со сторонами $AC$ и $BC$. Известно, что $|DE| = |DF|$. Найти $|AD|$.