Московский институт электронного машиностроения

84

Вариант В

1. Дана функция
   $$f(x) = \lg \frac{1-x}{1+x}.$$
   Найти ее область определения и показать, что
   $$f(a) + f(b) = f\left(\frac{a+b}{1+ab}\right).$$
2. Найти наиболее и наиболее значение функции $y(x) = \sin 2x - x$ на отрезке [0; π].
3. Найти $n$, если $A_n^5 = 18 A_{n-2}^4$, где $A_n^k$ — число размешений из $n$ элементов по $k$.
4. Даны три последовательные вершины параллелограмма: $A(-3; -2; 0)$, $B(3; -3; 1)$ и $C(5; 0; 2)$. Найти его четвертую вершину $D$ и угол между вершинами $AC$ и $BD$.
5. Основанием примеры служит треугольник, стороны которого равны 12, 10, 10. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найти объем примеры.

Физика
Физико-химический факультет

1. Шарик массой $m = 100$ е подвешен на нерастижной нити длиной $l = 1$ м. Определить энергию $E$ матрика и скорость $|v|$ шарка при прохождении положения равновесия, если наиболее угол отклонения матрика от вертикального направления $\alpha = 45^\circ$.
2. Озеро имеет глубину $h = 18$ м. На дне температура воды $t_1 = 6^\circ\text{C}$, а на поверхности $t_2 = 19^\circ\text{C}$, атмосферное давление $p_0 = 760$ мм рм. см. Пузырек воздействия, имеющий пероначально объем $V_1 = 1$ мм³, медленно поднимается со дна. Чему будет равен его объем $V_2$ у поверхности воды?
3. Медный шар диаметром $d = 1$ см помещен в масло. Чему равен заряд $q$ шара, если в однородном электрическом поле шар оказывается взвешенным в масле? Напряженность электрического поля направлена вертикально вверх и $|\vec{E}| = 36000$ в/cm. Плотность масла $\rho_1 = 800$ ке/см³, меди $\rho_2 = 8600$ ке/м³.
4. Tonкая стеклянная линза имеет в воздухе оптическую силу $D_1 = 5$ днмр. Показатель преломления стекла $n_1 = 1,5$. Если линзу погрузить в жидкость с показателем преломления $n_2$, она действует как рассеивающая с фокусным расстоянием $F_2 = -90$ см. Определить $n_2$.

Н. Квачева,
О. Малюков,
В. Треноин

Московский институт электронного машиностроения
Московский институт электронного машиностроения (МИЭМ) — один из самых молодых вузов Москвы. Его создание сследствие бурного развития радиоэлектронки, получиводникового и электрокауумного приборостроения, вычислительной техники и математического обеспечения современных ЭВМ, потребовшего большого числа специальностей, сочетающих глубокие инженерные знания с отличной физико-mатематической подготовкой.

МИЭМ имеет следующие факультеты: полупроводниковое и электрокауумное машиностроение, автоматика и вычислительная техника, радиотехника, прикладная математика, вечерний и два специальных факультета прикладной математики и автоматизированных систем управления.

МИЭМ имеет также подготовительное отделение, где занятяя ведутся по дневной форме обучения. На подготовительном отделении учатся в течение 8 месяцев передовые работы и демонализованные из ряда Советской Армии. Все случаители подготовительного отделения получают такое стипендюю, как первокурсники, и при успешной сдаче выпускных экзаменов зачислются на 1-й курс института без дополнительных экзаменов.

Характерной особенностью подготовки инженеров в МИЭМ является сочетание функитального и прикладного характера образования, предусматривающего высокую физико-mатематическую подготовку.

Естественно, это остояльство учитывается при отборе абитриентов наступительных экземпляров.

Ниже приводятся варианты вступительных экземпляров по математике и задачи устного экземпляра по физике в МИЭМ в 1976 году.

