Функциональное уравнение на сфере

57

А. Лодкин

Функциональное уравнение на сфере

В этой заметке мы решим задачу, предложавшуюся десятиклассикам на втором (исследовательском).type X Всесоюзной олимпиды по математике. Эта задача была помещена в «Задание к Кванта» («Квант», 1976, № 10, М410). Напомним ее формулировку.

На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, который мы будем называть эквамором. Нам будем удобно использовать и другие географические термины: полос, меридиан, параллель.

a) Зададим на этой сфере функцию f, ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости эквамора. Проверять, что эта функция обладает следующим свойствам:

если $M_1, M_2, M_3$ — концы трех взаимно перpendicularных радиусов сферы, то $f(M_1) + f(M_2) + f(M_3) = 1$. (*)

Во всех следующих пунктах f — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках эквамора и обладает свойствам (*).

б) Пусть M и N — точки однозоче меридиана, расположенные между северным полосом и эквамором. Доказим, что если точка M dalые от плоскости эквамора, чем точка N, то $f(M) \geq f(N)$.

в) Пусть M и N — произвольные точки сферы. Доказим, что если точка M dalые от плоскости эквамора, чем N, то $f(M) \geq f(N)$.

2. Докажите, что функция f совпадает с функцией, описанной в пункте a).

Решение задачи a)

Задача a) на самом деле есть в школьном учебнике «Геометрия 10» (§ 43, задача 14). Вот ее решение. Пусть нам задан прямогольный базис (репер) $\vec{OM}_1, \vec{OM}_2, \vec{OM}_3$. Расмотрим вектор $\vec{OP}$, где P — полос сферы. Обозначим через F (M) квадрат скалярного произведения вектора $\vec{OM}$ на $\vec{OP}: F(M) = (\vec{OM} \cdot \vec{OP})^2$. Ясно, что F — это та самая функция, о которой говорится в пункте a). Координаты вектора $\vec{OP}$ в базисе $\vec{OM}_1, \vec{OM}_2, \vec{OM}_3$, оченьindo, равны расстояниям от точки $M_1, M_2, M_3$ до плоскости эквамора. Но скалярный квадрат вектора $\vec{OP}$ равен единице. Это и дает нам соответствие функция на сфере, равная нулю во всех точках эквамора и обладающая свойствам (*).

Решение задач б) и в)

Очевидно, что пункт б) задачи следует из в); поэтому сразу доказем утверждение пункта b).

Рис. 1.

58

Из условия (*) следует, что функция $f$ принимает одинаковые значения в диаметрально противоположных точках сферы. Поэтому нам достаточно рассмотреть значение функции только для точек северного полушария.

Итак, пусть $M$ и $N$ — две точки северного полушария. Докажем, что если $M$ dalые от плоскости экватора, чем $N$, то $f(M) \geq f(N)$.

Доказательство. Расстоянием окружность большого круга, самой северной точкой которого является $M$. Пусть $\Gamma_M$ — часть этой окружности, лежащая в северном полушарии.

Предположим вначале, что $N$ также лежит на $\Gamma_M$. Обозначим через $N'$ также точку души $\Gamma_M$, что $[ON'] \perp [ON]$, через $M'$ — одну из двух точек пересечения души $\Gamma_M$ с экватором. Тогда из (*) следует равенство $f(N) + f(N') = f(M) + f(M')$, поскольку $[OM] \perp [OM']$, и точки $M, M', N, N'$ лежат в одной плоскости, — так что для точек $M, M'$ и $N, N'$ «третьей» точкой будет одна и та же: конец радиуса, перpendикулярного плоскости окружности $\Gamma_M$. Так как $f(M') = 0$, то $f(M) \geq f(N)$.

Пусть теперь точка $N$ находится в области северного полушария, лежащей к югу от $\Gamma_M$. Тогда найдет такая точка $Q$ на $\Gamma_M$, что дуга большого круга $\Gamma_Q$ проходит через $N$ (рис. 2). Применяя предыдущей расчёжение к параметре точки $M$ и $Q$, $N$, получаем неравенства $f(M) \geq f(Q) \geq f(N)$.

Если же $N$ лежит к северу от $\Gamma_M$, то для «спуска» из $M$ в $N$ может попадать уже более двух шагов. Разделим угол $\lambda$ между плоскостями меридианов $m$ и $n$, проходящих через точки $M$ и $N$ соответственно, на $k$ равных частей плоскости меридианов $m_1, \dots, m_{k-1}$ (рис. 3). Выйдем из $M$ по дуге $\Gamma_M$ и в точке $M_1$ пересечения этой дуги с меридианом $m_1$ свернем на дугу $\Gamma_{M_1}$. Дойдя до точки $M_2$ пересечения $\Gamma_{M_1}$ с $m_2$, повернем на $\Gamma_{M_2}$ и т. д. Последней точкой нашего путьствия будет точка $M_h$ на $n$. Вы, оченьindo, заметили, что чем больше $k$, тем «положке» траектория спуска. Нетрудно доказать, что широта $\varphi(M_h)$ точки $M_h$ может сколь годно приближаться к $\varphi(M)$ (заметьте, что $tg\varphi(M_h) = tg\varphi(M_{k-1})\cos \frac{\lambda}{k} = \dots = tg\varphi(M)$) с помощью $M_h$ при достаточно большом $k$ окажется севернее $N$. На спуск из $M_h$ в $N$ попадбится уже более двух шагов.

Функция $f(M)$ зависит только от широты

Обозначим параллель, находящая на расстоянии $Vx$ от плоскости экватора, через $\Pi_x$. Чтобы решить задачу $r$, нам попадбится такая.

Лемма. Если $x+y+z=1$, можно построить прямую прямой ба-