Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

86

5. В верхних квадратах со стороны $a = 25$ см помещили 4 одноменных электрических заряда величиной $Q = 7 \cdot 10^{-9} \text{ к}$ каждый и отпустили. С какими скоростями будут движаться эти заряды, когда расстояние между ними удинится? Массы всех зарядов одинаковы и равны $m = 5,41 \text{ e}$.

6. Определить напряжение на конденсатрах емкости $C_1 = 1 \text{ мкф}$ и $C_2 = 3 \text{ мкф}$ (рис. 4), если $E_1 = 4 \text{ о}$, $E_2 = 10 \text{ о}$, $R_1 = 100 \text{ оm}$ и $R_2 = 300 \text{ оm}$. Внутренним сопротивлением источников можно пребежать.

7. Электрон, движущийся со скоростью $|\vec{v}| = 10^7 \text{ m/sec}$, влетает в одномое магнитное поле $|\vec{B}| = 2 \text{ mл}$ под углом $\alpha = 60^\circ$ к линяям магнитной индукции. Определить шаг винтовой траектории электрона. Масса электрона $m = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ к}$, его заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ к}$.

8. При любом столкновении атома водорода, движущегося со скоростью $|\vec{v}_0| = 7 \cdot 10^4 \text{ m/sec}$, с поковшимся атомом водорода был испущен световой квант с длиной волны $\lambda = 0,122 \text{ мкм}$. Пренебрегая импульсом фонана, определять скорости атомов после столкновения. Масса атома водорода $m = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ к}$, постоянная Планка $h = 6,62 \cdot 10^{-34} \text{ дж·сек}$.

Г. Ефашкин

Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина

Московский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный педагогический институт им. В. И. Ленина (МГПИ) является старшим высшим педагогическим учебным заведением страны. Институт был создан на базе Высших хенских курсов, организационных в Москве в 1872 году, и ниже является крупнейшим учебно-педагогическим и научно-исследовательским центром в системе народного образования.

На математическом факультете МГПИ имеется 7 кафедры: математического анализа, алгебры, геометрии, теории чисел, вычислительной математики и программирования, методики преподавания математики, физики. В течение лет студенты изучают математический анализ, алгебру и теории чисел, геометрию, вычислительной математики и программирования, теории анализических функций, управнения математической физики, теории вероятностей, математической логики, общую физку и теоретическую механику, астрономию, методики преподавания математики, педагогики, психологии и цельный ряд других специальных общеобразовательных и общественного-экономических дисциплин. Кроме того, студенты по своему выбору служают специальные курсы по самым различным вопросам современной математики и участвуот в работе специальных математических и методических семинаров.

Мастерством преподавания математики в средней школе, умением передавать основы этой науки, свою любовь и увлеченность математкой следующему поколению студенты овладевают на занятях по методике преподавания математики и на педагогической практике у лучших учителей Москвы школ.

В вычислительном центре математического факультета МГПИ студенты знакомятся с современной вычислительной техники, приобретают навыки работы на самых современных электронно-вышистленных машинах. Большие возможности предоставляют факультет и для научной деятельности студентов. Научное студенческое общество привлекает студентов к научно-исследовательской работе по математике, по вопросам преподавания математики и программирования в средней школе. Лучшие работы студентов отмечаются на обществентичках, городских и весоозных смотрах студенческих научных работ.

Физический факультет МГПИ готовит учителей физики для средней школе по специальности: физика и астрономия.

В составе факультета 6 кафедр: общеи и экспериментальной физики, теоретической физики, физики твердого тела, методики преподавания физики, математической физики и общетехнических дисциплин.

Кроме основных курсов на всех кафедрах читаются разнообразные специкурсы, организационная работа в специрактикух, научных кругках и проблемных лабораториях.

На факультете работы студентов общество.

Ниже приводятся варианты письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике на математическом и физическом факультете МГПИ им. В. И. Ленина в 1976 году.

Математика
Mathematical Physics

Вариант 1

1. Две бригады колхозников должны закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, а потом вторая закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. За сколько дней была убратой каждой бригада, работа отделно?

2. Решить уравнение
   $$\sin 4x \cdot \cos x = \sin 3x \cdot \cos 2x$$

3. Решить уравнение
   $$5^{31}g x = 12,5x$$

4. В кубе $ABCD_1B_1C_1D_1$ через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ ребер $AD$ и $CC_1$ проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости $k$ плоскости $GRD$.

5. В четырехугольнике $ABCD$, вписянном в окружность, $|AB| = \frac{1}{2} |AD|$, $BC| = \frac{1}{2} |CD|$. Зная, что $|AB| = a$, $|AC| = b$, вычислить $|BC|$.