Matematika
Вариант 1

1. ЭВМ должен решить две задачи. Первая состоит из 9 миллионов операций типа $A$ и 16 миллионов операций типа $B$ и требует 11 минут 40 секунд машинного времени. Вторая задача содержит две более операций типа $A$ и вдвое меньше операций типа $B$, на ее решение машина траит 13 минут 20 секунд. Сколько операций каждой типа может выполнить ЭВМ в секунд?
2. Решить уравнение
   $$\frac{4}{3}\sin x = \frac{9\sin x - 2\sin 3x - 9\sin 7x}{\cos^2 2x + 4\cos 4x}$$

и найти сумму его корней, лежащих в промежутке — 12; 39 [.

3. Решить уравнение ($a > 0, b > 0$):
   $$\frac{1 - ax}{1 + ax}\sqrt{\frac{1 + bx}{1 - bx}} = 1.$$

85

4. Решить неравенство
   $$\log_a (x - 2) + \log_a x > 1.$$
5. Основанием прямой призмы служит прямогольный треугольник, длина гипotenузы которого равна $c$, а величина остроугла $\alpha$. Через гипotenузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания двумгранный угол величины $\beta$. Определить объем треугольной примыды, отсеченной от призмы плоскостью.

Вариант 2

1. При одновременной работе два трактора марки $A$ и один трактор марки $B$ могут вспахать поле плоскади 400 $ea$ за 10 суток. Один трактор марки $B$ может вспахать это поле на $8^{1/3}$ суток быстрее, чем один трактор марки $A$. За какое время могут вспахать поле в 960 $ea$ четыре трактора марки $A$ и три трактора марки $B$?

2. Решить уравнение.
   $$\frac{3 \sin 4x + 2 \sin 2x}{3 \cos 4x + 2 \cos 2x + 3} + 2 \mathrm{tg} x = 0$$
   и найти сумму его корней, лежащих в промежутке ]—18; 53 [.

3. Решить неравенство $$\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \geq \frac{3}{2}.$$

4. Решить уравнение
   $$\sqrt{1 + \log_x \sqrt{a^3}} \cdot \log_a x + 1 = 0.$$

5. В правильной четырехугольной примике, у которой высота длины $H$ составляет с боковым ребром угол величины $\alpha$, через диагональ основания проведена плоскость под углом $\beta$ к основанию. Определить площадсечения.

В. Тонян

Физика

1. Тело 1 бросают вертикальное вверх с начальной скоростью $|\vec{v}_0| = 30 \text{ m/sec}$ (рис. 1). Тело 2, находящемся на высоте $h = 40 \text{ m}$ над поверхностью Земли, бросают горизонтальное со скоростью $|\vec{u}| = 20 \text{ m/sec}$. С каким западыванием или операцией т нужного бросить второе тело, чтобы тела столкнулись в воздухе, если $s = 20 \text{ m}$ и $|\vec{g}| = 10 \text{ m/sec}^2$? Сопротивлением воздуха претенбрец.

2. Два тела с массами $m_1 = 200 \text{ e}$ и $m_2 = 300 \text{ e}$, движущемся со скорости $|\vec{v}_1| = 4 \text{ m/sec}$ и $|\vec{v}_2| = 3 \text{ m/sec}$, направленными перpendикулярно друг другу, испытыают абсцилтоно неупругое соударение. После соударения они движутся как единое целое. На сколько градусов повышается температура этих тел, если их удельная темперакость одна и та же и равна $c = 0,03 \text{ кал/(e·эрад)}$?

3. Два груза одинаковой массы, связанных неvesомым стержнем, совершают колбания (рис. 2). Расстояние от точки подвеска $O$ до одного из грузов $r = 10 \text{ cm}$, а до другого $R = 30 \text{ cm}$. С какой угловой ско-ростью стержень проходит положение равновесия, если набольший угол отклонения стержня от вертикали $\theta = 60^\circ$?

4. В двух частях цилиндра, разделенных поршнем $A$, находящего разные массы $m_1$ и $m_2$ воздуха при одной и той же температуре (рис. 3). Правый конец цилиндра закрыт подвижным поршнем $B$. На сколько сместится поршень $A$, если поршень $B$ передвинут вправо на расстояние $b = 4 \text{ cm}$? Приравновесии в цилиндре установливается первоначальная температура. Отношение масс $m_1/m_2 = 3$.