87

Вариант 2

1. Из города $A$ в город $B$, расстояние между которых $120\text{ km}$, на море отделяя курьер. Через час после этого из $A$ на мотопикле выехал второй курьер, который, наnavbar и передав ему поручение, немедленно с той же скоростью движлся обратно и возвратился в $A$ в тот момент, в которой первый курьер достиг $B$. Какова скорость первого курера, если скорость второго равна $50\text{ km/час}$?
2. Решить уравнение
   $$\sin x \cdot \sin 3x = \frac{3}{2} - 2\cos 2x.$$
3. Решить уравнение
   $$\left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{\lg 4}{\lg 8}.$$
4. Длина каждого ребра правльной шестугольной призмы равна $1\text{ дм}$. Найти площадь секения, проходящого через сторону основания и большую диагональ призмы.
5. В получокружности радиуса $R$ с диаметром $AB$ проведены две хорды $AC$ и $AD$. Длина первого равна длине стороны квадрата, а второй — длине стороны правльного треугольника, вписанных в данную окружность. Определить длину хорды $CD$.

Физический факультет
Вариант 3

1. Основанием параметра $SABCD$ служит ромб $ABCD$, длина стороны которого равна $a$, величины остного угла $ABC$ равна $\alpha$. Две боковые грани $SAB$ и $SBC$ перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом $\phi$. Определить боковую поверхность этой параметры.
2. Найти наименьшее значение функции
   $$y(x) = 1 - 3x + 6x^2.$$
   Построить график этой функции.
3. Решить уравнение
   $$\sec^4 x - \tg^4 x = 7.$$
4. Решить уравнение
   $$\frac{\log_a^2 \sqrt{x}}{(\log_2 x)a} + \log_ax \cdot \log_1 \frac{1}{a} = 0.$$
   Вариант 4
5. Диагональ прямого铅ного параллелепида наклонена к плоскости основания под углом $\phi$, ее длина равна $l$, острый угол между диагоналими основания $\beta$. Определить объем параллелепида.
6. Решить неравенство
   $$3x < 2x^2 + 1.$$
   Построить графики функций $y = 3x$ и $y = 2x^2 + 1$, используя эти графики для проверки решения.
7. Решить уравнение
   $$\sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x.$$
8. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \log_5 x + 3^{\log_3 y} = 7, \\ x^y = 5^{12}. \end{cases}$$

Физика

1. Радиус планы Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а ее масса равна 0,11 массы Земли. Определить, во сколько раз сила притяжения на поверхности Марса меньше силы притяжения на Земле.
2. Льдина постоянной толщины плавает в воде, выдаваясь над поверхностью на $a = 2\text{ cm}$. Какова масса льдины, если ее площадь $S = 150\text{ cm}^2$? Плотность льда $\rho = 0,92\text{ e/cm}^3$.
3. Шарик массой $m = 200\text{ e}$, подвешенный на нити длиной $l = 20\text{ cm}$, отклонен от положения равновесия так, что нить составляет угол $\alpha = 60^\circ$ с вертикалью. Шарик сообщил скорость $|\vec{v}| = 2\text{ m/ сек}$ в направлении, перpendикулярном нити. Какова должа быть прочитать нити, чтобы шарик при движении не оборвал ее?
4. Пуля массой $m = 10\text{ e}$ попадает в деревянный брусок массив $M = 990\text{ e}$, подвешенный на длиной нити, и застревает в нем. Определить скорость бруска сразу после попадания в него пули, если скорость пули $|\vec{v}_0| = 500\text{ m/ сек}$. Какая часть кинетической энергии пули перешла в телло?
5. Закрытый цилиндр объемом $V = 1\text{ л}$ разделен на две части подвижным невесомым поршнем. В одной части цилиндра находится газ при температуре $t_1 = 0^\circ\text{C}$, в другой — какая масса данного газа при температуре $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Определить объемы $V_1$ и $V_2$ частей цилиндра при равновесии поршня. Поршень и стены сосуда телло-проприницамы.
6. Два заряда, находясь в воздухе на расстоянии $r_1 = 10\text{ cm}$, действуют друг на друге с силой $|\vec{F}_1| = 56\text{ дин},$ а в некоторой непроведшей жидкости на расстоянии $r_2 = 5\text{ cm}$ с силой $|\vec{F}_2| = 4\text{ дин}.$ Какова диэлектрическая проницаемость в жидкости?
7. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выдавляемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления: $R_1 = 5\text{ ом}$ и $R_2 = 0,2\text{ ом}$.
8. В одномном магнитном поле, индуктивная которой $|\vec{B}| = 1\text{ m}\lambda$, находим площадь виток плоскью $S = 10^{-2}\text{ m}^2$, расположенный перpendикулярно к магнитным линям. Сопротивление витка $R = 0,2\text{ ом}$. Какая заряд протечет по витку, если поле исчезнет?
9. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения одинаковы и равны $a = 0,4\text{ м}$. Как изменится положение и величины изображения, если предмет с расстояние $l = 20\text{ cm}$ по направлению от линзы?
10. Определить длину волны $\lambda$ света, которая освщается поверхностью металлической сплава, если кинетическая энергия фотоклеонов $W = 0,35 \cdot 10^{-19}\text{ дж}$, а работа выхода электронов из сплава $A = 4,15 \times 10^{-19}\text{ дж}$. Постоянная Планка $h = 6,6 \cdot 10^{-34}\text{ дж}\cdot\text{сек}$.

В. Бесмаева, О. Овчинников, Г. Шадрин